К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 43
Текст из файла (страница 43)
р1 /з й+1 й+1' (31.44) Здесь индекс «п» указывает на то, что параметры относятся к прямой волне. Скачок давления Ьрз/р, = (рз/рг), — (ртр1)з опреде значение 1д у станет комплексным. Однако значение 6, определяемое из (31.38), при знаке равенства будет больше критического: 9 ) Ою т. е. изменение режима обтекания произойдет при меньшем угле поворота потока.
Следовательно, значение 19 ~р =- )/р,/р, не будет давать значение 19 ср,. Лишь при д,/с, — со (т. е. при р,/р, = (й + 1) /(й — 1)] мы получим правильный результат. Для вычисления (р,/р,), воспользуемся соотношением (31.15), которое напишем в виде ЙосАя удавная Волна ляется выражением а~ 2а в 2» /У вЂ” = — () 'р.= = р в+в /о+1 а(+в' Отношение давления рво /р,„ равно вп 3 2а (31.45) (31.46) где, как и прежде, р = дв/с~в. Отношение скоростей дв/д, равно Чв о(а <о ив (31.47) ме (е — 0) ив для косой волны и ив/ив = ов/д, для прямой.
Найденные зависи- мости /дв,~ 1) с(а 6о = ао = /в ~ — '); 2) 16 Ь = ов 1 3) <ро = /о (6о) 4) ( — ) = /4 в с в Уо = 1в в) ~-о( — ",) иллюстрируются на рис. 23, 24, 25, 26, 27. Величина двв/с~~ обозначена на этих рисунках через р. Определим теперь, при каких условиях скорость потока за фронтом косой ударной волны может быть больше или меньше скорости звука.
Для этой цели воспользуемся следующим уравнением: Чв рв рв 2 тв 2 в Заменяя величины р,/р„р,/р, из соотношений (31.14), (31 11), мы придем к такому выражению: Г 2 Чвз — '~ — + — '! (в+1)* св"" ( св Так как'и, = д,зш <р, то из уравнения (31.48) можно найти связь между числами Маха М = д,/с, Мв = дв/св и з1п ~р; при Мв = 1 будем иметь Мвзвп Ф вЂ” 2 (.2о(з О -™)+ гl 4 ~,о(о в) ™) + (31.49) [ГЛ. У4 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН Й~ 4П' вв вг гв г4 гп !в Я в с г 4 в в ш ы м ю и гпгггвгвгвзпвгвв вввв Рис. 23. гп ы я гв гв гпгг г4 гвгв вп вг в4 вв,в Рис. 24. 4 в п ы гп г4 гв вг вв 4п 44'-в Рис.
25. 1гл. Уг ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН Поскольку мы можем написать соотношения соя' — Е) ' 1 М', 1 то из них будет следовать, что в1пягр— (31.51) [, г'„;; з ) зй(й — 1)+ М11+ Р 4 ~ й(й — т)+ М11 + й . (3!.52) При заданном угле поворота потока О с увеличением величины М, величина М, будет уменьшаться, т. е. станет меньше единицы. При заданной величине М1 с увеличением угла 0 величина М, также станет меньше единицы.
Обычно в теории косых ударных волн пользуются несколько иным представлением искомых параметров. Исключая из основных уравнений (31.1) величины р„р„г„и„можно прийти к соотношению, связывающему скорости за фронтом косой ударной волны и„гя с величинами с)„с1. Произведя эти элементарные выкладки, получаем й — 1 — гя; и1 = г)1 — Ря, й ся (,),1 р д~ — ся р д~ — гя Рг Рг сз [дз — (ия+ сг)) (й — Ц вЂ” '+ й Ей Далее введем компоненты скоростей по осям х и у: иг„= 11„ иг„= О, ит„= иявгп гр + ассов ср, ия = Р,яш гр — ие соя гр, и, исключая величину гр, а также из и Ря, в результате можно прийти Из соотношений (31с19), (31.51) следует связь между величинами М и О: м' 1 279 КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 1ЗН к уравнению так называемой ударной поляры ( с — ( 11 — / (Чс исх) х х + 1 и,з — — (д, — и,„) 3 с1 (ч — у )+ -„ А+1 д, (3$.53) Мы получили уравнение так навываемой гипоциссоиды.
Изобразим одну ветвь гнпоциссоиды (рис. 28), откладывая по осн абцисс и,„, а по оси ординат и,„. Остальные ветви ее не имеют физического смысла. Направление векто- ~Ф ра скорости д, определяется соотношением (я 0 = †"" . (31.54) Зх Р Построенная кривая пересекает ось абсцисс в точках и,„= д„==- с„ /с — 1 2 сс .,= „+1Ч1+ „+171 — „ Рвс. 28. 1 з(п Ос — —— а (31.55) Из двух режимов воаможного обтекания угла сс режим, соответствующий точке А, может осуществляться при обтекании тупого угла, когда его величина 0 ) Ос. При этом очевидно, что прямому скачку уплотнения будет отвечать точка () на ударной поляре, ПОСКОЛЬКУ ИМЕННО ДЛЯ НЕЕ И,у — — И „= 0 И И хи,„= С„", ОКОЛО таКОГО первое равенство соответствует вырожденной ударной (звуковой) волне. Проведя иа точки О прямую под углом 0 к осн абсцисс, мы видим, что эта прямая пересекает кривую в двух точках А и В.
Это значит, что при данных начальных параметрах 0, с„д, принципиально возможны два режима обтекания, что мы определили из предыдущих рассуждений. Обычно осуществляется режим обтекания, соответствующий точке В. Из рнс. 28 видно также, что величина угла 0 при заданных с„д, не может превышать определенного значения Ос, соответствующего касательной, проведенной из точки О к кривой. Этот результат также был нами получен выше.
