К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Отсюда можно сделать такой вывод. Плоские или пространственные неизэнтропичные движения, т. е. движения, сопровождающиеся необратимым выделением или поглощением энергии, обязательно будут вихревыми, поскольку при этом циркуляция скорости не остается постоянной и не может, в частности, быть равной нулю и, следовательно, гог тт + О (исключение составляет случай Т = Т (Я), но и тогда можно только говорить о сохранении циркуляции скорости, а потенциальность течения не должна обязательно иметь место).
В случае вихревого движения могут существовать замкнутые линии тока; при потенциальном течении в односвязной области замкнутые линии тока существовать не могут, НВНОТОРЫГ ОВЩИВ СВОЙСТВА ДВИЖВНИЯ СРЕДЫ При сохранении циркуляции скорости, поскольку гоз (Тдгай Я) = О, то Т дгай Я = лгай Й, (4.10) где Й является потенциалом поля Т огай Я. Б частности, равенство (4.10) справедливо и в случае потенциального движения среды. Рассмотрим более подробно потенциальные движения. Уравнение Эйлера (4.5) в этом случае примет вид (4 11) Поскольку и = огай ~р, уравнение (4.11) окончательно можно написать в виде дгай ( —, + —, + 1 — Й ) == О, ! дт д'-' (4.12) что дает — — — г=Й, д<р дз (4 13) (4.14) Уравнение Бернулли не является уравнением, выражающим в общем случае закон сохранения энергии, а является просто интегралом дифференциальных уравнений движения среды.
При этом в случае адиабатических движений величина Й остается постоянной вдоль каждой линии тока. Это очевидно, поскольку траектория любой частицы представляет собой линию тока и энтропия каждой частицы остается неизменной при ее движении, т. е, вдоль любой траектории дЯ = 0 и ОЙ = О. Естественно, что Различным линиям тока могут соответствовать и различные значения величин О' и Й. Функция времени, которая появляется цри переходе от (4.12) к (4.13), может без ограничения общности быть принятойравпой нулю, поскольку потенциал ~ определяется соотношением и = = дгаб ~р с точностью до произвольной функции времени.
Уравнение (4.13) является первым интегралом уравнений потенциального движения. Уравнение неразрывности, уравнение сохранения энергии и, в частности, уравнение адиабатичпости при этом имеют прежний вид. Б случае установившихся движений среды имеем дп!дг = О, следовательяо, д~дфдт = О, и уравнение (4.13) переходит в известное уравнение Бернулли 40 мАтемАтический и теРмодинАмический АппАРАт огл. о В случае изэнтропических течений й = 1 = — сопэ1 и уравнение Бернулли (3.15) принимает внд оо + 1 = 1о (4.15) где 1 — теплосодержание среды в состоянии покоя.
При о = О скорость д= Р2~~ (4.16) определяет максимально возможную скорость движения среды, В случае неадиабатических установившихся безвихревых движений для каждой линии тока 2 (4 17) — + (ооо) оо + — дгао(р = О, де до ро для стационарных движений вдоль линии тока имеем огай (д92 + + р(ро) = О, откуда — + — = — = й, ч' (4.18) 2 ро ро где р, — плотность среды.
Величина (о различна для различных линий тока. В случае потенциальных течений (о = сопэ1. Для того чтобы теперь лучше уяснить закон сохранения энергии в общем виде, воспользуемся следующими рассуждениями. Энергия, заключенная в единице объема среды, равна (2 )' (4.19) где 1 — расстояние вдоль каждой линии тока от некоторого выбранного начала. Как мы показали, в случае неадиабатических процессов циркуляция скорости может сохраняться только при соблюдении условия Тйгао) Я = огай оо, или при Т = Т (Я), или для движений, обладающих симметрией; в противном случае всякое неадиабатическое движение должно сопровождаться изменением циркуляции скорости при движении жидкого контура, а следовательно, движение будет обязательно вихревым.
