К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 9
Текст из файла (страница 9)
= —, (5.33) сСС р дх дх' сСс р ду ду' сСс р дх дс' где ссисс(1 = дисдг + и дисдс + и дис'ду + ис дисдг; аналогично выразятся сСи/сС1 и с)и1(сСС. Уравнение движения симметричных течений в рассматриваемом случае можно написать в двух формах: а) в форме Эйлера ди, ди — + и— дс дг б) в форме Лагранжа ди дс ! р дг дг (5.34) Уравнение Пуассона имеет вид — ( ггс — ) = — 4ЛСрггс. д с дсу1 дг ~ дг,) (5.35) Поскольку в форме Лагранжа уравнение нераарывности можно написать так: ргзс " р йсс (5.36) то уравнение Пуассона в этой же форме пишется в виде дсу дй —— — 4ЛСройк, (5.37) или — (р'У) = — 4ЛСр йк. д (5.38) (5.
39) д = вегас) ср, то Еу = — ср + сопз1. Уравнение неразрывности в случае движения в поле тяжести имеет тот же вид, что и при отсутствии массовых сил. Закон сохранения энергии в этом случае примет другой вид. Очевидно, в энергетическом балансе мы должны учесть внутреннюю энергию частиц, возникшую благодаря наличию поля тяжести. Эта гравитационная энергия (Еу) характеризуется потенциалом тяжести ср, рассчитанным на едийицу массы; поскольку 52 мАтвмАтичвский и теРмодинАмический АппАРАт (гл.
Таким образом, «(Е = Т «/Я вЂ” р «1» + «/Е,, = Т Ю вЂ” Р «(» — «1Ф. (5.40) С другой стороны, на основании равенства (1.7) «1Е = ~ ЙТ + Т ф «)» — р «1» — ««Ф. (5.41) На основании (5.40) и (5.41) условия адиабатичности движения («1Я««« = 0) могут быть представлены в виде или, на основании (1.37), в виде А«Р ЫР «'««й» ЙР л« л« ' ««« " а« лг (5.43) где с — скорость звука движущейся среды, что дает непосредственно лагранжево представление закона сохранения энергии. Так как «РФ/«7/ = дФ/д«+ т«.ягай «р и ра«( «р = д, то сР э«+ (5.44) В случае стационарных движений, когда дФ/д« = 0 (д = сопэс или д = — 6М/г«), — "=ю.д, (5.45) прн этом случаю д = сопэ1 соответствует значение а в случае д = — СМт/гэ значение (5.46) «АЕ = «АЕэ — «АФ = /АЕ* + 4ябр, (5.47) где «А — оператор Лапласа, а «АЕэ = — )р «7». Это уравнение можно также написать в виде Л« = Л«э + 4ябр, (5.48) где « — теплосодержание среды, «э = «)» ««р.
Для внутреннего (собственного) поля тяжести, когда поле не- стационарно, можно второе уравнение (5.43), испольауя уравнение Пуассона (5.30), при условии адиабатичности движения привести к следующему виду: 1 м осноВные УРАВнениЯ для спкциАльных слУЧАкВ 53 В результате мы пришли к системе пяти уравнений: три уравнения движения и уравнение сохранения массы и энергии, причем уравнение сохранения массы третьего порядка относительно потенциала ~д, а уравнения даня<ения при выражении я через Р станут уравнениями второго порядка. Аналогичные уравнения можно написать, учитывая выделение тепла в гравитирующей среде, происходящее вследствие какой- либо реакции. В этом случае, учитывая, что Т оо/Ж = Ыс//й + О, получим на основании (1.9) /дР) дт — =ст — +Т( — ) И 'дс (дт/ Ю Выражая дифференциал давления: Ыр = (др/дТ), йТ + (др/ду)т Иу и используя соотношение (1.13), получим (5.49) дТ Р Явления, сопутствующие протеканиям химических реакций в гравитирующей среде, представляют значительный космогонический и астрофизический интерес, например при изучении строения звезд, и одна из таких задач будет нами рассмотрена в главе об астрономических приложениях газовой динамики неустановившихся движений.
