Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(ЗО.ОЗ) Все „неисключительные" направления, Ггроходящие через О, отображаются в одном и том же направлении, именно в „направлении края". Иначе говоря, изображеиие любой 76 гл. и. ткония квавнвнин лля аонкпни двкх пвнвмвнных кривой, проходящей через точку О в неисключительном направлении, касается края в точке О' и не имеет в ней угла, т. е. излома, и, вообще говоря, переходит с одного листа на другой. Эти утверждения легче всего проверить, подвергая плоскости (с, ч) и (с' ч') двум линейным или аффинным преобра- Рпс. 72. Отображение в окрестности крипжеской кривой в специальных координатах.
зованиям, таким, чтобы отображение можно было после этого записать в виде о'=о+Рак+26ат+Нтт+..., -.' = Е аа+ 2М от+ М т' -~-..., где о, -. и о', -.' обозначают новые координаты, а многоточия стоят вместо членов порядка выше второго. В этих переменных якобиан равен у = 2Д4 о+ 2Н ° + 4 (РЛ4 — ОЕ) от+..., (3005) где точки снова стоят вместо членов более высокого порядка по сравнени|о с о'-', Тогда условие (30.02) в точке О сводится $ БО, пРеОБРАзОБАние ГодОГРАФА и еГО ОООБие тОчки 77 к тому, чтобы МфО. Критическая кривая с уравнением у=О в отображении дает уравнение края: .'=А'.а' +... (30.06) Поэтому направление края в плоскости (а', -.') определяется условием Нт'=О. Как видно из (30.04), каждая кривая в плоскости (а, -), проходящая через точку О и имеющая уравнение ° = Р'+ (30.07) отображается в кривую с уравнением т' = (7.
+ 2М ~+ Х 3') (а')'+..., ' (30 08) которая таким образом касается края. Соответственно каждое направление с сьа чь 0 в точке О не исключительно. Каждая кривая, уравнение которой вблизи точки О а = атв+ (30.09) отображается согласно (30.04) кривой, задаваемой в параметрической форме а'= (а+Н) а'+..., =- Мт'+... (30.10) Так как М+ О, то эта кривая имеет угол при О', т. е. в точке т = О.
Очевидно поэтому, что исключительное направление через точку О дается условием с(а=О. Заметим, что в изломе кривая изображения имеет вообще бесконечную кривизну. В том частном случае, когда (30.02) несправедливо и поэтому М = О, критическая кривая сама имеет исключительное направление в точке О; поэтдму ее изображение, т. е. край, образует тогда, как легко убедиться, две ветви, сходящиеся в углу в точке О'. Изображение всеи окрестности точки О в плоскости (с, т1) образует складку из трех слоев. Один из этих слоев покрывает „область угла" между двумя краями и соединяется на каждом из этих краев с одним из двух других слоев, которые смыкаются по ту сторону угла.
Вышеизложенное поясняет возможности, возникающие при отображении плоскости (х, у) на плоскость (и, О), н, наоборот, те свойства, которыми обладает реигение и(х, у), ю(х, у) приводимого дифференциального уравнения (21.01). Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение (21.01) для и, ю) как функций (х, у), соответствующие линейные уравнения 2!.03) для (х, у) как функций (и, з) и характеристические уравнения (22.17) 1 у„=ч х„, у,=ч х, + " " ' „(30.1!) П Ти,, = — (а".+ — 5) О„, 7и = — (а" — 5) зи 78 гл и-твогггя ьнлвнвнии для екнкпин двгх пвввмвнных где ~, ~, а, Т, 5 зависят только от (и, ю).
Предположим, что координаты выбраны так, что ч+ и ~ конечны и Т=РО н афО [см. (22.09) и (22.20)). Далее предположим, что в рассматриваемой области ч ф ч+ [см. (22.12)], так что через каждую точку проходят 'две различные характеристики. Рассмотрим прежде всего решение (х, у) линейных уравнений (21.03) и соответствующее отображение плоскосгпи (и, о) на плоскость (х, у), предполагая, что якобиан у=х„у, — х„у„ (30.12) Х Рис. И. Отображение, даваемое решением приводимого дифференциального уравнении, включающее предельную линию, на отображении которой l — О.
(но не каждая нз входящих в него четырех производных в отдельности) равен нулю на критической кривой плоскости (и, о). Изображение атой критической кривой в плоскости (х, у), т. е. край складки, называется иреаельной линией. Так как мы имеем два фиксированных семейства Г характеристик в плоскости (и, о), то можно ввести такие два параметра (а, р), что ико — и о„ф О. Тогда нз равенства нулю л' следует, что х у — -ху„=О или согласно уравнению 1 в (30.11) (ч — ь+)х„х =О.
(30.14) Но так как по предположению ч 4.ч+, мы заключаем, что вдоль критической кривой либо х,=О, либо ха †в. Предпо* % эе. ИРеОЕРАзовлиие ГОДОГРАФА и его Осоеые ТОчки 79' ложим, что х„=О, тогда по уравнению 1и у„=О. Из условия (30.03) тогда следует, что одно харакпгеристическое направление, в нагнем случае с(3= О, исключительное. Соотвелгствующая „исключительная" С-характеристика имеет излом на предельной линии. Изображения всех кривых в плоскости (и, о), пересекающих критигескую крггвую в направлении, отличкам от исключительного, касаются предельной линии. Это относится, в частности, к другой, не исключительной С-характеристике.