В случаях, когда движение при Т = Т (о) не обладает симметрией, нельзя установить, исходя только из наложенных соображений, будет движение вихревым нли потенциальным. Таким образом, условие Т = Т (б) является необходимым, но недостаточным для существования потенциального течения. В случае несжимаемой среды, поскольку уравнение движения принимает вид $ Сс НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОИСТВА ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ 41 где первый член рде/2 определяет плотность кинетической энергии в единице объема, а второй член РЕ определяет плотность потенциальной (внутренней) энергии среды.
Изменение этой энергии определяется частной производной де д — = — |'Р— + РЕ) ас дс Поскольку а Ср»е; »е др д, ас ' 2 ) = а ас " ' ас ' то, воспользовавшись уравнениями (2.11) движения и неразрыв- ности, можно это выражение привести к виду »е1 ас ~ з ) = ~ з й1»Р»с+тсетайр+Р(тс») или, так как ягай р = растай с — Р д~~ = р ягай с — Р Т ягай Е, где р(С = Тдгай 5, то ) = — ~ в й»рп+ Рп Егайс+ Р(сср) 2 — Р(ссу) с~1. (4.20) »3 Далее й(РЕ) = Ейр+ РйЕ = Ейо+ р~йс~+ р — р1 = = Ейр+ Р~Ц+ — йР = сйр+ Рйф где с = Е + р/р есть теплосодержание единицы массы среды. Отсюда следует, что —,(РЕ) = с —, +Π— — = Р— — 'И» Рсс.
д . др д0 дрс дс дс дс (4.21) Сравнивая (4.19), (4.20) н (4.21) и произведя очевидные преобра- зования, придем к выражению дз СС е с. »е 1 ссО а. = — = — ~~ с + —, й»Р»с + р(»се) 'с + —, 1+р— З/) дс или а, — — йс»~РО~ —.+ с'))+Р— = а ('~ +РЕ), (4.22) где й9/йс = дО/дС + тсдсс. В случае адиабатических течений йс,//йС = О, и выражение (4.22) принимает вид д, = д,( г +РЕ)= — й1»(Р ( ~+С)). (4.23) 3 3) некоторые ОБЩие сВОйстВА ДВижениЯ сРеДы 43 В прямоугольной системе координат, наиболее удобной вданном случае, къя компонента этого вектора будет меняться со временем по эакону дик д д; дк дк дк (~ ~) дк ' 1 дк (4.30) где 3 = 1, 2, 3 соответственно х, р, г.
Напишем уравнения движения и нераэрывности в кратком виде: 3 дхк ч., дхк 1 др — "+ Х.,— '+- — =0 дс,~3 д, р дх,. = (3 = 1, 2, 3); (4.31) + хл — (рок) 33 К (к = 1, 2, 3). Исключив с помощью этих уравнений др/дг и дх,./дг иэ соотноше- ния (4.30), можно написать его в виде 3 дх, др 1 "-~ " дх дх.
) 3 3 дх (4.32) Поскольку мы имеем 3 др ~ др д; = ~33'к дх К=к где бц„— единичный) тензор (Ьм = 1 при 1 = я; бц = О при к+ я), выражение (4.32) можно окончательно представить в таком виде: дг д (рхк) д Г 1 дП3„ — = — — ~,~~~~ (рогах + Ьккр)) = —,У, — . (4.33) 33=3 К=к юкк —," дЧ=~Пк„дУ„ согласно обобщенной теореме Остроградского — Гаусса; тогда д Р д ~ кду= -1пкду дг,'1 т (4.34) Здесь тензор Пы = рогах + Ьпр симметричен.
Смысл его становится очевидным, если проинтегрировать выражение (4.33) по некоторому объему Ъ', причем заменить интеграл 44 мАтемАтичеснии и теРмодинАмический АппАРАт !Гл. 1 где стоящий слева интеграл определяет изменение 1-й компоненты импульса в заданном рассматриваемом объеме; интеграл, стоящий справа, определяет поэтому количество ~-й компоненты импульса, вытекшее в единицу времени через всю поверхность ~ этого объема. При этом следует ааметить, что Фк = "к'Я где и. — проекция единичного вектора на )г-ю ось, и — единичный вектор, взятый по внешней нормали к элементу поверхности (д~ представляет адесь абсолютную величину данного бесконечно малого элемента поверхности). Таким образом, можно утверждать, что величина Пзрк есть 1-я компонента импульса, протекающего аа единицу времени через элемент поверхности ф, а Пгк представляет собой 1ткомпоненту импульса, протекающего за единицу времени через единицу поверхности перпендикулярно к оси хк.
