К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(28,7) Иэа (Р2 — Р1) [ дд2 Рмл 1 дэа Рз — Р2 Ра Величина 2Т2 — — всегда может быть выбрана так, чтобы др2 Р2 — Р1 дЯ~ РяР2 она была больше нуля при соответствующем значении р, — р,. Ниже будет показано, что эта величина положительна везде на ударной адиабате. Поскольку согласно второму началу термодинамики энтропия не может убывать, то ЫЯ2 ) 0 и р, ) р, (по смыслу явления ударной волны). Отсюда следует, что (28.8) Слева в этом выражении стоит величина, определяющая квадрат скорости звука с,', а справа — квадрат скорости среды п2' за фронтом ударной волны (см.
(27.11)). Таким образом, это условие дает (28.9) С. )~ 242 (гл. Е2 элементАРнАя теОРия удАРных ВОлн Мы установили, что за фронтом ударной волны скорость должна быть дозвуковой. Аналогично, фиксируя термодинамические параметры среды за фронтом ударной волны, посмотрим, какое условие должно выполняться перед фронтом ударной волны, чтобы состояние за ее фронтом могло осуществиться, т. е.
чтобы ударная волна вообще существовала. Будем теперь считать постоянными значения параметров аа фронтом и продифференцируем уравнение (28.4): 1 — 2282 = — Тг йо2 + р, йтг = — „(21р, (т, — У2) + (р, + р,) йтг), откуда — 2Т, с(82 = с)р2 (у2 — уз) + 2(у2 (рз — р,); (28.10) отсюда следует, что — — ~2Т2 + — (У2 — У2)) = — „(У2 — У2) + (Р2 — Р2) (28.11) дх2 г др, ЙР1 2Н2 Р ИР2 1 2(Р2 Р2 — Р2 ~2Т2 + — (У2 — У2)1 = — + дт2(У2 — У2) ~ 2 Ид, 2 1 — дт У,— У2 ' или — ~2Т2+ Р' Р* Р'1= — Р'+Р2 "" Р'; (28.12) 2(р2 (р2 — р2) ( 2 дд2 р2Р2 1 др р2 — р2 р2 поскольку 2(ог) О, 2(р2 ~ О, то др~ р2 — р2 р2 дрд р2 — р2 Р2 (28.13) Слева, в этом выражении стоит величина квадрата скорости звука с'„а справа — величина квадрата скорости среды и22 перед фрон- том ударной волны. Поэтому условие (28ЛЗ) определяет, что пе- ред фронтом ударной волны должно иметь место неравенство (28Л4) с, ( и2.
2 2 Р2 Р2 — Р2 сг=и,= —— Р2 Р2 Р2 (28.15) 2 2 2 Р2 2 Р2 и, — = с, —. р2 р2' 2 2 Р2 Р2 Р2 с2=и2= —— Р2 Р2 Р2 При этом, если мы имеем дело с чисто изэнтропическим процессом Покажем теперь, что знак равенства в (28.9) и (28Л4) соответ- ствует исчезновению поверхности разрыва, а следовательно, и ударной волны. В самом деле, из последних выражений мы в этом случае имеем ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН 243 $281 га р~ а следовательно, если ~ —, ( О, то скорость звука должна возра(ар' (з стать вместе с плотностью: ис — )О. ар (28Л6) Условие же (28.15) показывает, что скорость звука падает при возрастании плотности.
Противоречие между (28Л5) и (28.10) исчезает при Я,=Я„р,=рз, и,=и,=с,=с.„р,=р„т. е, тогда, когда нет поверхности разрыва. Отсюда следует, что ударная вол- на может существовать только при выполнении условий (28Л7) и,)сг, и,(сз. Эти требования, как мы показали, выводятся также из условий дд ) О, др ) О.
Следовательно, будет наблюдаться возрастание энтропии любой частицы среды, проходящей через фронт ударной волны. Из неравенства (28Л7) и уравнения р„иг = р,и, выражающего аакон сохранения потока вещества, следует, что при переходе через фронт ударной волны плотность и, если (д'р/др')в) О, скорость звука возрастают, а скорость среды падает, т.
