Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Предположим, что кривая У при заданных значениях и и о нигде не имеет характеристического направления; другими словами, что повсюду на кривой У ау,' — 2Ьх,у,+Ьх' 72 О. С помощью характеристической формы дифференциальных уравнений (22.17) зта задача может быть изучена с той же полнотой, как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений'>. В плоскости характеристических параметр н а и р можно рассматривать ! как изображение линии тт: а+[2=0.
Характеристические параметры а и р были введены в 5 22 для кривой 7, на которой а= р; мы должны только заменить р на — р. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением только односторонней окрестности У. Теперь задача о начальных значениях может быть сформулирована для дифференцвальных уравнений (22.17) в плоскости (а, 9). На линии А значения х, у, и, о заданы как непрерывные дифференцируемые функции а= — р =з, и мы ищем В Открытием этого важного факта мы обязаны Г. Леви [291. 62 гл. и. твовня гвлвнвннн для Функции двух перемвнных в односторонней окрестности Л решение характеристических уравнений! н П (22.17), которое принимает эти заданные значения на Л.
(Предполагаем, что коэффициенты в (22.17) имеют две непрерывные производные по своим аргументам.) Чтобы построить решение, продифференцируем уравнения 1+ и !! по р и уравнения ! и П по а, и получим таким образом четыре уравнения, линейные относительно х, у, и, п„е. Определитель этих линейных уравнений согласно (22.9), (22.12). (22.20) отличен от нуля и равен аТ (".+ —" )'-. Можно поэтому разрешить их относительно х„,ума иен и„, и получить систему.
уравнений вида х р — 7п ую =У~ и„в =,7м о„~ —— ~4~ (24.01) х'"+и(Р) = О7",(х", у~', и'"', о[м)е[а и'3 х' '=О, лвр и так же для у, и н о. Можнгу показать, что эта последовательность сходится к решению уравнений (24.01). Решение уравнений (24.01) дает решение характеристической системы (22.17). Решение характеристической системы (22.17) эквивалентно решению исходной системы (21.01), если якобнан х„у — х>у„не равен нулю. Детальное доказательство есть в цитированной выше литературе. (Несколько иной и более общий способ изложен в разделе 32.) Из процесса итераций становится ясным, что значения и, ~, х, у в точке Р=(а, р) зависят только от начальных значений на отрезке между точками А = ( — р, р) н В=(а,— а), указан- > Си, [32), гл.
Ч, раздел 5. где функции 7 имеют непрерывные первые производные по любой из величин х, у, и, о, х„, у„, х, у, и„, и, о„, о По заданным начальным значениям и уравнениям (22.17) можно определить эти 12 величин на линии Л. Тогда задача о начальных значениях для уравнений (24.01) может быть решена методом итераций И в окрестности начальной линии Л. Процесс итераций, дающий значения и, э, х, у в точке а, 13, основан только на интегрировании функций 7; по треугольнику АВР, как это показано на рис.
1. Предположив, например, что начальные значения равны нулю, мы определим последовательность функций х "~, ум), и'"~, ом) от а и 3 по рекуррентным формулам: вы, задача о начальных знлчвнияк Рас. з. Треугольная область в плоскости 1х, у), в которой может быть получено решение задачи о начальнык значениях. Рис.
7. Треугольник в плоскости (сч а), к которому применяе~ся процесс итерации. что можно ввести характеристические параметры. Поэтому наше решение приводит к решению (24.01). Так как кривые и= сопз1 н р=сопзс являются характеристиками в плоскости (х,у), то численное значение решений и, о в точке Р не зависит от всей совокупности значений на /, а зависит только от начальных значений на отрезке г', заключенном между двумя характеристиками, проходящими через Р. Участок линии между двумя характеристиками называется областью зависимости для точки Р. Смысл этого названия заключается в следующем.
Теорема единственности. Рассмотрим решение (облпдач<щее непрерывными вторыми производными) уравнения (21. О1) в области АВР, ограниченной двумя характеристиками, проходящими через пгочку Р, и отрезком АВ, отсекаемым этими характеристиками на исходной кривой <', Оредположим, что другое решение принимает на АВ те же знпчения, что и первое (второе ре<иение тоже непрерь<вно ными на чертеже.
Пусть мы имеем на треугольнике ЛВР два решения дифференциальных уравнений с одинаковыми начальными значениями на отрезке АВ (но могущими различаться вне его). Тогда эти два решения совпадут на всем треугольнике АВР. Наш результат имеет следующее важное значение для плоскости (х,у).
