К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При этом система уравнений (9.5) примет вид х — х + х' + — "„(2 -(- а) = 0; ~ -( (а-)-)т +1)х=О; Ч (9.4$) 1 .О-ь, ь(8~ ( . 8) л (ь-т1-Ььхт а1п8 (а — 1) а =л ( 1)+а+1. Мы снова свели решение задачи системы уравнений к решению одного уравнения и одной квадратуры, имея вторую квадратуру в общем виде (9.34) Исследуем теперь вырожденный случай автоьтодеттьных движений. Рассматривая течения газа такого типа, когда зь =- гт("5 положим, что ат = 0; это значит, что г = г; далоо, из (9.13) имеем явтомодкльнык движкния сеиды (гл. гм Здесь производные берутся по 1п с, Отсюда получаем — — ([Аг (й — 1) + й + 1) х — 2) = ха+ (2 + а) у — х, — с( 1п т) = (а + Л'+ $) хд 1пс. (9.42) х, = х,(г), у, = у,(г), (9.4 ) .43 и = $с(г), с = $ (г), р — в"*с4(г). При этом основные уравнения примут вид х + (У + 1) ха + аа — д1п$= д1пг; (хс У'+ й — 1) (9.44) х — ус а нхс [лс (сс — 1) + Й + 11 хс [аа +, + 1 В случае а, -+- оо и г" == 1-"г мы имеем г = г (1), х, = х, (1), у, = у, (1), и=тЬ(1), с =т)а(С), р=г'ра(1), (9.45) где а = сопз1.
Основные уравнения напишутся так: — — (Аг(й — 1) + й+ Ц.г = х'+ (2+ а) у; 9 49) — с[1пЧ = (а+ А(+ $) хд[пс. Автомодсльныв движения в координатах Лагранжа. Основные уравнения адиабатических движений, обладшощих точечной симметрией в координатах Лагранжа, имеют вид ди 1 др н ндс. д + =9 РаЛ =Рог дс рдЛ ' а а дй' р = о(11)р" и = — '. (9.47) Будем искать решения в предположении, что г = с" г (д), (9,48) Как мы видим, в случае вырожденных автомодельных движений решение системы уравнений (9.42) будет аависеть всего от пяти констант и будет описывать некоторые частные случаи автомодельных движений данного типа.
Аналогично в том случае, когда автомодельные движения относятся к типу г — -- гс х~с при а, = О, мы будем иметь г =- г: дВижения ГАЭА с цвнтРАльнои симметРией 99 где уу = ууууа. При этом и = у" '[а7у — ад ~1 == 1" 'Ф (9). ад у (9.49) Поскольку и =- уа-у$ (г), (9.50) где г == ГуУад то из сравнения (9.48), (9.49) и (9.50) следует, что у" 'Ф ( — ") =- у" ' 4 ( — "„) =- у" '5 ~у' " 1у ( —.) ~ или У" аФ(д) ==-5[У" 'ЙУ(д)); (9.51) это соотношение может иметь смысл лишь при а -- аы поэтому и =- у ' [а Г' — ад — [. а,— н Г суР1 ад [. (9.52) г =- у 'г (д), Положим, далее, = У '1(д)' — = У он(Ч); а Ф) =- -1Ра 'Л"ъ (9.53) Ра ' ра тогда уравнения (9.47) примут вид а, (а, — 1) Р -1- д — [а' — 2аа, -[- а[ -[- а уу —, -[ — = 0; нуд и ануа нуы туг — = ди; ы = Ацнд нуд (9.54) при этом а, = (унУ -У- 1) (а — а,); а, = а, [- а — 2, аз — Унан а + ан — 2 — а (11У+ 1) (а — ан) (9.55) он —— а а ь'н(уд'у )и, Аануу отсюда аан Ад~~+ж УУнУд + а~ УннУГ" Фа" У 4Р1 н у ' у 1 дауд ну,урн[ д днуд Луау ад[ Систему уравнений (9.54) легко упростить.
Исключив т) из послед- них двух уравнений, получим 100 1гл. Ен Автомодельные дВижения сгеды И 2)Р . |12Р а, (а, — 1) тг + д — (аз — 2аа, + а) - Р ато2 — + ат ад2 Йч2 ' РР l чаР 612 гя+2,— 1 = О. (9.56) Р Ыт,ая с1д Порядок этого уравнения может быть понижен подстановкой (9.57) ~'= чЧ(ч) где 0 = „' 1, и для определения Ф можно написать а()у + 1) + а2 — 1 уравнение (ч„— +К) ))а,(а, — 1) + 8(а — 2аа,)+ а20212(~+ 2 ~ 2 Р Й7 — (за' — 2а,а + а) + а2д2 — ) = + ь(ч й+20чи+0(0 1)е) + (йУ + а),.
(9.58) 1 — +Р1 ад Поскольку д г)20(г)д = г120~11 1п д) 922Рф2(д2 = Уф21 1п д~ — ~Ъ~'г( 1п д, то, обозначая 2(ф2( 1п д =- О, будем иметь 212фЯ 1п 92 = дОЯ 1п а = = 0210!21ф и окончательно придем к уравнению '1(а2 (а, — 1) + (1 (а — 2аа,) + а202) + )10 (За'+ а — 2аа,) + + а20 а201 ( + Р1» ) а2Г а[в''~ — 0(1 — О)+0(0 — 1) е) 0+0~ (ЙХ + а„). (9.59) Решая это уравнение, найдем 9 = О (2(2), затем найдем из урав- нения (9.58) 2Р = 2Р (д) и из (9.57) Р =- Р (д), после чего опреде- лим из (9.54) ю = ю (а) и 2) = 2) (д), причем решения будут зави- сеть также от трех постоянных, получаемых при интегрировании двух введенных констант а, и а, и также константы т, входящей в 1, поскольку время определяется с точностью до константы.
