К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 25
Текст из файла (страница 25)
= (16.16) (ч+ чч)" при этом с)р(с)ч = — Ап!(ч + ч )""; здесь р, ч, и А — констан- ты. Вводя новую переменную, которую мы будем называть эф- фективной скоростью звука .„+.. где юи = с„", с„= " у п(р„+р,)(ч, + чи), придем к Представим их для изменения роли зависимых переменных в виде якобианов 156 Решение УРАВнении для ОднОмеРных дВижений (гл. гч уравнениям и+1 ри~и ( †„, ) »ы дь 2 дги и — 1 дь и — 1 (16 14) — + ди 2 Продифференцируем первое уравнение (16 13) по и, а второе уравнение — по с и исключим дзй/ди дс, тогда получим одно ли- нейное уравнение второго порядка относительно 2 и — (.1/ д»г и+1 1 дс '( дн 2 ) '(д»11+» — 1 ы дм/ ди1' (16.15) Это уравнение отличается от уравнения, определяющего (, только знаком при первой производной по с.
Поскольку для реальных показателей изэнтроп дг+1 1 = — г„[ р1 ( [/ 2 (2г + 1) 1 + и) + Гз ()/ 2 (2г + 1) 1 — и) ] = — (16.16) д„г („+ Д,-+1 даг („+ 6)г+1 1Н" и = (2г + 3) / (2г + 1), г = — 1, О, 1, 2, 3, ..., Оо, яи = и + 2ю/(и — 1), — ри = и — 2гс / (и — 1), то для определения Ь при тех же показателях изэнтропы мы должны, как это следует из соотношений (15.17) и (15.19) предыдущего параграфа, заменить г на — г в решениях (16.16) и поэтому заменить дифференцирование интегрированием. Таким образом, д- (г+1) Ь =,„„[ г', ( (/2 (2г + 1) 1' + и) + Рз ()/'2 (2г + 1) 1' — и)) = д г /1(И) д г /1(Р) Мы, таким образом, пришли к ранее выведенному для эйлеровой формы уравнению (15.16), что и понятно, так как выражение 1 через и и с не должно зависеть от формы написания уравнений.
Продифференцируем теперь первое уравнение (16.14) по с, а второе — по и и, исключая д(/ди и дз(/ди дс, придем к уравнению, определяющему Ь: Озщие Решения В ФОРме лАРРАнжн 157 $161 где ЄЄа также ~1, ~, — другие произвольные функции, чем в (16.16); тогда и и г будут снова связаны соотношением п=(2г+3)l(2г+1), где г= — 1, О, 1, 2, ..., оо. Однако при решении задач нет необходимости определять Ь непосредственно из уравнений (16А7); проще сначала определить г = ~ (и, с), затем, пользуясь вторым уравнением (16.13): да и-1 ГФ ~: дс — + —.
Рнсн ( — ) ди 2 Фн (16.16) определить н+1 н/ Зная о = ~ (и, ао), х = х (и, оо), Ь = Ь (и, он), формально можно получить х = Р (Ь, т), (16.20) что определяет связь между х, Ь и 1, т. е. текущим и начальным значениями координаты х, а затем легко вычисляется 1 дх дР Р= — = — =— р дь дь '. (16.21) т. е. находится зависимость плотности в окрестностях заданной частицы от времени. Так же как и в решениях, написанных в форме Эйлера, решения, написанные в форме Лагранжа, обладают тем свойством, что при сопряжении общего решения с особым на одной из харак- теристик 2 и+ оо = и' =- сопз$ — и — 1 какая-либо из произвольных функций становится равной нулю.
а+1 ,+... ~ "и+то~ о Поскольку оо = с ', а — = — ~ ), то н он -нн ~,.+но,) н-о но+то (ни+то) о оо= си нн о +но (16.22) Далее, зная соотношение для оо, легко определить соответствующие зависимости для т и с. Указанная аппроксимация р + ро = А!(т +то)" весьма точна для решения различных задач.
В частном случае, когда л=3, 158 вкшкник чглвнкнии для одномкгных двкяокнии (гл. оч эта аппроксимация при болыпой точности приводит к простому решению. В самом деле, при п = 3 уравнение (16.13) принимает вид А (ч+ ) причем ч„+ чо "«+ч ч„+ чо до (он+ чо)' ын = сн оо =— чн ' да чн(ч -)- чо) где сн = ч„)/3(р„+ ро)(чн+ чо)/(чн+ чо); далее, уравнение(16.14) можно написать в виде дп 2 до ди — + — — =— доР и доо дио (16.23) Решение этого уравнения очевидно: До (и + оз) + до (и — со) (16.23) Для того чтобы найти й, удобно поступить следующим образом.
Из уравнения д//дч = дй/ди находим, что / = дф/ди, Ь = оф/дч. При этом решение (16.24) дает Фо (и + о~) + Фо (и — оо) (16. 25) где Ф, = ~Р,Ы(и+ в), Фо = ~Роо((и — а). Поскольку оо = В/(ч + ч,), где В = (чн + чо)/)/3(рн + ро) (чн+ чо) то Мы видим, что в координатах Лагранжа общее решение имеет простой вид (особенно при п = 3) при более точной аппроксимации изэнтропы, чем в случае решений в форме Эйлера, а именно в аппроксимации содержится лишняя константа.
