К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 28
Текст из файла (страница 28)
дчй дйР д~р ' ай ~ дйР де= а а =~ )ав (19.5) Из первых двух уравнений системы (20Л) следует уравнение Бер- нулли о ю) интеГРиРОВАние УРАВнений плоских течений ГАЭА 173 дф дф 2(о — оо) (19 6) дО до Кр 2 (о — (о) дф д~р р до дэ Введем обозначение оод — 2(;;,) /(Ч) "о (19.7) где д и ~ — пока произвольные функции, тогда система (19.6) примет вид — =- К)' —, дф дф дф дф дз до) ' дэ дв Исключая отсюда при помощи дифференцирования функцию ор, придем к уравнению Если принять, что — К/о=, ~, — К~ — =1, за+( ' до (19.9) где а — любое целое (положительное или отрицательное) число, то придем к известному уравнению Эйлера: доф де 2о доф доо до + 2а+) доо' которое имеет аналитическое решение: — (2~+Па+О)+до(р2(за+()о О) .
19.11 ( . ) (19.1О) Уравнения (19.5) являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Онн решаются графа-аналитическим методом характеристик в области сверхзвукового течения при соответствующих граничных условиях. Но можно при искусственно аппрокснмированной изэнтропе найти и точные решения для плоских установившихся течений газа. Впервые метод аппроксимации изэнтропы в виде р = р*— — сонэ(!р, где р* = сопз(, предложил С.
А. Чаплыгин, затем Л. И. Седов (25), С. А. Христиановнч (5), Г. А. Домбровский (59! и другие ученые предложили более точные аппроксимации изэнтропы, при которых такяое можно было искать точные решения. Мы изложим здесь свой метод, аналогичный методу Г. А. Домбровского, но имеющий то достоинство, что он приводит по форме к таким же решениям, какие имеют место для одноразмерных неустановившихся изэнтропических течений газа. Преобразуем уравнения (19.5); поскольку аг)а = — Ф, а = — 2(1 — (о), — — 1 = — ~1+ .
оор1= а' Г 2 (( — (о) оо Роп = — р'К (р) где (о — теплосодержание покоя, К (р) — функция Чаплыгина, то систему (19.5) можно написать в виде 174 ОднОмеРные иззнтРОпические дВижениЯ сРеды (гл. «/ Уравнение, аналогичное уравнению (19.10), в свое время для плоских течений нашел С. В. Фалькович, однако его вывод был иным и более громоздким *). Из условий (19.7) и (19.9) можно определить с/ (р), / (р), с = с(р), а затем р = р (р), т. е. вид уравнения состояния, при котором существует решение (19.11).
Это уравнение состояния будет содержать семь произвольных констант, что вполне достаточно для удовлетворительной аппроксимации истинного уравнения состояния р = р (р). Если ай/сй ) 1, то К ( 1 и уравнение (19.8) является уравнением гиперболического типа, при ай/сй ( 1 уравнение (19.8) имеет зллиптический тип. При К ) 1 в решении (19А1) 2 (2сс + 1)с)( О. Разделив второе соотношение (19.9) на первое, найдем, что / = Асс)(й«+1)/й, ГДЕ А, — произвольная константа. Исключив из первого соотношения (19.9) и (19.7) функцию К и затем /, получим (19.12) = А сйс/(й«+1)/1 2 (с — са) Теперь, исключив из первого соотношения (19.9) функцию /, можно привести его к виду д(й«41)/й — ~ «(а«+1)/4а К вЂ” (4«+1)/4« + )А,'~ Отсюда имеем аа (йасп/й ~ 2 ((й«41)/4« ОК н +и/4« (2сс+ 1) Ай ) Сравнивая зто с выражением (19.12), найдем, что лК-(й«41)/4« Ай/йа 2сс + 1 Р "( 2 — 1 2(( — сй) ' где А — новая произвольная константа, причем ~/ 2«+1 ~ (2« — 1 ~ 2«+1~ Поскольку р с(с с(Р 2 (с — са) Крй — 1 то у~-(й«+1)/4«2сс + 1 А'/,«с(Р 2« — 1 Кр' — 1 ' а) См.
