Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 16
Текст из файла (страница 16)
82 гл. и. твоння хиавнвнни для екнкции двкх пвннмннных Метод рассмотрения, намеченный в настоящем разделе, несколько проще, чем указанный ранее [см. (33.34)); он получит дальнейшее развитие в работе, которая должна появиться в печати. Рассмотрим п дифференциальных уравнений дн1 днт, П'=1 М Точно так же, как в 522, мы найдем, что необходимым и достаточным условием существования таких характеристических направлений является совместность следующих линейных однородных уравнений Рмс. 1о. Область зависимости Д~~ С' ля Х: АВ точки Р для решения системы с тремя характеристиками.
>ч(аий+сх)=0 Ц=!,...,и), (31.04) 1,( Ь,. и,+с,.у,) =О. Это условие равносильно обращению в нуль всех определителей и-го порядка, содержащихся в матрице, из которых первым является ~ а,. у,— Ьбх, [=О, (31.05) т. е. алгебраическое уравнение и-ой степени для отношения ли у* дк (31.06) 1) Знак суммирования, как обычно, опущен; в членах, где какой-нибудь индекс встречается дважды, по нему производится суммирование. с коэффициентами а, д, с, зависящими от х, у, и',..., и" '). Снова, как и в $22, мы возьмем какое-нибудь решение и',...,и" и будем искать кривые С: х(о),у(о) такие, что линейные комбинации Х,.Е, дифференциальных уравнений, должным образом подобранные, будут содержать производные только по параметру кривой о: Х,Е,= — Туй.+Я=О.
(3!.03) ам. снстамы, состояшна волан чам нз двгх углвнаннн Мы предположим, что имеются и различных действительных коРней 1о Гь,...,1„или что система вполне гипеРболическаЯ. Тогда существуют и семейств характеристик С„, удовлетворяющих обыкновенным дифференциальным уравнениям лу зх (31.07) причем каждое семейство заполняет рассматриваемую область плоскости (х, у). Как в э 22, мы положим равным нулю определитель из любых и, кроме первых и уравнений (31.04), и найдем, что исходные дифференциальные уравнения объединяются в линейные комбинации вида Мь с1из+М„с(у ==-0 на С„, =1,..., п, (31,08) где И означает дифференцирование вдоль кривой С„и где коэффициенты М„.
и дг„суть известные функции и7, х, у н неисчезающего определителя , 'М„,. ~. Вместе с (31.05) эти уравнения (31.08) образуют характеристические уравнения по отношению к исходным. Для п- 2 этн уравнения уже нельзя интерпретировать, как каноническую систему дифференциальных уравнений в частных производных, так как п характеристик содержат и параметров, тогда как мы имеем только две независимые переменные.
Тем не менее, характеристическая форма (31.05) и (31.08) дифференциальных уравнений (31.02) удобна для теоретического изучения, а кроме того, позволяет развить много различных численных методов, основанных на конечных разностях. В результате мы имеем доказательство существования н единственности решения задачи начальных значений; аналогично предыдущему непосредственно из теории получается область зависимости для точки Р в плоскости в виде наибольшего отрезка начальной кривой 1, отсекаемого характеристиками, проведенными назад из Р. Л и н е й н ы е у р а в н е и и я.
Предположим сначала, что исходная система линейна, т. е. что коэффициенты зависят только от х и у. Тогда и семейств характеристик являются заданными кривыми в плоскости (х, у), определяемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями (31.07). Рассмотрим сначала задачу о начальных значениях: задана кривая 1, нигде не совпадающая с характеристикой, на ней заданы начальные значения иг; найти решения для всех точек Р с координатами х, у в достаточно малой области й, прилегающей к 1. Предполагается, что область такова, что и характеристик, прохо- З4 гл. и.
твовия гвлвнвиин для функции двгх псввмвнных дящих через точку Р, имеют в ней различные направления и пересекают 1 в различных точках Р,. Тогда, после интегрирования по частям, уравнения (31.08) могут быть записаны в виде Мпиу( = — М,у~ +Мни'~ +) и/АИп, р где интегрирование распространено по дуге Р,Р линии С,. и где первые два члена в правой части †известн функции. Это соотношение сразу наводит на мысль о следующей схеме последовательных приближений: подставим в правую часть вместо ит любое первое приближение, и1 удовлетворяющее начальным условиям. Отождествив и' в правой части со следующим приближением и, мы получим систему из и линейных уравнений для значений иг в Р.
