Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тогда оба решения совпадают в подобласти АВР. Эта теорема единственности, пови- 0 димому, никогда не доказывалась, хотя вряд ли можно сомневаться в ее справедливости при на двух временно-подобных То же можно сказать и о теодугах. реме существования, согласно которой, если два направления в' и К временно-подобны в точке О, то решение существует в окрестности О в том случае, когда одна величина задана на в', одна на К и две в О таким образом, что данные непрерывны в точке О.
Предыдущие утверждения составляют основу для полного рассмотрения уравнений газовой динамики в случаях, охарактеризованных в Э 20. Во всех этих случаях приведение уравнений к характеристическому виду открывает путь для теоретического и численного изучения, что будет показано в гл. Ш и Г>1. Теперь >ке мы продолжим общую теорию, рассмотрев вопрос большой важности — простые волны.
5 29. Простые волны. Течение, примыкающее к области постоянных значений Очень часто мы встречаемся с таким положением: в обласги (11 плоскости (х,у) решение дифференпиальных уравнений (2!.01) или, как мы будем говорить проще, „поток" постоявен. С этим потоком граничит другая область (П), в которой и и и меняются. Тогда, как мы видели в 5 26, эти области разделены характеристикой С. Мы покажем в этом разделе, 5 29.
Ш ОСТЬП: ВОЛНЫ. ТЕЧЕНИЕ У ОБЛАСТИ ПОСТОЯННЫХ ЗНАЧЕННН 7! что поток в области (11), граничащей с областью постоянного потока (1), имеет особенно простой вид, если дифференциальные уравнения (21.01) приводимы, т. е. если коэффициенты А, В, С, ?Э при производных и„, и,, о„, о зависят от и н т7 и не зависят от х ну, а свободные члены Е равны нулю (см. 5 21). В этом разделе мы будем иметь дело только с приводимыми дифференциальными уравнениями, которые мы предположим гиперболическими.
Такие уравнения обладают двумя фиксированными семействами характеристик в плоскости (и, о) Г+.Н(и, ю) =сопз1 н Г: и(и, о) =сопз1. Как было показано в э 21, приводимое дифференциальное уравнение может быть приведено к линейному, если не равен нулю якобиан у = и,о, — и о,. Теперь мы займемся решениями и(х, у) и о(х, у), у которых якобиан ? равен нулю во всей области и которые поэтому нельзя выразить через решения соответствующих линейных уравнений. Такие решения или течения называются простыми волнами. Простые волны играют основную роль при построенин решений в задачах газовой динамики.
В частности, мы покажем, что решение в области, соседней с постоянным потоком, всегда является простой волной. В области (1) постоянного потока оба семейства характеристик суть прямые линии, так как постоянные значения и и о приводят к постоянным значениям !т и а. Мы покажем, что в области простой волны по крайней мере одно семейство С-характеристик состоит из прямых линий. Начнем с математпческого определения простой волны как течения со следующими свойствами: область течения заполнена семейством С-характеристик одного рода, например С, изображения которых в плоскости (и, о) все попадают на одну и ту же Г-характеристику, например Г'. Иными словами, изображение (и, о) всей области простой волны лежит на одной характеристике Г . Ясно, что изображение каждой дуги характеристики С„ в области простой волны лежит на какой-либо характери стике?',.
С другой стороны, это изображение целиком лежит на Г, потому что иэображение всей области простой волны „0 целиком лежит на Г . Поэтому изображение каждой характеристики второго рода С+ состоит из одной точки, являющейся пересечением Г+ и Гь. Но это значит, что величины и и о постоянны иа каждой характеристике второго рода С+. В част- 72 ГЛ. И ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ности, наклон в — — б+(и, о) этой характеристики постоянен, ву и поэтому она является прямой линией. Иными словами, область простой волны заполнена отрезками характеристик С+, несущих постоянные значения и и о и поэтому прямымй.
Из этого непосредственно следует Основная лемма. Если в некоторой области течение происходит при постоянных значениях и и о, то в соседних областях оно либо тоже постоянно, либо является простой волной. Рассмотрим область Гт', в которой и и о — непрерывные функции х н у и которая содержит область 5, где и н о постоянны на С,-характерис, стиках.
Через каждую точку с. области )с проходит С -характеристика. Рассмотрим подобласть )с' области гт', состоящую из таких точек )с, для которых С -характеристика у пересекает область 5. Тогда точная формулировка основной леммы состоит в том, что течение в подобласти Гт' является простой волной. ДокаРУС. З. ОбваСтЬ ЕРОСТОй ВОЛНЫ, ГРа- зательство следует немедлеи- ИИЧЕПГВЯ С ПОСТОЯЕВЫМ ТЕЧЕЕИЕМ. но: изображение 5 в плоскости (и, о) есть точка. Поэтому изображение всех характеристик С в й' лежат на характеристике Г , проходящей через эту точку. Но через точку проходит только одна особая характеристика. Поэтому все изображения лежат на одной н той же характеристике Г .