Подобного рода явления имеет смысл рассматривать для идеального газа, при этом уравнение (5.49), определяющее энергию, принимает вид (5.50) На основании того, что др/р = Ж + И~ — Т Но; огай ~р = у, основные уравнения для движения среды в поле тяжести в общем случае можно написать в виде —, + (тпр) В + агай1 = Т И аг) о; дп д, + 31У Р Ф = 0; 4яср + А<р = 0; (5.51) дт, На этом мы закончим раабор уравнений, характеризующих движения среды в поле тяжести. 54 мАтемАтический и тегмодинАмический АппАРАт 1гл. 1 В.
Одномерные движения среды в трубе переменного сечения Рассматривая движения среды в трубе, площадь сечения 7 которой плавно изменяется с осевой координатой х: 7 = 1(х) и производная 1о1'Ях мала, можно допустить, что подобного рода движение среды является как бы одномерным, происходящим вдоль оси х трубы, и пренебрегать составляющими скорости по осям у, з. При этом уравнения движения и закон сохранения энергии в общем (неадиабатическом) случае будут сохранять вид, присущий соответствующим уравнениям для строго одномерных движений: ди ди 1 др — +и — + — — =О, д1 дх р дх (5.52) (5. 53) Уравнение неразрывности при этом, напротив, изменится.
Дадим вывод этого уравнения для одномерного движения. Рассмотрим элементарный объем, заключающийся между двумя поперечными сечениями трубы, соответствующими значениям х и х + 1(х осевой координаты. За элементарный промежуток времени 1(1 масса среды, находившаяся в момент 1 в рассматриваемом элементарном объеме, изменилась на величину д, Й'1ох) "1 = д1 (рр) 1ох иг. д д (5.54) Система уравнений (5.53) и (5.56) при заданном уравнении состояния полностью описывает движение среды в трубе. Соответствующее уравнение неразрывности в форме Лагранжа будет иметь вид дх 1Р д„— 1оро~ (5.57) где а — лагранжева координата.
С другой стороны, то же изменение массы с учетом втекания и вытекания среды через сечения х и х + йх может быть выражено так: [((ри)„— (~ри)„» ох] й = — ~~~" 1)Х й. (5.55) Приравнивая (5,54) и (5.55), получим + д «Р (5.56) 5 ы основнык грхвнкния для спкцихльных слгчлкв 55 Г. Звуковые волны Рассмотрим случай, когда в среде распространяются малые (звуковые) возмущения. Выбрав систему координат, в которой среда (или данная ее область) неподвижна, и пренебрегая в уравнении движения членом (п7)тс, имеющим второй порядок малости, поскольку тс мало, напишем уравнение движения в виде дс 1 — + — дгайр = О, дс р, (5.58) где р, — плотность среды. Аналогично, пренебрегая в уравнении неразрывности членом тс йгай р, имеющим также второй порядок малости, напишем это уравнение в виде — + р, й(г тс = О. др дс (5.59) Пренебрегая в уравнении сохранения энергии (энтропии) членом тс дгай,у, имеющим также второй порядок малости, получим д — — 0 и о' = Я (х; у; з).
дх дс (5.60) В случае постоянных плотности р = р, и давления р = р, в среде энтропия также постоянна. Применяя к уравнению (5.58) операцию йст, дифференцируя уравнение (5.59) по времени и рассматривая малые изменения плотности, придем к результату д'р дс Лр= —,= — р йсч —,, ды ~ дс (5.61) где Л вЂ” оператор Лапласа.
Поскольку Лр = с~Лр, где с, — скорость распространения звука в среде, которая постоянна, получим классическое волновое уравнение (5.62) д с — гос, и = — — гоь 8гай р = 0 дс р„ Скорость звука, как известно, определяется выражением с = = ')с (дрсдр)з, .в случае малых возмущений энтропия с точностью до членов третьего порядка малости остается постоянной, и поэтому можно просто писать, что с' = Ырсйр = Лр!Лр (см. Э 38). Следует особо отметить, что движение среды, совершающей малые колебания, является в первом приближении потенциальным. В самом деле, применяя к уравнению (5.58) операцию гос, получаем 56 мАтемАтический и теРмодинАмический АппАРАт 1гл.