Прн д,lс„= 1 Ос — — О, при возрастании величины д,!с, величина Ос также растет и прн д,(с, — э оо стремится к конечному пределу 280 [гл. Ут ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН тупого угла вовникает криволинейная ударная волна, и вдоль нее, поскольку угол между ее фронтом и осью абсцисс будет уменьшаться, стремясь к углу Маха, будут осуществляться состояния, изображающиеся на ударной поляре точками, лежащими между точками (у и Т. Теория подобной криволинейной волны представляет значительные трудности, и в настоящее время эта задача не имеет полного решения. $ 32. Регулярное отражение косых ударных волн Пусть фронт плоской ударной волны подходит к какой-либо плоской же преграде со скоростью Р под некоторым углом.
Обозначим параметры невозму- Р щенного газа соответственНО Ра Ра~ Ма О, ТЕ ЖЕ параметры за фронтом ем й в ударной волны обозначим ет~ ~ ~~~ ~~фИ р р„р„и„. Определим наф С,,'~~'дР ' чальные параметры р„р„ из отраженной ударной Фронвт оеррожен- и Р ноо ударной волны Р-и волны, которая при этом возникает, а также раса туй смотрим состояние газа е~ р (воздуха) в окрестностях Р точки отражения. Для этой цели рассмотоее рим движение газа в удар- в ной волне в подвижной системе координат, для которой точка О пересечения фронта ударной волны и поверхности преграрпс.
29. ды неподвижна (рис. 29). Будем обозначать скорости относительно этой подвижной системы индексом г; таким образом, иае означает относительную скорость невозмущенного газа, О,„ — относительную скорость за,"фронтом падающей ударной волны, ие„— относительную скорость за фронтом отраженной ударной волны *). Очевидно, гу и,„= —. мп р (32 () ') Мы берем различные буквы в обозначениях и„, д,„, и,„ потому, что направление стенки мы можем считать совпадаюшкм с направлением осн ж иа„ н, как увпднм далее, из„ параллельны стенке, а рп не параллельна. 5 32\ гегглягное отглжвние косых главных волк 281 Величины составляющих этой скорости, перпендикулярной и параллельной фронту волны, равны соответственно Р и Р(уф После перехода частицами газа фронта ударной волны скорость и,„изменится по величине и по направлению, при этом составляющая скорости Риф параллельная фронту ударной волны, не изменится, а составляющая, перпендикулярная к фронту, станет Р— и, (и, — абсолютная скорость).
Отсюда о,„= ~/ (Р— и„)г+ ( —,) (32.2) где и, — скорость воздуха за фронтом ударной волны в обычной неподвижной системе координат, Р— скорость фронта ударной волны в этой же системе координат. Поскольку Рр, =- (Р— и,) р„ где р, — начальпая плотность воздуха, р, — плотность на фронте падающей ударной волны, то Р~ 1 — — =— Р ю (82.3) Угол между направлением скорости д,„и скорости и,„обозначим через О. Мы видим, что при переходе фронта ударной волны скорость среды изменяет направление, поворачиваясь на угол О влево (если смотреть по движению).
Направление скорости вблизи стенки должно быть параллельно стенке, поэтому направление скорости а,„должно измениться и стать параллельным стенке, т. е. скорость а,, должна повернуться на угол О в противоположную сторону. Такое изменение направления возможно только при переходе через фронт П второй — отраженной ударной волны. Фронт этой волны пройдет через точку О. Скорость о,„встретит фронт 11 под углом ~у. Величину этого угла заранее определить нельзя; мы определим ее в процессе решения задачи.
После пересечения фронта П скорость и,„вновь станет параллельной стенке. Угол ф между стенкой и фронтом 1 падающей ударной волны называется углом падения, а угол н, =. ~р — 9 между стенкой и фронтом П вЂ” углом отражения. Мы видим, что задачу отрангения ударной волны от неподвижной стенки можно интерпретировать как обтекание двух вогнутых тупых углов я — О. Последняя задача решена в предшествующем параграфе. Поэтому мы моягем перейти к составлению уравнений, решающих задачу. Угол между вектором скорости движения газа за фронтом ударной волны и поверхностью в рассматриваемой системе координат будет О, причем 282 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН (ГЛ.
ч1 Из (32.1) и (32.2) имеем (я ( Р— в) Р, (еФ (32.4) Значение скорости движения воздуха за фронтом ударной волны в подвижной системе координат определится формулой д,„= у' (1) — н г)' + Р' с(9' ф (32.5) или формулой ф:= ( — '~ )- с(д'аР. (32.6) Перейдем к анализу закономерностей отражения косой ударной волны от преграды, учтя ранее выведенные зависимости (31.9) н (31 15). Для втой цели воспользуемся следующими основными соотношениями: й — 1 2 й+1 й+1 = — Р,Оайя'~р ~с(д'ф+ ( — ') ~; й — 1 2 РЗ Г" й ) 1 Ра "= й ) 1 Ралага(ваф~ ге ('Р— ") Р . 1а ~('Р е) (ЕЧ Р ' (а~ ( (32.7) (32.8) Прежде всего определим значение () =- д;„!с;. На основании фор мул (32.7) и (31.12) имеем () .= [(~" ) + с(8'~р~ —,= Р' . (32.9) "А+( — """Л '1 (й + 1) †" (й 1] Ра Рассмотренные выше регулярные режимы обтекания угла возможны при р ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