Предположено, что определитель этой системы не равен нулю. Найденные значения и'какфункции х, у снова подставляют в правую часть, чтобы получить следующее приближение, и так далее. Нетрудно доказать, что найденное таким способом решение единственно и сходится к искомому решению исходной системы. В то же время видно, что область зависимости Р есть отрезок 1, отсекаемый двумя внешними характеристиками. В общем случае нелинейной системы 131.02) представляются возможными различные способы итерации. Прежде всего, можно исходить из первого приближения и~, подставляя его в коэффициенты дифференциального уравнения и получая таким образом линейную систему.
Эта система дает вышеуказанным способом решение, являющееся вторым приближением и'; повторяя эту процедуру, мы получаем, как можно показать, искомое решение, сходящееся в достаточно малой области (см. 1341). Другой метод, которым можно воспользоваться, состоит в прямом употреблении уравнений (31.02), с учетом того, что с каждым шагом происходит изменение характеристик. Однако для численных расчетов кажется возможным и даже предпочтительным поступать следующим образом: рассмотрим последовательность кривых 1, зависящую от параметра 1, в то время как каждая кривая задается с помощью параметра з.
Когда параметр 1 увеличивается, начиная от нуля, кривые 111) должны плотно заполнить область 1г; кроме того, мы предположим, что для заданных начальных значений и в достаточно малой их окрестности кривые 1 нигде не совпадают с характеристиками. Выберем теперь малую величину т и рассмотрим 6 зз. овшив злмвчлния. хлнактввистичвскив повн хности Зч кривые 1=1(0), 1, ='1(т), 11 =1(2т) и так далее, определяя таким способом узкие полоски уа21,...
Решим затем по методу линейных уравнений задачу для узкой полоски Ха. С этой целью построим первое приближение и' в предположении, что 1 заданное начальное значение остается постоянным вдоль нехарактеристического семейства трансверсалей к кривым 1(1), т. е. вдоль линий в=сопв1. Подставив эти функции в коэффициенты дифференциальных уравнений, мы получим систему линейных уравнений, решение которых дает значения и/ на 1,. С этими значениями мы решим тем же способом задачу начальных значений для у, и так далее. Так мы получим в области )с функцию, которая, как это можно показать, при т-+0 сходится к решению исходного нелинейного уравнения. хо Ааа Изложенный метод приводит к значитель ому упрощен ю ы- Р тв Полоски и хара«теричислений.
Делая шаг т малым, стическ11е векторы в схеме йоможно вообще избежать реше- иечных разностей ния задачи начальных значений внутри полосок у, строя вместо этого просто значения ит на кривой 1„„, по значениям на 1„следующим способом: из точки Р на 1„+, мы проводим и коротких прямых отрезков назад в п характеристических направлениях до пересечения с 1„в точках Р„с наклоном, определяемым значением в„величины з в точке Р,. Потом мы просто заменяем дифференциальные уравнения (31.05 — 31.08) разностными.
Из этих уравнений (линейных и содержащих только значения ит на 1 т не. а) посредственно получаются значения и1 на 1„+, в Р ПРИПОЖЕНИЕ й 32. Общие замечания относительно дифференциальных уравнений для функций более чем двух независимых переменных. Характеристические поверхности Понятие характеристики может быть обобщено весьма естественным образом на дифференциальные уравнения, в которых число независимых переменных и) 2. Разберем вкратце вопрос о характеристиках и характеристических уравнениях и выясним, почему полезность этих понятий ограничена. Зб гл. и. таогия гглвнвннн для фтнхцня двтх пвгяманных Немного изменяя обозначения, рассмотрим в общем случае систему из к уравнений для к функций й, я=1,...,к от и переменных х„, ч = 1,..., и, Е (и) =а"„сг" +~'„=О, 1 =1,...,к, (32.01) где а'„и Г суть функции от и = ( и") н х = ( х„) .
Через каждую точку х проводим элементы т (и — 1)-мерных поверхностей, характеризуемых вектором нормали с = ( с'1. Будем называть такой элемент поверхности характеристически,к, если надлежащая линейная комбинация Е =- Л Е дифференциальных выражений содержит производные „функции" и = = ) и") только в направлении этих элементов поверхности. Свойство элемента поверхности в быть характеристическим в данной точке зависит, конечно, только от значения и в этой точке, но не от значений производных в ней. Направление, по которому ищется производная функции и" в дифференциальном выражении Е„ есть направление вектора с составляющими Л„а"„„; условие, что его направление лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору с составляющими г', есть поэтому Л а",„с" =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