г откуда гос тг = сопзФ. При колебательных движениях среднее по времени значение скорости равно нулю, поэтому и го1 тг =О. Следовательно, тг=дгай гр,где гр — потенциал. Из уравнения (5.59) имеем —, = — р, 61т атаби = — р,й<р; ар (5.63) дифференцируя это уравнение по времени и сравнивая с (5.62), придем к соотношениям р сЛр (5.64) откуда ра р ра Лр= — — 'Л вЂ” и р'= — — ' —, са дс с' дг а а (5.65) где р' = р — р, естьмалоеизменение плотностив звуковой волне.
Очевидно, др'/дг = др/дг низ (5.65) имеем др'/дг = — р,/с',д'ср/дга. Используя уравнение (5.63), придем к уравнению ар айса а г дя а асср дар (5.68) дга дя ' Напишем общее решение этого уравнения: <р Рг(г саг) + Р (г + саг) (5.69) где Р, и Р, — проиавольные функции. Для сферических волн (Л = 2), поскольку (1/г') (д/г' дср/дг) / дга) = д' (гср)/дг', уравнение (5.67) можно написать так: с" а а (гср) = аса (гср) (5.70) Его решение имеет вид Ч г'г (г — с г) + /га (г + с Г) а а г (5.71) Далее из равенств (5.65) и (5.69) видно, что для плоской волны Таким обрааом, потенциал ср также удовлетворяет волновому уравнению.
В случае плоских цилиндрических илн сферических звуковых волн для определения потенциала будем иметь уравнение (5,67) Для плоских звуковых волн (У = О) уравнение (5.67) принимает вид э ы основнык ггавнкния для спкпилльных слгчакв 57 мы имеем Р' = — — — = — [Гс — Га) и = — =Г +Г Ра дср Ра ' ' дср са дс с дг а 'О для сферической волны (5.72) р' = — '[Г, — Г,), и = — [Г, + Г,) — —, [Г„+ Г,]. (5.73) а Для цилиндрической волны решение уравнения (5.67) можно представить в функциях Бесселя нли Ганкеля. Для плоской бегущей волны одна иэ функций Гд и Га равна нулю, например Га(г + сас) = О, и мы приходим к соотношению са и = — Р'. ра (5.74) РЧ ] Е (5.76) где Š— внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы среды, то иэбыточная энергия е' = е — е, по сравнению с начальной энергией е, среды с точностью до членов второго порядка включительно определяется соотношением РЧ~ р,д р ра,д(рв> р" да(РЦ +РŠ— РаЕа= в + и +Р д + в д а .
(5.77) др В дра Так как с]Е = Т с]з — р с[в = Т с]Я+ — ", с]р, Р* (5 78) то, используя формулы (т.3), получим =Е+ — =.с=с,; (. )=— д(ре) т р )а р а При этом максимальное давление в волне не меняется с расстоянием. Для сферической волны получаем (5.75) Ра [ гР',.' причем амплитуда волны падает с расстоянием, как )с'г. Для цилиндрической волны в пределе (на больших расстояниях от источника звука) максимальное давление в волне будет падать, как 1с)с г.
Элементы теории звуковых волн будут использованы ниже при научении слабых ударных волн. Вычислим теперь энергию авуковых волн. Так как энергия в единице объема равна 58 мАтемАтический и теРмодинАмический АппАРАт [гл. [ Таким образом, избыточная энергия единицы объема среды равна Р ч Са — 2 + Р а + ~р (Р ) (5.79) а а Как мы уже знаем, для плоской бегущей волны д = и = — ' р', Ра поэтому, учитывая, что при малых колебаниях р = р„имеем (5.80) Ра Член р'~ в случае малых гармонических колебаний обращается в нуль, поскольку, исходя из уравнения неразрывности, имеем ~ р У~ = ~ р <И, откуда ~ р' ЫУ = О. В случае малых периодических колебаний выражение (5.80) принимает вид е' = р,и' (5.81) В общем случае произвольной волны можно написать аналогичную формулу для среднего по времени значения полной звуковой энергии; эта формула следует непосредственно иа известной теоремы механики, доказывающей, что в системе, совершающей малые колебания, среднее значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной энергии, поэтому полная средняя звуковая энергия определится формулой е' = — 2~ йдду = 2~р,и*~И, (5.82) где й — средняя скорость движения среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