Пусть решение и(х, у), о(х,у) с непрерывными вторыми производными дано в окрестности исходной кривой <'. Из рассмотрения, проведенного в ~ 22, мы знаем, '64 ГЛ. и. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЯ ДВУХ ПСРЕИЕННЫХ на ! со своими вторыми производными). Тогда оба решения тождественна во всей области АВР. Важный частный случай имеет место тогда, тсогда Ет и Е, в (21,О1) обращаются в нуль всюду„где и=о=О. Тогда и=о =О в АВР есть единственное решение, равное нулю в области зависимости АВ точки Р. Областью распространения точки ьг на начальной линии! называется совокупность всех точек плоскости (х,у), на которые влияет начальное значение в тг. Область распространения -точки кг определяется всеми точками Р, области зависимости 1 у ' ют////ыы// Рис.
4. Область расиростраиеиии точки иа начальной кривой. Рис. 3. Область зависимости точки. .которых содержат точку сг; все точки сг находятся в углу между двумя характеристиками, проведенными через т,г. Мы будем применять эти понятия как в том случае, когда одна из независимых переменных„скажем у, имеет смысл времени (см. $35), так и в случае установившегося сверхзвукового потока, когда х и у — пространственные координаты и и и о — компоненты скорости. Существование областей зависимости и распространения характерно для распространения волн, в противоположность состояниям равновесия, у которых состояния всех точек среды взаимно связаны, причем дифференциальные уравнения, соответствующие последнему случаю, эллиптические; как известно из общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, их решения суть аналитические функции, определяемые во всей области по их значениям в какой- либо, даже малой, области.
С другой стороны, в задачах, связанных с распространением волн, решения дифференциальных уравнений ие обязательно аналитические. Они могут Ь м, глспгоствьнанна вьзгывов вдоль хьвлктаьнстнк 65 быть составлены из аналитически различных кусков в различных областях плоскости (х, у), что значительно облегчает решение гиперболических уравнений. Смысл понятий области зависимости и области распространения неявно заключен в таких выражениях, как „среда в точке Рне знает о состоянии в точке Я", т. е. не принадлежит к области зависимости Я. В наших построениях не выделена определенная сторона кривой 1. Предыдущие рассуждения применимы к обеим сторонам 1 для решения задачи о начальных значениях. В то время как для существования и единственности построенного выше решения исходные значения должны иметь непрерывные и, и н их первые и вторые производные вдоль 1, могут существовать и решения, которые имеют разрывы первых или вторых производных (илн высших) в начальных значениях.
Пусть мы имеем непрерывные решения и (х, у), о (х, у) с разрывами производных на каких-либо кривых; предположим, кроме того, что и и о имеют непрерывные вторые производные всюду, кроме этих кривых. В тех точках Р, области зависимости которых не содержат разрывов первой илн высших производных в начальных данных, решения и, ю имеют непрерывные' первую и высшие производные. Из предыдущего построения можно заключить, что разрывы производных распространяются только вдоль характеристик через тонки разрыва на начальной кривой 1 (см. 132), гл.
Ч, Э 7). Ло сих пор характеристики служили нам для теоретического рассмотрения задачи о начальных значениях. Однако характеристическая форма дифференциальных уравнений оказывается особенно полезной для их численного решения. Численные решения часто удается получить со сравнительно небольшой затратой труда, если дифференциальные уравнения заменяются уравнениями в конечных разностях, как это будет далее подробно описано в гл.
1Ц, 5 83. й 25. Распространение разрывов вдоль характеристик Мы сделаем дополнительные замечания о характеристиках, как возможных геометрических местах разрывов: если в точке А, на 1, какая-либо производная от начальных значений терпит разрыв, то согласно вышесказанному этот разрыв будет распространяться вдоль одной или двух характеристик, проведенных через А.
Больше того, как мы сейчас увидим, закон распространения таков, что разрывы производных никогда не могут исчезнуть. Р. Курант и К. Фр~прнхс бб Гл. и. теоРия уРАВнении для Функция дВух пеРеменных В случае, когда за переменнуюу выбирается время 1, разрыв их распространяется в одномерной области со скоростями — „ определяемыми по наклонам двух характеристик, проведенных через соответствующую точку разрыва в плоскости (х, 1). В двумерном установившемся потоке малые возмущения, произведенные небольшой шероховатостью границы, указываются характеристиками — линиями Маха, исходящими от границы потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