е. что при Рз) Рг с,)сх, из(и,. (28Л8) Неравенства с, ) с„и, ) и„с,( сю и, ( и, исключаются из рассмотрения на основании закона сохранения потока вещества. Совокупность неравенств сз( см и,) иг также исключается, поскольку она противоречит условиям (28.17); в самом деле, имеем и, ) и, ) сг ) с„но с, ) из, т.
е. мы пришли к противоречию. Неравенство же (28.18) является единственным не противоречащим неравенствам (28.17). Следовательно, если (д'р/др')в ) О, то при переходе через фронт ударной волны давление и плотность возрастают. Заметим, что если (д'р/др')з ) О, то и (дзр/дуз)з ) О, так как (д'р/дуз)з = = 2р' [сз + 1/2р (д'р/др')з). Ударная волна называется ударной волной сжатия, если при переходе фронта такой волны в сторону движения среды давление и плотность повышаются, а скорость среды падает.
(В дальнейшем мы будем рассматривать также ударные волны разрежен я, в которых плотность и давление при переходе через фронт убывают, а скорость среды увеличивается.) Так как скорость среды при переходе через фронт падает, то, выбрав систему координат, в которой и, = О, можно сделать вывод, что фронт ударной волны будет передвигаться со скоростью и, в 244 игл. ч1 элементАРнАя теОРия удАРных ВОлн сторону меньших давлений; при этом скорость среды за фронтом ударной волны будет выражаться формулой (28.2) и, = и, = — и„= — ф(р, — р,) (ч, — ч,), (28.19) т. е.
среда аа фронтом волны движется в ту же сторону, что и сам фронт, но с меньшей скоростью. Если (д'р/др')з = дс'!др ( О, то и с)с/с)р ( О, поэтому с увеличением скорости звука уменьшается плотность и увеличивается скорость среды при переходе через фронт волны. Следовательно, на поверхности разрыва должны выполняться условия или и, ) ) иы с,) О, или и, ( и„сз( сн Оба эти условия не противоречат росту энтропии при переходе среды через поверхность разрыва, т. е.
условиям (28.17); иг ) с„ и, ( с,. Они показывают, что за фронтом поверхности разрыва при (д'р!дчз)з ( 0 и при возрастании энтропии мы можем иметь дело или с ударной волной разрежения (из ) ид), или с ударной волной сн<атия, в зависимости от знака второй производной (д'р(дчз)е. Если (д'р~дчз)е ) О, то, как увидим ниже, возможны только ударные волны сжатия, если (д'р/дч')е ( О,— то только ударные волны разрежения. Вспоминая, что в случае, когда (д'р/др') > О, а следовательно, и (д'р/дчз) ) О, имелась ударная волна сжатия, мы можем теперь окончательно сказать, что ударные волны сжатия могут существовать как при положительных, так и отрицательных (д'р/др')е, если выполняется условие ( —,",) )о. (28.20) При выводе неравенства и, ( с, мы допустили, что выражение 2ТзР1Рз ~~*(Рз — Р1) всегда положительно, поскольку всегда можно выбрать соответствующее значение р, таким образом, чтобы др 2 ТзРгРз ) д ч (Рз Р1).
Очевидно, что это неравенство равносильно следующему: у, = 2Тз — ~~ (ч~ — ч,) ) О. (28.21) Так как производная др!дд на основании (1.12) может быть выражена следующим образом: др т*Гд. ) 245 ( 22] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН то неравенство (28.21) можно. записать и в таком виде: дР2 и дТ1 — = 2 — — (ч — ч ))О. т 1 2 ч (28. 22) При ч, = ч„р, =- р, величина 9 2 во всяком случае положительна. Посмотрим, при каких условиях У'2 обращается в нуль.
Пусть давление р, стремится к бесконечности при ч, ) )О. В атом случае ударная волна становится неограниченно сильной. Из (28.3) видно, что 12 -+- оо; далее из соотношения (27.11) 1, — 1, = (и,'— — и22)12 заключаем, что и, -~ оо. Теперь рассмотрим левую часть равенства (28.7) ~2Т вЂ” —, — )1 = с,— и,=д аР,,) дд. 2 2, дУ, дЯ (Рз Р1~) др2(р2 — р1] 2 2(р2(ч1 — ч2) ' (28. 23) Величина г(о'2/2(р2 (ч1 — ч,), как мы знаем, всюду положительна при р, < р2 < оо. Предположим, что при каком-либо конечном значении р, = р, д2 обращает.я в нуль.
