Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 11
Текст из файла (страница 11)
П. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Конечно, вместо параметров а и р, введенных таким обра- зом, можно ввести в качестве характеристических параметров любые монотонные функции а' = 17(а), р'= %'(р). Такое пре- образование оставляет иивариантными уравнения характери- стик и поэтому не изменяет кривые. В области, где введены характеристические параметры, мы имеем + у =~ х вдоль С, у =. х вдоль С В согласии с нашей начальной целью мы теперь должны определить множители 1ы Х„чтобы образовать комбинацию 1,,Е„+!.,7В=7.=0; вместо этого мы получим соотношение Л = О более изящным способом, исключив Хт и 1, нз первого н третьего уравнений (22.04).
В результате будем иметь: , А,у,— В,х, А,,у,— В,х, ; А,и,+Ср,+Е,х„А,и,+Ср,+ ЕВх„~ Введя у. = Сх., мы получим после сокращения на множитель х уравнение Ти,-[-(аС вЂ” 5)о,+(7г ."— Н)х,=О вдоль С„, (22.15) где Т =- [АВ1, 5 = [ВС), К= [АЕ[, Н= [ВЕ[. (22.16) у„— ".+ х„= О, 1 П И вЂ” х =О Ти„+ (а à à — В) о + (К Г, — Н) х„=- О, Ти +(а', — В)о +(й'", — Н)х =О, (22.! 7) которые верны для каждого решения и(х, у), п(х, у) и относятся к его характеристическим направлениям, Хотя до сих пор мы рассматривали фиксированное решение и, и, уравнения (22.17) не зависят явно от этого решения, так как все коэффициенты суть известные функции х, у, и, о. Теперь мы будем интерпретировать нашу систему несколько иначе. Система (22.17) может и будет далее рассматриваться как система четырех дифференциальных уравнений в частных Это соотношение останется справедливым, если заменить Г на 1 ь и В на а или г. на 1 и В на [!.
Итак, мы пришли и следующим четырем харантеристичеснГем уравнениям: а 22. хАРАктеРистические ЕРизые и уРАВнения производных для четырех величин х, у, и, о как функций я, р. Замена исходной системы (21.01) этой характеристической системой является основой последующей теории. Дифференциальные уравнения (22А7) имеют особенно про- стой вид, так как каждое нз уравнений содержит производные только по одному независимому параметру, кроме того, коэф- фициенты не зависят от этих параметров. (Такая система назы- вается канонической гиперболической; см.
~32), стр. Зб7.) Из предыдущего видно, что каждое решение исходной си- стемы (21.01) удовлетворяет характеристической системе. Легко проверить, что справедливо и обратное. Каждое решение ха- рактеристической системы (22.17) удовлетворяет исходной си- стеме (2ГО!), если не обращается в нуль якобиан х„ув— х„у„= ( ч — ".+) х„х . Отметим два упоминавшихся выше частных случая.
Если дифференциальные уравнения (21.01) линейны, то '. и ". — известные функции х,у. Уравнения 1 (22.17) не связаны с уравнениями 11, и поэтому уравнения 1 определяют два се- .Иейства характеристик, С„и С, независимо от решения и, о. Подобную же картину мы наблюдаем в том случае, когда диф- ференциальные уравнения приводимьс, т. е. когда Е, =Е,=О и А„..., В2 зависят только от и, о. Тогда г.„ь и ч — известные функции от и и э и дифференциальные уравнения Ц не зави- сят от х и у. (Это верно и в том случае, когда Е, и ЕТ не равны нулю, но зависят только от и, о.) У приводимых уравнений характеристики Г в плоскости (и, э) суть изображения С- характеристик в плоскости (х, у) н не зависят от вида решения и (х, у), о (х, у).
Они опре- деляются дифференциальными уравнениями 11, которые можно записать в виде Г: Тли =С вЂ” аг, Ч'Р + 4и (22.18) Г: Т вЂ” =5 — а"- . ВР В то время как уравнения (22.Х7) образуют полную систему, следует упомянуть, что можно вывести другое соотношение, полезное специально для рассмотрения характеристик Г+, Г в плоскости (и, о); оно объединяет уравнения 11 точно так же, как (22.06) объединяет уравнения 1. Исключая !т н 1,2 из по- следних двух уравнений (22.04), мы получаем А, и, + С(о, -+ Е,х А,и + С,,о, + Е х = О. (22.19) В,и,+А)р +Е(у, В2и +ОТО +Е у Зв гл, и. твояня иялвнания лля фхнкцни лаух пеРеменных Это уравнение аналогично (22.05).
Предположим, что не все коэффициенты [АВ]= Т, [АР]+ [СВ], [СР] при и„и,н, и о,' в уравнении (22.19) равны нулю, в частности, что ТФО; (22.20) последнему условию всегда можно удовлетворить, введя, если это необходимо, новые функции вместо и и о. В случае приводимости уравнение (22.19) становится простым квадратным дифференциальным уравнением для отношения иц которое можно использовать вместо (22.18) для отыскания двух семейств Г-характеристик.
й 23. Характеристические уравнения для специальных задач Для уравнений течения, перечисленных в разделе 20, легко получить характеристические уравнения либо прямо, либо путем подстановки в общие формулы. Применим наш метод прямо к случаю одномерного изэнтропического течения, образовав линейную комбинацию нз двух уравнений (20.01) и потребовав, чтобы она содержала производные только в одном направлении и„р, от и и р, заданном через (1,, х,).