Тогда по определению течение в Я' является простой волной. Из основной леммы следует основная теорема: течение в области, соседней с постоянными значениями сс, о, есть простая волна. В самом деле, линия, разделяющая области постоянных и непостоянных значений, есть отрезок характеристики, и эта характеристика, граничащая с постоянной областью, несет тоже постоянные значения и и о, как и все характеристики в постоянной области.
Отсюда ясно, что в соседней области й' течение является простой волной. Приводимые дифференциальные уравнения (21. 01) обладают множеством различных решений вида простой волны и интересно выяснить, по каким признакам можно установить частный % тв. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ, ТЕЧЕНИЕ У ОБЛАЕТ!Т ПОСТОЯННЫХ ЗНАЧЕНИИ ТЗ тип простой волны. Естественная возможность, соответствую. щая типичным физическим задачам, такова: заданы значения сс=и(з), о=о(з) вдоль кривой В: х=х(з), у=у(в) так, что изображение в плоскости (и,о) лежит на определенной Г-характеристике, например на Г . Тогда наклоны прямых С -харак.
+ теристик, выходящих из каждой точки (х(в), у(в)) кривой В, ву равны — „в =1+ (и(в), тс(в)] и значения и и о на этих С+-характеристиках постоянны вдоль них: и = и (в), о = — о (в) „Поэтому Рис. 9. Область простой волны, траннчащая с произвольной ярнвой. Рис. 10. Цснтрнрованная простая волна. течение может быть описано равенствами х=х(в)+о, у= =у(з)+о".+, и=и(в), о=о(в), содержащими два параметра в и о.
Мы предположим, что кривая В нигде не касается С -направления: ут ~ + 5' Тогда якобиан д (х, у),сд (о, в) =у, + о (ч+) — ".+х, не равен нулю на В. Поэтому в окрестности В х и у могут служить- независимыми параметрами Легко проверить, что функции и (х, у) и о (х, у), полученные таким способом, являются простыми волнами и удовлетворяют дифференциальным уравнениям. В частном случае, когда кривая В вырождается в точку О и все прямые характеристики С+ исходят из этой точки, волна называется центрированнойс центром О.
Такая центрированнпя простая волна, очевидно, определена, если задан соответствующий участок Г -характеристики. 74 ГЛ. П. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ й 30. Преобразование годографа и его особые точки. Предельные линии Мы прибавим несколько замечаний относительно „преобразования годографа", описанного в ч 21, в качестве метода сведения приводимого уравнения (21.01) для (и, ю) как функций (х,у) к линейному уравнению (21.03) для (х, у) как функций (и, о). В $ 29 мы изучали простые волны в области течения, где у' = и„о — и ю = О, и поэтому преобразование годографа невозможно.
Рассмотрим теперь случай, когда 7'=- 0 только вдоль гладкой кривой. Мы будем интересоваться также тем случаем, когда якобиан l= хРу„ — х,у„ равен нулю вдоль кривой в плоскости (и,ю) в области, где преобразованное дифференциальное уравнение (21.03) обладает гладким решением. Как мы увидим в гл.!Ч (см. й 105), оба зти случая важны в теории установившегося двумерного потока. Займемся здесь математическими фактами, относящимися к особым точкам отображений. Рассмотрим отображение плоскости (;-, т1) на плоскость (;-', ь') и предположим, что в точке О(Е = и = 0) (30.01) в то время как не все производные Е:, Е,, т1,, т,, равны нулю. Этим предположением мы исключаем особенности типа точек разветвления, такие, какие встречаются в теории потенциала и вообще у решений эллиптических дифференциальных уравнений вида (21.01).
Если мы, например, предположим, что Р. =;-'=О, то из условия (30.02) следует, что геометрическое место точек у = 0 есть гладкая кривая, проходящая через О, или так называемая „критическая" кривая. Ответ на вопрос, как выглядит отображение окрестности О в окрестности точки О' (сю = ч' = — 0), следующий: Изображение всей окрестности О в (Е, т1)-плоскости не является полной окрестностью О' в (Е', ~')-плоскости, но только частью окрестности, получившейся как бы от того, что оригинал сложен вдвое и накрывает сам себя. Область изображения состоит из двух листов, соединяющихся вдоль края, Этот край является изображением .критической кривой 7'=О. Имеется одно „исключительное" 5 30. ПРЕОВРЛЗОВЛИИЕ ГОДОГРЛФЛ И ГГО ОСОВЫЕ ТОЧК77 направление, проходящее через пточку О, такое, чзпо изображения любых кривых С, проходящих через О в этом исключительном направлении, имеют углы в точке О'; их 7( Р770.
П, Отображение окрестности критичсскои кривой (жирная сплошная линия). На рисунке изображены три кривые, пересекающяе критичсску7о криву:о в исключительном направлении и имеющис на отображении углы (тонкие сплошные линии), и три кривые, проходящие в неисключительном направлении, которые в отображении касательны к кра7о (тонкие пунк- тирные липни). направления в этих углах зависят от кривизны критической. кривой в точке О. Зто исключительное направление ((, т)) задается условием ~' = $;В+ 1р = О, и' =- п,с+ ч = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