Тогда при этом значении р, имеем и, = см а также на основании (28.6) имеем Р2 — Р2 ( др ) (28.24) ч1 — ч2 ( дч1з' Но это условие является условием того, что прямая линия, выходящая из точки р1, ч„является касательной для ударной адиабаты в точке р,*, чз*, так как уравнение (28.6) было получено дифференцированием уравнения ударной адиабаты. При этом угол наклона прямой экстремален (минимален), а следовательно, поскольку значение угла наклона а определяется выражением (р, — р1) ! (ч, — ч,) =- — др2(дч = (я а, то ( — ) =~ (.— д ( (ч — Р1\ д(яа) 11 — ч2 дч1 )З дч2 З дд д 'Р дч (ю — ч2)2 дч' (28.25) Напишем теперь основные уравнения, вводя плотность потока: 7 = Ргиг = Рзию Р2 Р1 = 7 (ч1 — чз) ) 1 2 2 ) (28.26) 1, — 11 — — — (ч„— ч,).
Продифференцируем эти выражения, считая, что р1, р, постоянны. Тогда г(р2 = г(72 (ч, — ч,) — )2 <Ь„Т2 2152 + ч, г(р2 = (11!' Х Х (ч21 — ч2))/2 — )2чзг(ч2. Отсюда, очевидно, имеем (28. 27) 246 элвментАРМАя теОРия удАРных ВОлн (гл. чг Таким образом, величина у', а следовательно, и у растут вместе с энтропией.
Из соотношения (28.25) следуют важные выводы. Отметим сначала, что поскольку в точке касания Ыу = О, то и ЫЯ, = 0 (что следует из (28.27)), поэтому мы берем производные при постоянной энтропии. Далее, отсюда видно, что при любом конечном значении Рз = Р е обРащение в нУль величины Я'з = = 2Т, — др,!дЯ (ч, — ч,) влечет за собой обращение в нуль величины производной ЫЯ(др,. Ударные волны сжатия могут существовать только при условии, что вторая производная (дзр/дч')з везде положительна.
Мы приходим к выводу, что точка касания на ударной адиабате существовать не может, поскольку в точке касания на основании (28.25) (дзр,~дч,')в = О, так как (д)Чдч,)в = О, а в окрестности точки касания величина (д'р,/дч') должна менять знак. Отсюда следует, что нигде на адиабате, ни при каком конечном значении ру~ не выполняется условие Я; = 2Т, — — (ч, — чз) = О. ар, дЯ Поскольку при ч, = чг Кз) О, то и везде вдоль ударной адиабаты Я', ) О. Поэтому наше предположение, высказанное выше при выводе основных неравенств, оказалось справедливым.
В точке р„ч, величины д'р/дчз и др)дч не обращаются в нуль при дЯ = О, как это видно из соотношений (28.И), (28.27), где и числители и знаменатели обращаются в нуль. Эти величины соответствуют величинам др!дч и д'раду' для обычной изэнтропы в этой точке. Покажем теперь, что величина .Ру $ дРу — = 2 — — — (ч, — чу) Ту уу дТ (28.28) обращается в нуль в пределе при рз -~ оо. Строгое доказательство заключается в следующем. Поскольку ИЯу /сз — оуу у 3 — — = (ч, — ч,) — / = (чг — чз) (суру — у'), (28.29) Ыуу уз з/ а величины Рз, с(Язи Нч положительны, то величина с,рз — Ртакжебольше ну. Мы уже указали ранее, что при р, -+.
сои чз > 0 мы имеем иг -у- оо, отсюда 1 -ч- оо, а так как с, ) ч~з) и ч, ~ О, то и с, — ~ оо, а следовательно, величина — л,ЙЗ,Ич, становится неопределенной, вида оо — оо. Поскольку величина ч ограничена снизу, то при р, — у. оо с(ч, = О. Отсюда следует, что 247 с 28) ОСНОВНЫЕ СВОИСТВА УДАРНЫХ ВОЛН вЂ” сс32/сБ2 -+- со, а величина ,е (ю — тс) (сзрс — /с) атс 2 ( ар, — (У,— У)- О. с, ат Тс тк(д, В самом деле, иэ (28.28) имеем ( — '-~) ст "="+ 'а дт (28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