Тензор П,» называют тензором плотности потока импульса. Поскольку Пок = РЩРк+ бар то компоненты потока импульса определяются как з 3 ,~~ Иыпк = рлк+,~~ ргкокпк (1' = 1, 2, 3). (4.35) 1=1 1=1 з Здесь ~~'~ Пккпк = П; есть поток импульса, отнесенный к единице К=1 поверхности. Зто выражение может быть записано в следующей простой векторной форме: П = Ри + ро(ои). (4.36) Итак, резюмируя наложенное выше о потоках энергии, импульса, массы и энтропии, можно сделать вывод, что движение среды в некоторых случаях весьма выгодно характеризовать величинами плотностей этих потоков, когда величина какой-либо плотности потока может некоторое время оставаться или постоянной, или меняться заданным образом.
$ 5. Основные уравнения газовой динамики для некоторых специальных случаев А. Движение среды при изменении фазового состояния Представим себе, что мы имеем среду, в которой происходит химическая реакция, сопровождающаяся выделением (или поглощением) энергии, причем фазовое состояние среды при этом изменяешься, с 51 осноВные УРАВнениЯ длЯ специАльных слУИАВВ 45 Если, например, в каком-либо объеме сгорает твердый порох, при его горении образуются газообразные продукты сгорания н выделяется определенное количество энергии. При этом для упрощения решения ряда задач можно рассматривать твердые частицы пороха как неподвижные, что, вообще говоря, верно только приблизительно, поскольку при истечении продукты сгорания будут вовлекать в движение частицы еще не сгоревшего пороха и последние начнут двигаться с некоторыми скоростями, правда, значительно меньшими, чем продукты сгорания.
В другом приблиясении можно считать, что эти частицы, наоборот, имеют ту же скорость в заданной точке, что и продукты сгорания. Уравнения движения, характеризующие движение газообразных продуктов сгорания, очевидно, не претерпят никаких изменений по сравнению с уже выведенными нами уравнениями — + (соч) со+ — кгас(р = О, до 1 дс Р (5.1) зависит скорость реакции. Поскольку в координатах Лагранжа имеем сссл = Рссо = Россчо (5.2) то (5.3) гДе Ро = Р, (С), сс — относительное объемное РасшиРение, Р— плотность газа. Так как с((РЬ)~й = 51 с)р~й + Р с)ИЖ, а сИ/с)С = Л сПч сс, то — (Рот) = со Я + Рсйч со), и уравнение (5.3) принимает вид сСр .
1 сСро р дро — + РСПчп = — — = — —, ссс =Ай родс' или д1пр . сС1про й й + Й1чи = (5.4) и окончательно — + 511 ч (рос) = — ~ — + сс атас) ро), др р !дро дс ро (,дс (5.5) где под плотностью Р следует понимать массовую среднсою плотность пороха и газа. При выводе уравнения неразрывности необходимо учесть, что масса продуктов реакции (т) со временем возрастает. От величины исо = йп!й 46 мАтемАтический и теРмодинАмическии АппАРАт [гл. 1 что является уравнением неразрывности, написанным в форме Эйлера. При условии, что ра не зависит от времени для каждой лагранжевой частицы, будем иметь йрэЮ = О, после чего уравнение (5.5) переходит в классическое уравнение неразрывности (2.4). Выведем уравнение энергии.
В случае переменного числа молекул среды термодинамическое тождество, как известно, имеет вид (5.6) йЕ = Тйю — р йч + )с йЛТ, где (А = (дЕссдЛс)э;, — так называемый химический потенциал, Лс — число частиц молекул среды в единице ее массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
