Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(32.02) Так как оно должно удовлетворяться для и = — 1, 2,..., )г, мы имеем линейную однородную систему )г уравнений для Л„..., Л„, и поэтому условие существования множителей Л, Р будет иметь вид (32.03) Это — характеристическое уравнение, однородное к-го порядка для с1, с',..., Г илп, если характеристический элемент принадлежит поверхности т(х„ х„ ..., х„) =0 с Г= у,,— уравнение в частных производных т„ . Предположим, что г= )с"1 представляет характеристический элемент поверхности.
Тогда можно найти множители Л, удовлетворяющие уравнению (32.02). В этом случае дифференциальное уравнение Е =0 будет содержать производные всех функций й только по какому-нибудь направлению, лежащему на этом элементе поверхности. а 32. ОБщие зАмечАния. хАРАктеРистические пОВеРхности зт Выразим !. =0 в такой форме, чтобы это последнее утверждение стало очевидным, для этого введем нормальную производную д, функции д по формуле предполагая, что ~с~'=1. Тогда й =с'д2 представляет дифференцирование д по поверхности р=О и может быть истолковано как дифференцирование вдоль проекции х2 на элемент поверхности, а Е = 0 запишется в виде У.
=- ЛР а,"„( и", — С" и". ) + Л,„)'Р= 0 !32.04) потому что член с минусом в скобках равен нулю согласно 132.04). Очевидно, что !32.04) содержит производные только вдоль поверхностей я = О. Предположим теперь, что возможно построить й характеристических элементов поверхности, зависящих непрерывным образом от х и и так, что соответствующие й систем множителей Л все линейно независимы. (Тогда система уравнений !32.0! ) будет вполне гиперболической !32!.) Результирующие й дифференциальных уравнений !32.04) равнозначны с системой !32.01).
Если бы каждое из этих „характеристических уравнений" содержало производные только в одном направлении, то система (32.01) значительно упростилась бы. Но в общем случае, однако, система !'32.04) содержит производные по различным направлениям в каждом уравнении, причем число этих направлений определено следующими неравенствами: оио ~ й и и — 1. Поэтому, если й ) 2 и и > 3, приведение к характеристической форме не упрощает существенным образом наши дифференциальные уравнения. Естественно спросить, полезно ли обобщение понятия простых волн для функций нескольких независимых переменных.
Предположим, что в области Р определены й функций и, и,...,и, от и переменных х„...,х„. Мы говорим, что 2 А „функция" и = !и ( представляет простую волну, если область .Р пересечена семейством однопараметрических !и — 1)- мерных гиперплоскостей, на которых и постоянно. Будем говорить, что область и занята двойной волной, если ее покрывают (и — 2)-мерные двупараметрические гиперплоскости, на которых и постоянно. Отсюда ясно определение и-кратной ВОЛНА!, В связи с такими волнами возникают различные вопросы. Как связано свойство функции и представляться и-кратной 88 ГЛ. П.
ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ волной с обращением в нуль определителя матрицы (и» ~ из производных и? Решением каких дифференциальных уравнений является н-кратная волна ? В частности, надо знать, справедливо ли то, что решение, постоянное на одной (и — 1)-мерной гнперплоскости, является простой волной в соседней области и что решение, постоянное на однопараметрической последовательности (и — 2)-мерных гиперплоскостей, является двойной волной в прилегающей области. В ряде случаях можно ответить на некоторые нз этих вопросов.
В частности, легко показать, что каждое безвихревое векторное поле и = 1и',..., и") есть простая волна, если ранг матрицы (и"„ ~ равен единице. Ибо, если он равен единице, имеются такая функция з(х) и „функция" су'(з), что и(х) = = У(з(х)). Пусть Ф вЂ” потенциал, так что й=Ф,, и пусть Ф = х„й — Ф.
Тогда лц<м Ф =х — з х„к Л х„' Поэтому градиент Ф пропорционален градиенту 8; отсюда следует, что Ф является функцией з Ф = г" (з), так что лр ли~и — =х— лу м Из этого соотношения вытекает, что поверхности з=сопз1 ли<и суть плоскости потому что — и — зависят только от з. > ЛУ Р'У Тем же способом доказывается, что безвихревое поле есть г-кратная волна, если ранг матрицы (и„" ) равен г. Исходя в своих выводах из этого факта, Гизе [35] подробно исследовал геометрию простых или двойных волн, представляющих изэнтропическое течение в трех измерениях. Глава 111 ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ $ 33.
