К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1 5), что при отыскании общих решений мы можем менять роль зависимых и неаависимых переменных, при этом характеристики уравнений, например, в плоскости (х, с) отобразятся на характеристике в плоскости (и, с) (и, р) и обратно, если якобиан преобразования переменных д (и, р)/д (с, х) + О. В случае, когда д (и, р) / д (1, х) = О, мы уже не смогли бы менять роль зависимых и независимых переменных, а поэтому изображения одного семейства характеристик в плоскости (х, с) будут попадать только на одну характеристику соответствующего семейства в плоскости (и, р) или (и, с), т. е. ивображение одного семейства характеристик х, с на и, р будет вырожденным, Решение. основных уравнений в этом случае и будет как раз особым, поскольку многообразие характеристик, а следовательно, и начальных условий, задаваемых на характеристиках, от которых решение зависит, будет также вырожденным (меньшим).
Перейдем к аналитическому определению особого решения, исходя из условия ссс 135 ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ (здесь третий член первого уравнения взят в виде (2.17), а урав- нение неразрывности — в виде (2 14) при э =О), исключим из нее прежде всего ди ди др дх дс дх др дх тогда уравнения примут вид ,с др )х др др сх ~дхс — + и — + — =О; дс дх р ди дх — +и — +р — =О. др др ди дс ' дх дх Оба уравнения будут совместны в случае ди с др — =+с — —. дх — р дх" (14.17) Из (14.16) и (14.17) сразу же получаем ди 1 'др — =рс — —.
дс р дс' (1418) Из (14.17) и (14.18) следует, что сси = + ссс 1и р. (14 19) Подстановка этого условия, например, в первое уравнение (13.1), как мы видели, приводит к уравнению (14.1), отвечающему значению а = а„что приводит к решению (14.2) и второму аналогичному решению, соответствующему значению р = рэ: х = (и +- с) с + Р (и). (14.21) Таким образом, исходя иэ условия, что якобиан д (и, р) с' д (~, х) равен нулю, мы действительно пришли к уже полученным другим способом особым решениям основной системы уравнений.
Рассмотрим теперь особые решения в форме Лагранжа. Основные уравнения (3.22) для изэнтропических течений в форме Лагранжа имеют вид т36 Решение УРАВнений для одномерных движений сгл. 1У где ссй=рнсСа= р — сСа=рЫх; здесь ра — плотность газа при дх с = О. Продифференцировав по времени второе уравнение (14.21), получим ди С др — + — — = О. дй рс дс (14.22) Поскольку первое уравнение (14.21) можно написать в виде (14.23) — + — с' — = О; — + р' — — = О.
(14.24) др сСР 1 др др 1 др сСи дС сСи дй ' дС дд сСР Отсюда мы приходим к прежнему условию совместности уравнений системы (14.24) сси = -+ сос )п р, что и понятно, ибо условие совместности не должно зависеть от формы представления уравнений, Подставляя условие совместности, например, в уравнение (14.23), мы придем к такому результату; — ~К вЂ” =О, др др дс да (14.25) где К = рс есть импеданц. Решение уравнения (14.25) находится элементарно; оно имеет вид й = ~Кс+ ф(К) или й = ~реда = ~рс1+ Ф(р). (14,26) р = А (р» — ро) В случае политропического гааа, когда 2 и = ~ — с + а, где а = сопзс и »+1 /с т» — 1 А = рс = рнс с — с н !14.27) Здесь р и с суть начальная плотность и скорость звука в среде, не возмущенной движением. Решение (14.26) принимает вид »+1 й = ~ рвсн ( —,) ~+ Ф(с) = Кн ( — ) 1+ Ф(с).
(14.28) Аналогичное выражение можно написать, связывая й, 1 и и: »+1 й = сопзь (и — сопз$)» — 1 1+ ф(и). (14.29) то, полагая и = и (р), мы уравнения (14.22) и (14.23) сможем на- писать в виде 137 1 11! ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ Поскольку соответствующее решение в эйлеровой форме есть х = (и ш с) ~ + г" (и) = (~ " + с + а) ~ + Р (с), (14.
30) то, исключая формально из (14.28) и (14.30) величину с, мы придем к зависимости, связывающей х, г и Ь (или а). Как мы видим, особые решения в форме Лагранжа менее удобны, чем в форме Эйлера. Рассмотрим пример перехода от особых решений, написанных в форме Эйлера, к решениям в форме Лагранжа. Так как зх — =я=и, то, дифференцируя по ~ уравнение (14.30), мы придем к следующе- му результату: откуда решение этого уравнения дает (при этом надо помнить, что производная й11(с берется при постоянном Ь) в+1 1 гс" — ' = / (Ь) ~ ~ — „с" — ' дс = ~ (Ь) + Ф (с), откуда в+1 У(Ь) =+с1-1 ~+ Е(с).
(14.31) При / (Ь) = сопзс Ь решение (14.31) действительно эквивалентно решению (14.28). В случае центрированных волн, когда г' (и) = О, решения в форме Лагрангка также упрощаются и принимают вид Ь=~К„( — 1 ~, и=~ с+а; (14.32) 'х ~ в частном случае политропического газа или в общем случае, когда р =р(р), Ь = + Кг, и = ~ ~ сН )п р. (14.
33) Поскольку при этом х = (и +. с) ~, то исключение из уравнений с в случае политропического газа не представляет затруднений и 138 Решение уРАВнений для одномеРных дВиженпй [гл 1ч а — 1 /а связь между х 1 и Й, поскольку с = =г ( — — 22) принимает а+1 (1 вид ~( Х и) а — 1~а — 1 что можно записать кратко в виде а — 1 Й = 4 х~ а+1 + Ааса+2 (14.34) где А, и А, — константы.