Напишем эту комбинацию в виде и,+(и+1р)и„+),р,+[1,и+ — )р =О. (23.01) Тогда условие для (1„х,), очевидно, будет х = (и + 1.р) 1„1, х,'= [ >, и+ — ) 1„ откуда (23.02) 1,Я = сЯ1р".. Следовательно, существуют два характеристических направления: х„=(и+с)1„, х =(и — с)~. (23.03) Из (23.01 — 23.03) получаются характеристические уравнения для и ир: (23.04) % 23. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛЛЯ СПЕНИАЛЬНЫХ ЗАЛАЧ Эз Как мы увидим в гл.
Ш, смысл уравнений (23.03) заключается в том, что характеристики в плоскости (х, 1) представляют движение возможных возмущений (позднее названных „звуковыми волнами"), скорость которых их — = и+с или «с ах =и — с вс (23.05) Для установившегося двумерного безвихревого иззнтропического потока мы будем несколько ближе следовать методу общей теории. Образуем линейную комбинацию уравнений (20.05): Л.,(сс — и') и, +(А,— Л,ио) и — (Л,+Л ип) о,-,' +Л,(С — Ос) О =О. Для того чтобы эта комбинация содержала производные и„, о, только в одном направлении (х„ у,) согласно (22.04) тре.
буется, чтобы (Л, — Л, ио) х,— Л (сс — и')у,= О, Л (с.— о')х +(Л +Л,ичз)у — -О, Л (сг — ис) и — (Л + Л, ио) о = О, (Л,— Л, ) и+ЛВ(с — ) =О. Исключая Л, и Л, из первых двух уравнений, мы получаем (с' — и') к,'+ 2 иох,у, +. (сг — и') у' =О, (23.07) из последних двух уравнений подобным же образом получаем (с' — и') и',— 2стгс,ю,+(с — а )о,=О, (23.08) отличается от скорости частиц и на скорость звука ч- с. Дифференциальные уравнения трехмерного сферического потока (20.02) отличаются от уравнений одномерного потока 2иа членом —, не содержащим производных и и р. Отсюда ясно, что характеристические уравнения для х н 1 такие же, как для одномерного потока, а именно (23.03)(конечно, отсюда совсем не следует, что характеристики те же, потому что вид этих кривых зависит от решения).
Характеристические уравнения для и и й отличаются от уравнений(23.04); они имеют вид с 2 си с 2 си и + — р+ — -1 =0 и -- — р — — г =О. (23.06) р х ~ ' г р г х 60 ГЛ. П. ТЕОРИЯ УРТВНЕНИИ ДЛЯ ФУНХЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ тогда как из первого и третьего уравнений мы имеем 1(с' — иВ) и, — иэо,') х, — (иох,+ (с' — и')у,1 в, = О. (23.09) Уравнение (23.07), записанное в виде (сз — оа)+2иог+(с' — и')Гт =О, (23.10) Уа где 1==- —, имеет два действительных корня, 1+, ~, так что а у=". х, у=~ х, (23.11) если только (са — эа) ~.—.— и') — и-'ПВ отрицательно нли О ( с' ( и'+ пз Это условие, определяющее свсрхзвуковой характер течения, обеспечивает гиперболичность дифференциальных уравнений (20.05). Характеристики, определенные из (23.!1), позднее будут называться „линиями Маха" (см. % 31).
Уравнения (23.08) определяют два характеристических на- правления в плоскости (и,о) независимо от рассматриваемого решения и (х, у), и (х, у). Такие характеристические направ- ления в плоскости (и, о) существуют, потому что согласно общей теории система (20.05) приводнма. Сравнивая (23.08) ии и (23.07), мы видим, что корни — (23.08) суть — ~+ и — й . Правильное сопоставление получается с помощью уравнения (23.09), которое дает (сз — ит) и„+ (2 ив + (ст — и') Ц о„= 0 нлн, так как по (23.07) (с' — ит)(с, +~ ) = — 2ГГо, (23.12а) Подобным гке способом находим (23.12б) и = — с + 1(онечно, уравнение (23.08) является следствием двух уравнений (23.12) и определения ь+ и г, как двух корней (23.10).
Значение выведенных таким образом характеристических уравнений будет детально разъяснено в гл. 1Ч. Упомянем только, что при установившемся трехмерном течении с цилиндрической симметрией, подчиняющемся уравнению (20.06), характеристическими уравнениями для х, н у, вновь яв- 5 2С ЗАДАЧА О НАЧАЛЬНЬ>Х ЗНАЧЕНИЯХ сп ляются уравнения (23.07), выведенные для двумерного течения. Однако характеристические уравнения для и, и о, выглядят иначе: вместо уравнения (23.08) мы имеем с2 о и„+ч о„+ — х =О, с' — ис у (23.13) сэ о и+; оэ+ — х =О, + ' сэ — ит у что легко проверить. й 24. Задача о начальных значениях.
Область зависимости. Область распространения Задача о начальнт'х значениях является основной в теории гиперболических дифференциальных уравнений. Пусть задана в параметрической форме' кривая 7 в плоскости (х, у) в зависимости от параметра г > х=х(з), у =у (з). (Мы предположим, что производные х, (з), у, (з) — кусочно-гладкие вдоль 7 н что х, +у~ чь 0.) Тогда задача о начальных значениях такова: определить в окрестности 7 решение и(х, у), п(х, у) уравнений (21.01), которое принимает на 7 заданные значения и(з), о (з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