Итак, предельная линия является огибающеп семейства неисключительных С-характеристшс. Рис. 74. Отображение решения приводимого диффереециального уравнения, включаюшее переходную характеристику, иа которой ) = О. Рассмотрим далее отображение плоскости (х, у) на плоскость (и, ю), даваемое решением (гг,о) исходного квазилинейного уравнения (21.01), в предположении, что якобиан )г=~и„о,т — и о„ (30.15) (но не образующие его четыре производные) обращается в нуль на критической кривой в плоскости (х,у).
Такую кривую мы назовем линиеи перехода. Здесь также линия перехода является С-характеристикой, а ее изображение, край складни в плоскости (и, о), есть Г-характеристика,. С-характеристика другого рода— исключительная; ее изображение пробегаелг все точки одного отрезка р-характеристики до края в одном направлении и потом те же точки в обратном направлении. Изображения всех кривых в плоскости (х, у), пересекающие линию перехода в неисключительном направлении, касаются угла зо Гл. и, теории уилинении для ФункциЙ дВух пеРеменных Чтобы доказать эти утверждения,мы введем в окрестности линии перехода характеристические параметры (а, 3) так, чтобы х,у — х у„ф О.
Тогда из е = 0 следует, что ир — и и„= О, или согласно уравнению П в (30.11) а (» — »+) ррв = 0; так как а ,— Р 0 и " Ф »+, то либо о„ =О, либо ю = 0 вдоль линни перехода. Предположим, что и„ =О. Тогда по уравнению П и и„ = О. Согласно (30.03) отсюда следует, что характеристическое направление, даваемое еер = О, исключительное. Изображение исключительной С+-характеристнки имеет угол на краю складки. Так как это изображение лежит на Г-характеристике, а Г+-характернстики суть фиксированные") кривые, то ясно, что угол на изображении С+ получается при прохождении одних и тех же точек в прямом и обратном направлениях.
Из общей теории следует, что изображения всех кривых, пересекающих линию перехода в неисключительном направлении, касаются края. В частности, край, имея характеристическое направление в каждой из своих точек, является огибающей Г -характеристик. Но через каждую точку проходит только одна кривая с таким свойством; очевидно, это и есть сама характеристика. Другими словами, край сам является Г -характеристикой. Соответственно линия перехода есть С -характеристика. й 31. Системы, состоящие более чем нз двух дифференциальных уравнений До сих пор мы занимались в этой главе системами из двух дифференциальных уравнений, получающимися при изэнтропическом течении с достаточной симметрией. Однако требования изэнтропичности и безвихревого характера течения не всегда выполняются и течение управляется системой из трех или четырех дифференциальных уравнений.
Для таких систем из более чем двух дифференциальных уравнений справедливы многие положения теории, изложенной в втой главе. Характеристические направления можно определять тем же способом, как и в $ 22. Надо снова искать линейные комбинации дифференциальных уравнений, содержащие производные ') Как характеристики линейного ураваениа. (Прим. перев.) э и. систамы, состояшна волга чем из двгх углвнанни 61 неизвестных функций только в одном направлении. Такое направление называется характеристическим.
Система из и уравнений с и неизвестными функциями двух переменных приводит к алгебраическому уравнению и-ой степени для характеристияеских направлений в каждой точке, Если все они действительны и различны, то система называется вполне гиперболической. Упомянем о нескольких частных случаях. Для трех уравнений одномерного нензэнтропического потока (17.01 — 17.03) три характеристические направления находятся по следующим формулам: Их ел С: — =и+с, С: — =и — с, + ес ' — ' ес Со . — — — и, (31.01) ''ег 6 вк га« ° что будет подробно выведено в $34. Три характеристики, проходящие через точку, имеют следующий смысл: С+, С— пути двух „звуковых волн", как в ф 23 [см. (23.05)], и С, — путь частицы (см. рнс. 15). Задача о начальных значениях, однако, может быть приведена к задаче только с двумя функциями путем перехода к представлению Лагранжа [см. (!8.10)] в предположении, что энтропия является заданной функцией параметра Лагранжа Ь.
Установившийся неизэнтропический двумерный поток управляется четырьмя дифференциальными уравнениями для четырех величин и, е, т и 5 как функций х и у [см. (7.08 — 7.11)]. Четыре характеристики, проходящие через точку, суть две „линии Маха", найденные в $23 [см. (23.11)], и линия тока, сосчитанная дважды. Задачу о начальных значениях для этих уравнений опять можно свести к задаче, содержащей только две функции, введя функцию тока ) [см. (16.12)] и какую-нибудь другую величину, например скорость д, как неизвестные функции и рас1л сматривая энтропию 3 и постоянную Бернулли — ф как задан- 2 ные функции ф.
Существуют, однако, задачи, где приведение к случаю двух неизвестных функций невозможно; поэтому изучение общей системы квазилинейных дифференциальных уравнений с и неизвестными функциями и',..., и", и ) 2 имеет не только теоретический интерес, но важно и для приложений. Замечательно, что теория интегрирования, развитая в предыдущих разделах этой главы, может быть видоизменена и обобщена так, что возникает возможность доказать существование и единственность решения и развить надлежащие численные методы интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