Прикл. Матем. и мех., )са 4, 19/47. 1 19) интеГРиРОВАние УРАВнений плоских течений ГАЗА 175 откуда, вводя новые безразмерные переменные р Ах« г~ т)4«/<9«-1) приходим к специальному уравнению Риккати Р [ т[4«/(1 — 9«> ~Ц «ч (19.13) т[(141«>/(1-9«)Я (т[) 1 — 2« (19А4) где (ам а/(1 — еа) )а+1 (Ао ехр [(2а — 1) т<1/<1 9«>) + ехр [(1 — 2а) Ч1/<1 9«>[) П (т[) 1« («а/<1-еа) >а [Ао ехр [(2а — 1)Ч>/<1 9«>[+ ехр [(1 — 2а> Чт/<1 9«>Ц Здесь Ао — постоянная интегрирования.
При атом >[<1-9«>/(1-9*)Я 2А 1 — 2а (19.15) Из (19.12) и (19.13) имеем «4 «Р 4(Ч 4 /(1 1 ) 2 (4 — оо) Р [Кро — 1) б = — Ча Подставляя сюда $ из (19.14), находим «4 2а — 1 — й~, откуда получаем решение для Й 1 = 19 + — ехр ~(2а — 1) ) — ~, В Г о" «ч '> А „Ч(> где  — постоянная интегрирования. Поскольку др = р«1, то «р = т['а/<' 9*>Е<9" 1) ~ — '([т[, 2В «е 1 — 2а 3 ч(> откуда р = р'+ + „~т)4«/<1 "«>ехр~(2а — 1) ~+дт~, (19,16) где ре — постоянная интегрирования. Заметим, что можно было бы к переменным е и т[ прибавить произвольные константы Ео и т>„Увеличив этим число пРоизвольных параметров, аппроксимнрук>щнх уравнение состояния.
Решение уравнения (19.13) имеет вид 176 ОДнОмеРные изэнтРОпические Движения сРеДы [гл. ч Соотношения (19,15) и (19.16) дают в параметрическом виде связь между р и р. Эта связь содержит четыре произвольных константы А „А, В, р* и одну целочисленную произвольную константу а, а также константы $а и д, — всего семь констант. Если рассматривать конкретные случаи решения уравнения (19.13) для разных а, то легко установить, что при а = О мы будем иметь уравнение изэнтропы р = р* — сопвс/р, т. е. аппроксимацию Чаплыгина.
При + а = 1, 2, 3, ..., Оо с большой точностью получим (19А7) р = р*, + сопвг р", где соответственно /с —.— 3, 5!3, 7!5, ..., 1. Если считать, что уравнение изэнтропы (19.17) выполняется точно, то уравнение (19.13) незначительно изменится, так что решение (19.17) будет приблия;енным (с хорошей степенью приближения) решением уравнения (19.13). Мы имеем решение в виде ф = ф (д, О) или ф = ф (а, Р) (поскольку д = д (а)), а надо иметь решения и= и(х, у), о= Р(х, у) или х=х(и, о), у=у(и, Р) [х = х (а, О), у = у (а, О)). Для этой цели надо использовать хорошо известное преобразование Лежандра; введение функции Ф = — ф + хи + уи при соотношениях дФ абаз дФ . дФ сов0 дф Π— — — —, у=в1НΠ— + — —, да а до ' да а де где Ф = а ~ — Аа, полностью решает поставленную задачу оты- Г ф а скания общего решения исходных уравнений.
Обычно точно решают преобразованные уравнения для плоских течений при аппроксимированной изэнтропе. Здесь, наоборот, для точной изэнтропы мы ищем приближенное решение основных уравнений. Очевидно, что оба эти подхода дополняют друг друга и могут иметь полезные применения. $ 20. Волна разрежения одного направления прн истечении ранее покоящегося газа Представим себе трубу, перегороженную в двух местах стенками. Пусть область меясду стенками заполнена покоящимся газом, а вне стенок — пустота.