В том случае, когда начальная плотность не зависит от а, т. е. до начала движения плотность везде одинакова, мы на основании соотношения (14.34) придем к такой зависимости, связывающей х,лип 2 а — 1 Ь а = А1х8 "+1 + Аф "+' = —, Ра ' (14.35) где А, и А2 — снова две константы. Поскольку характеристики в лагранжевом представлении определяются соотношением сй(й = +- Й, то ЙЬ~й = Йй, что определяет одно семейство характеристик как Й1 = сопзг, т. е.
это семейство характеристик для центрированных волн является семейством равнобочных гипербол. Отметим теперь некоторую связь особых решений с решениями, описывающими некоторые классы автомодельных движений. В СЛуЧаЕ азтОМОдЕЛЬНЫХ дВИжЕНИй тИПа 2 = Иа' (Х = Г) И=~а,-1$ ("), С=~а,-1$ (*) Очевидно, эти зависимости можно написать в виде (14.36) и81 21 = 2Р (С11 а'), что в случае ат = 1 дает и = 2р (с), т. е. условие того, что эта функция, удовлетворяющая уравнениям газовой динамики, является первым интегралом особого решения; при этом данный тип автомодельных движений, как мы видели выше, является частным случаем особого решения, когда г' (и) = — О и х = (и + с)~.
Точно такие же выводы мы получим при 2 = хе '", когда а1 — — О, и при 2 = е 'а/1, когда также а1 — — О. Таким образом, указанные типы автомодельных движений являются некоторыми своеобразными обобщениями особых решений основных уравнений гавовой динамики для неизэнтропических неодномерных движений. ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ Движения среды, описываемые особыми решениями, имеют большое прикладное значение, в чем мы убедимся, решая ряд задач. Особые решения обладают еще одним важным и интересным свойством.
Движения, ими описываемые, обязательно должны сопрягаться (примыкать) с областью покоя или, в более общем случае, с областью стационарного движения среды. Когда параметры, характеризующие движение и состояние среды, постоянны, то очевидно, что условия и = сопзг, с = сопМ (р = сонэ~, р = сопеЦ являются тривиальными особыми решениями системы основных уравнений. Волна, описываемая особым решением, является волной одного направления, и параметры среды на фронте этой волны должны быть обязательно постоянными, чтобы выполнялось условие прямолинейности характеристик одного направления в плоскости (х, ~).
Только в этом случае закон движения фронта х = х (г) будет в плоскости (х, ~) изображаться прямой линией х = (и„— — с„) 8+ сопзФ, где ив, с — скорость среды и скорость звука на фронте волны, описываемой особым решением, равные скорости среды и звука в стационарной волне. Если движение с обеих сторон какой-либо волны нестационарно, то никакая из характеристик обоих семейств небудет в плоскости (х, 1) прямолинейна, а следовательно, эта волна не будет описываться особым решением. Таким образом, возмущение, бегущее по стационарно движущейся среде, действительно может быть описано только особым решением основных уравнений газовой динамики. Простые волны, т.
е. волны, описываемые особыми решениями, могут быть волнами сжатия в том случае, когда их фронт движется по направлению течения среды, и волнами разрежения, когда их фронт движется против течения среды. Простую волну можно представить как систему элементарных звуковых волн, поскольку для последних Ли = -+ с Лр!р, а для простой волны и = + ~ сд 1п р; это положение станет еще очевиднее, если решение для простой волны мы напишем в виде и = г' (х — (и -+ с) г), отсюда при и/с((1 имеем и = с" (х + сэ1), т. е. уравнение бегущей звуковой волны.
$ 15. Общие решения Для нахождения общих решений одномерных изэнтропических движений среды воспользуемся уравнениями (13.3). Обратим зависимые и неаависимые переменные, т. е. г и х будем считать за зависимые, а и и 1 — за независимые переменные. Для этой цели 140 Решгние УРАВнений для ОднОмеРных движении [гл.
Рч представим уравнения (13.3) в виде якобианов: д(и,х) д(и и) д(б 0 д (6 х) д (6 х) д (д х) д(6 х) дя, х) д(6 х) (15 1) Разделим почленно эти уравнения на якобиан д (и, О!д ((, х), полагая, что нигде в области искомых решений этот якобиан не обращается в нуль. (В противном случае, как мы уже анаем, придем к особым решениям системы уравнений(15Л)). В результате преобразования получим следующую систему: д(и, х) д(И и) д(б () д(и, () д(и,й д(и, О д(дх) д(6 ) +, дР «) д(и, 0 д(и, () д(и, () +и '. с' (15.2) Раскрывая якобианы, придем к уравнениям дх дс дс — — и — + — =0; д( дЕ ди д — — ид +с'д.
— — О. дх дс х дс (15.3) Тогда уравнения (15.3) примут вид дс д2ф ди ди д( , дю диа (+ са —. =— д( ди~ (15.5) Первое уравнение (15.5) определяет ( = дф)д(, второе уравнение примет вид (15.6) д~ф дф д~ф сх —. + —. = —. дм д( ди~ ' (15.7) В случае и = 1 с = с„= Э~А = сопз( и х дхф дф дхф — + — = — ° и дм д( — диз ° (15.8) Для линеаризации этой системы проведем преобразование Лежандра.
Введем новую функцию ф = ф (и, () с помощью соотношения х= и( — —. дф ди " (15.4) 1 15! ОВЩНЕ РЕШЕНИЙ Мы пришли в результате проделанных преобразований — перемены роли зависимых и независимых переменных в исходных уравнениях и введения новой функции 5р (и, 1) — к линейному относительно ф дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка (15.7). Интегрировать и исследовать подобные уравнения умел еще Эйлер, ватем подробные методы их интегрирования дали Риман и Дарбу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