Задачи на одномерное течение Изэнтропическое течение сжимаемой жидкости допускает исчерпывающую математическую трактовку, если состояние среды зависит только от времени 1 и от одной декартовой координаты. Тогда дифференциальные уравнения движения приводятся к простым системам того типа, который изучался ь Пар х х )а) '6) Рис. 1У. 1а) — путь поршня (сжимающее действие); 1в) — путь поршня (раарежающее действие). в предыдущей главе.
Рассмотрим теперь задачу о течении, зависящем только от двух переменных, не обращаясь при этом к общим теориям. Прежде всего рассмотрим одномерное течение. В качестве модели одномерного течения мы обычно будем рассматривать поток газа вдоль длинной трубы, направленной по оси х.
Труба может быть бесконечной, полубесконечной илтт конечной, т. е. открытой с двух концов, закрытой с одного конца поршнем илн стенкой или закрытой с двух концов поршнями илн стенками. Если не утверждается противное, то мы будем всегда предполагать заданными постоянную начальную скорость иа, давление газа р„и плотность газа р,. Тогда движение газа обусловливается действием поршней у концов. Удобно представлять движение в координатной системе (х, 1) и называть кривую в плоскости (х, 1), определяющую движение частицы, „путем". Пусть координата х поршня гл.
нь олномагноа тачаниа Л. НЕПРЕРЫВНОЕ ТЕЧЕНИЕ 5 34. Характеристики В этом параграфе мы будем заниматься характеристическими направлениями и кривыми дифференциальных уравнений о,+ио,+Ри„= О, ои,+рии +р„=О (34.0 ! ) изэнтропического одномерного течения !см. (17.0! — 17.02)), где р =7' (р) — заданная функция. Характеристические уравнения, выведенные в гл. П. 3 23 !см. (23.03 — 23.04)), таковы: 1+ в х =(и+с) С„, 1: х ==(и — с) со, (34.02) П+ . и„= — — Р„, (34.03) П в и.,=- — р,, , де со = 7' (Р) )см.
(2.05)). с левой стороны трубки, заполненной газом, равна нулю при 1=0. Тогда движение поршня представляется в плоскости (х, с) кривой Р— путем поршня, которая на рис. 17 показана для сжатия и для разрежения газа. В разделе А мы будем рассматривать общие методы решения дифференциальных уравнений движения; в разделе Б изучим простейшие типы непрерывного течения газов и, в частности, волны разрежения, производимые выдвижением поршня. Раздел В посвящен разрывным движениям, приводящим к ударным волна.н, которые получаются от сжатия. С некоторым ущербом для краткости изложения мы попытаемся рассмотреть ударные волны с различных точек зрения. В разделе Г будет показано, как более сложные движения получаются от взаимодействия простых движений, изученных в разделах Б и В.
В разделе Д рассмотрим разрывы, возникающие при детонации н горении, которые тесно связаны с ударными волнами. ам. хАРАктеРистики 91 Если ввести давление р вместо плотности р как зависимую переменную, то уравнения Ц принимают вид !1: и= — — Ц:и=— Ра Рр +' ~ Рс — ' Р Рс' (34.04) где надо рассматривать имиединц рс как функцию р. Из уравнений (34.03 — 34.04) следует соотношение (1и) +ар( =О (34.05) ,+р „+р„=О, 5,+ил =-0' (34.06) 1см. (17.01 — 17.03)), где р — заданная функция р и удельной энтропии 5. Характеристические уравнения приобретают более простую и сжатую форму, если вместо р в качестве зависимой переменной выбрать р; тогда р становится функцией р и о, что возможно согласно (2.04).
Соотношение между этими величинами, даваемое р=Д(р, 5) или др = с2с( р+Лав, позволяет исключить с1р из уравнения неразрывности и заменить это уравнение на р,+ир„+йети =О 1см. (17.05)]. Прибавляя и вычитая из этого уравнения второе из уравнений (34.06), умноженное на с, мы находим р,+(и+с) р,+рс1и, +(и+с) и„~ =О, р + (и — с) р„— р с (и, + (и — с) и„~ = О, Эти два ураниения вместе с уравнением о,+по = — 0 равносильны исходным уравнениям.
Новый вид этих трех уравнений между скоростью, давлением и удельным объемом в обоих характеристических направлениях; в этом уравнении нет коэффициентов, зависящих от решения. Можно вывести характеристические уравнения, не обращаяеь к формулам гл. И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