Расстояние между стенками обозначим через й Ось х направим параллельно оси трубы, начало координат поместим у правого закрытого конца (рис. 5). Площадь г ю! волнА РАзгежения ОднОГО нАНРАвления 177 сечения трубы постоянна и принимается равной единице. Пара- метры покоящегося газа обозначим через р„, р„, е„, и„= О. В момент времени 1 = О в сечении х = О снимем правую стенку. При этом начнется неустановившееся истечение газа в пус- тоту, и одновременно возникнет волна разрегкения одного направ- ления. Границами волны являются справа фронт истечения в пу- стоту, двигающийся вправо, и фронт волны разрежения, двигаю- щийся влево.
В данном случае собственная скорость частиц всюду будет направлена противоположно скорости распространения фронта волны разрежения. При снятии стенки вначале приходят в движение смежные с этой стенкой слои газа, постепенно движение захватывает все более далекие области, лежащие левее того места, где находилась снятая стенка. русоголова Когда частицы газа с Л плотностью р„, первоначально находившиеся в по- нееоз'зуизенныи еаз кое, начинают двигаться вправо, постепенно убыст- Болйа разрежения Пусяозоа ряя свое движение, плот! а ность в той части запол- -г 0 пенной области, где началось движение, очевидно, Рис. 5, будет падать.
Этот процесс постепенно распространяется справа налево от снятой стенки, т. е. в указанном направлении распространяется волна разрежения. Очевидно, уравнения, описывающие эту волну, должны явиться решением основных уравнений газовой динамики для неустано- вившихся процессов. При этом решение доля1но быть особым (ри- мановским), так как волна разрежения представляет собой волну одного направления, распространяющуюся по невозмущенной среде.
Здесь важно отметить то обстоятельство, что фронт волн идет только влево от снятой стенки, внутрь заполненной области. Фронт же газа, истекающего направо в пустоту, нельзя рассма- тривать как волну, так как здесь частички газа сами движутся, но никакой среды в движение не приводят. Распределение ско- рости и плотности по обе стороны от снятой стенки описывается одними и теми же уравнениями, область же существования волны, описываемая данным решением, распространяется с течениеьг времени в обе стороны от точки х = О. Для решения поставленной задачи при уравнении иаэнтропы р = О,р~ мы воспользуемся римановскими решениями основных уравнений газовой динамики, полученными в $14 [см. (14.2) и аронл истечения 178 одномкгнык иззнтгопичкскив движвния сгвды игл.
ч (14.3)), х = (и — с) 1+ Р (и), 2 и = — с + сопзФ. ь — т (20 1) Знак минус перед с показывает, что фронт волны движется налево. Первое граничное условие, очевидно, состоит в том, что в заполненной области между стенками газ находится в покое и скорость звука в нем имеет некоторое определенное значение сн. Это условие позволяет нам определить константы во втором уравнении (20 1).
Подставляя в него значения и = и„= О, с = сн, найдем о 0 = — — с|а + сопз1, откуда совах = 2С„/(тс — 1), и второе уравнение (20.1) примет окончательный вид 2 у а (Сн С). (20.2) Оно является как бы аналогом уравнения Бернулли. Разница состоит атом, что в уравнении Бернулли стоят квадраты скоростей, а здесь скорости входят в первой степени. Предельная скорость при истечении в пустоту, очевидно, будет определяться соотношением 2 Патах — и а Сн. (20.3) Сравнивая ее с предельной скоростью истечения в пустоту при установившемся процессе, при постоянной плотности газа в сосуде, которая определяется соотношением тт 2 Иенах = )' Сн~ и — 1 (20.4) найдем, что "п1ах неустанов ~ тт З натах установ (20.5) При й( 3 зто отношение всегда больше единицы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