Таким образом мы придем к полному интегралу, как и в случае интегри- рования автомодельных движений в координатах Эйлера. Перейдем теперь к рассмотрению специальных случаев авто- модельных движений среды, $ 10. Автомодельные симметричные движения для некоторых специальных случаев *) А.Авто модельные движения в случае н е а д и а б а т и ч е с к и х и р о ц е с с о в Автомодельные движения при наличии в среде внутренних источников выделения или поглощения тепла представляют некоторый прикладной интерес, в частности, при изучении процессов сгорания в двигателях. Так как в случае газа (идеального или политропного) по формуле 11~1 =- Т 118 и по формуле (1.20) сй,"г =- с,Тг) )п а = с,Т (11 1п с' — (гс — 1) с( )п р), (10.1) то уравнение сохранения энергии будет иметь вид (й 1) и1ВР+ иг." дс дг г„т дг (10.2) Отсюда следует, что основную систему уравнении одномерного движения (2.25) в переменных и; с; )п р мы сможем написать в виде ди ди 1 Гдсс е д — + и — + — ~ — 1- се — (1п р)] =- 0; дт дг Гс ~дг дг д д до Л'и ж(1ПР)+из — (1пр) 1-д + — =0; да с дсс .
/ди, Лги, т д!во очи —, + и —.-1- (й — 1) ст ( — + — ) = ст — = — (й — 1) й, дс дг дга г г дс дг рассматривая класс автомодельных движений, когда г = —,; и =1" 151(з) = —, х; (10.4) мы должны выбрать зависимость ~1 от г и 1 таким образом, чтобы, удовлетворяя условиям автомодельности движений, привести систему уравнений (10.3) к виду, не содержащему явно 1 или г.
Для этой цели необходимо представить () в виде а = 1'~" "ч1(з)+ Ее 0 = — „д(с)+ ее, (10.5) е) Эти движения были изучены автором. 1 1е1 симметгичнь1е дВижения для специАльных случАеВ 101 102 (гл. Рп АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ где ~)а — некоторая константа, характеризующая запас началь- ного тепла. В частном случае, когда о (х) = оа = сонэ(, га е= —, +а (10.6) т. е.
во всех точках (частицах) закон тепловыделения (теплопо- глощениЯ) бУдет одинаков [С) — ()а — (г/1)а]. ПосколькУ 1 г'", то, написав ~',) в виде а <а,— П о= ",+ е., (10. 7) мы в случае оа = сопэ1 = оо придем к выражению а <а,— П 0= рог " +Оа, (10.8) й (й — 1) (х — а,) + 2дх — о1 . ед (10.9) Поэтому окончательные уравнения можно написать в виде х'+ (И + 1) х+ аа х а1 (а1 — х) — — (й — 1) — (а1 — х)— 'а' [в у й (й — 1) Ыд дх у ах а 1в х ох [М (й — 1) + й + 1] х — 2 — ' [2дх — д] й(й-1) у (а1 — х]а — у а — — (а1 — х) й — 1 а'о у а'х у~ ' )+ а+(Я+1) х1 — х(1 — х)(ад — х) —: [2дх — д]' й 3 у (10 10) Рассмотрим другой тип автомодельных движений при ()+ О, полагая х = ге и е"'~,(х) = гх„с =е ЕЕА(х), р =- е"лз(г). (10.11) что будет означать независимость интенсивности выделения (поглощения) тепла во времени.
Преобразование уравнений (10.3) к аегаомоделъиому (безразмерному) виду не представляет труда. Заметим, что эти уравнения будут во всем совпадать с уравнениями (9.8), за исключением последнего, где в правой части вместо нуля должна стоять величина, равная 1 сю) сссмюсетРИЧНЫВ ДВижеНИЯ ДЛЯ СПВЦиАЛЬНых СЛУЧАЕВ 103 Прн этом необходимо выбрать () в виде ~) = еаа ' д, (х) + Г)ю =- гюс7 (х) + с',)ю. (10 12) В случае ас = дю = сопз( будем иметь () = дюеюмс + ()ю и в случае д = аю = сопзс е=".+о. (10.13) Теперь в системе уравнений (9.17) необходимо в правой части последнего уравнения вместо нуля написать выражение, равное й(й — 1) ~ Ыд ус [ сд)пс — ) (хс — а,) — + 2хсс71. (10.14) Система уравнений, решающая задачу, при этом примет вид х + (Ас+ 1) хс+ аю — сс1п$ = сс)п х; хс — ас с))пус й(й — 1) ад (ас — хс) — (й — 1) — (ас — хс) ~— ссхс (Ас(й — П+ й+ 1) х— й (й — 1) 2хсд Ус сдд (ас — хс) а (10.15) й — 1 (а — х р — уев с дс Г 2ас + аю 1 ю й — 1 чч [ й + (Лс + 1) хс1 — хю (ас — хс) — 2хсд ссс В том случае, когда вид функции д (для обоих типов движений) известен, решение ряда задач не представляет затруднений.
Для заданной газовой смеси необходимо установить зависимость () от р, р или Т, или, что то же самое, от р и с. Тогда можно найти связи между д; х и у; д; х, и у, и отыскать решения выведенных здесь уравнений. Б.Автомодельные движения в поле тяжести Здесь мы рассмотрим движения в различных полях тяжести. При этом будем полагать (10.16) р — ор". Рассмотрение начнем с простейшего случая постоянного поля тяжести. Основная система уравнений в этом случае будет отличаться от уравнений (9.3) лишь тем, что в правой части первого уравнения вместо нуля будет у (ускорение силы тяжести).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