На этом мы ааканчиваем формальную часть определения общих решений в случае одномерных изэнтропических течений среды и переходим к фиаическому описанию основных непрерывных волн, могущих распространяться в какой-либо среде. 159 Фязнчкскик зАкономвгности $ 17. Основные физические закономерности при распространении волн х = (и+ с) 8+ Р(и), 2 и= 1 с+сопз1. (17.1) Если через и„и с„обозначить параметры среды в области стационарного двиягения, с которой должна обязательно сопрягаться 2 справа бегущая волна, то сопз1= и„— (в 1) н' с„, и второе соотношение (17.1) примет вид 2 и — ии = (с — с„).
Н и — 1 (17.2) Покажем наглядно, что скорость перемещения заданного состоя- ния среды в бегущей волне при заданных значениях и = и, с = а есть й + с. Мы уже отмечали, что возможны два вида непрерывных волн (т. е. волн, где все величины, их характеризующие, непрерывны), а именно волны сжатия и волны разрежения. В волнах сжатия давление в заданной частице среды возрастает по мере ее движения, а волнах разрежения — падает. При этом и те и другие волны в случае одномерного движения среды могут распространяться в противоположных направлениях.
Исследование уравнений, характеризующих одномерные изэнтропические движения среды, показывает нам, что особые решения описывают волны, бегущие в одном направлении, а общие решения представляют собой волну, которая может быть представлена в виде наложенных друг на друга двух волн различных направлений. Обе эти волны могут быть и волнами сжатия и разрежения или одна из них может быть волной сжатия, а другая— волной разрежения. Таким образом, на некоторых участках в волне двух направлений может наблюдаться сжатие, а на других участках — разрежение среды. В случае показателя изэнтропы л = 3, как мы убедились, эти волны, наложенные друг на друга, распространяются независимо, а в общем случае при распространении взаимодействуют друг с другом. Представляется возможным выяснить еще некоторые основные закономерности, проявляющиеся при распространении различного вида волн.
Исследуем сначала некоторые свойства простой волны. Рассмотрение начнем с бегущей, например, в положительном направлении оси х, волны. Решения основных уравнений, характеризующих эту волну [см. (14.5) и (14.6)), имеют вид 100 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВ!ПКЕНИИ 1ГЛ. У1 Напомним, что все параметры состояния связаны со скоростью движения и однозначной функциональной зависимостью. Пусть и = й, с = с в некоторой точке х = х, в момент времени 1 = 1о, тогда хо = (й + с)го + 1Р (и); очевидно, что зги же аначения и = й, с = с будут наблюдаться в момент времени 1 = 11 в некоторой точке х = х,. Поскольку хг = (й + с)11 + г" (й), то очевидно, что ю хо =й+с.
П вЂ” 1о (17.3) Это выражение показывает, что скорость перемещения заданного состояния, определяемого значениями и .= и, с = с, в бегущей по течени1о волне сжатия есть и + с. Отсюда следует, что два каких-либо различных состояния среды будут перемещаться с постоянными для каждого из них, но различными меяоду собой скоростями и + с. Так как и с (и и с связаны соотношением (17.2)), то для определения зависимости скорости перемещения достаточно задать только состояние среды, например, при помощи местной скорости звука с. В случае политропического газа скорость перемещения какого-либо заданного состояния о» =- и + с будет выражаться соотношением — и+1 2 ш= с+ и„— си и — 1 и — 1 (17.4) которое, ааменяя с па й, можно написать в виде и+1 ю = ии+ си+ (И вЂ” и„).
2 (1 7.5) Отсюда следует, что чем больше с (или и), тем больше скорость перемещения данного состояния, а это означает, что волна сжатия, описываемая особым решением, не может распространяться, не изменяя своего профиля. Различные точки ее профиля будут перемещаться с различными скоростями; точки, где давление, а следовательно, и с больше, будут выдвигаться вперед по сравнению, с точками профиля, где давление меньше, в результате чего волна будет деформировать".1.
Пусть в некоторый начальный момент времени зависимость, например, скорости звука в волне от х имела форму синусоиды. В процессе движения форма волны будет непрерывно изменяться; в одних местах волна будет становиться круче, в других, напротив, растягиваться. Это положение является справедливым и в случае произвольного уравнения изэнтропы, для доказательства чего достаточно определить знак производной: 161 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ Поскольку рс = р'Ус(р(«р = Р— йр(дчв то «гр «чг «(рс) чв « / «р сгр «р сг «ч У «ч 2 У/ поэтому «гр «(и+с) чв «чг Ргсв «гч (17.7) «р 2сг / «р 2 «рг У «ч р = А (ч-" — ч, ); иА «гр и(и+1) А ) О.
в ' «, иг> ' «чг чигв В тех случаях, когда срр>«чг = О, мы имеем «(и+с) = О «р (17. 8) а это означает, что профиль волны при ее распространении не будет деформироваться, т. е. скорость перемещения всех параметров состояния всех точек волны при ее распространении будет оставаться неизменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
