Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 19
Текст из файла (страница 19)
На характеристике. Согластно 9 29 мы имеем тогда в области Р простую волну. Такие простые волны будут подробно рассмотрены в 9 40. Наконец, возможно, что в Р не постоянно ни г, нн в. Точнее, каждой паре значений г и в, встречающейся в Р, отвечает только одна точка в Р. Тогда и только тогда в и г могут быть введены как независимые переменные вместо и н о. Замен! тим, что ввиду того, что — > О, р, а следовательно, и с могут Р рассматриваться как функции Р'. По уравнениям (37.0!) 1=г+в, и=г — з, (38.0! ) и мы видим, что и+ с и и — с — известные функции г н в.
Поэтому характеристические уравнения ! х,= (и+ с) ен х, = (и — с) 1„(38.02) [см. (34.02)] можно рассматривать как систему нз двух линейных дифференциальных уравнений для х и с как функций от г и в. Исключив х, мы получим одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка для г(г, в) 2 сЕ„+ (и+ с), Е, — (и — с), ~, = О. (38.03) Если найдена функция с(г, в), являющаяся решением этого дифференциального уравнения, то нз предыдущих уранненнй в м, интвггнвованнв кеавнвнни лля нзэнтпопнчвск. потока ЭЭ непосредственно находится функция х(г, з).
В случае полит — ! тропического газа, с= т (г+з), и=к — з [см. (37.04) н (38,01)], уравнение (38.03) приводится к виду 2Ртг + — — (г +сл)=0, где согласно (14.06) т — ! р'=-- —. т+1 (38.04) Уравнение, эквивалентное этому, было впервые получено Рнманом !38]„причем именно задача об одномерном течении газа привела Римана к его знаменитой теории гиперболиче- Рис. 2Д Характеристики в плоскости (и, с). ских линейных дифференциальных уравнений. В частном случае полнтропических газов, рассматриваемом здесь, можно найти явное решение задачи о начальных значениях с помощью гипергеолсетричесних функций (см.
$82). Для частных значений т= * !" = — дую=0, 1, 2, 3,... (38.051 2Ф+1 т 1 2!т' — 1 2 М т. е. для т= — 1, 3, 5/3, 7!5,. уравнение (38.04) интегрируется в элементарных функциях. При %=О, т= — 1 (см. $4) мы имеем 2р'=со, и уравнение (38.04) приводится к линейному волновому уравнению г„=О с общим решением г=у(г)+К(з), где 7 и 8' — произвольные функции. !оо гл. и.
одномв ноп твчснив При (=3 мы имеем 2рв= 1, и уравнение (38.04) приводится к виду (г+з) Г„+~,+~,=0 или ((г+ в) ~), =О, которое имеет общее решение (7 (г) + я (в)) (38.06) с произвольными функциями 7 и д. Легко проверить, что общее решение уравнения (38.04) для частных значений ( (38.05) (с М> 1) есть „+ Р'-' И.) + а'-' а(.) дг'" ' (г+зу" дл'" ' (г+з)м с произвольными функциями 7 и д и произвольной постоянной й. При надлежащем выборе 7'(г), а(в) и А можно удовлетворить начальным условиям задачи.
Надо отметить, что значение 1,4=7,'5, которое имеет ( для воздуха, входит в число специальных значений (38.05); значение ( = 11/9 = 1,2 подходит для газообразных продуктов горения или других химических реакций в). Как мы увидим в з 82, предшествующие замечания имеют важные приложения в теории взаимодействия волн. 9 39. Замечания относительно представления Лагранжа Переход к представлению Лагранжи (см. гл.
1, 9 18) не вносит никаких существенно новых идей. Независимые пере« менные Й=)р(1)с(1 и г связаны с зависимыми переменными «ч и и ". соотношением Их = т сот+ и с(т, (39.01) которое следует из (18.02б) и того, что х, = и. Подставляя соотношение (39.01) в характеристические уравнения (34.02— 34.03), мы получаем характеристическую форму дифференци- ") Значепие т = 3,'3 имеет место для одиоатомиых газов, а т =- 3, как это показали Ландау и Станюкович, хорошо подходит для продуктов детоиации конденсированных взрывчатых веществ.
(Прим. перев.) В и. пгостыв волны !о! альных уравнений (18.12) изэнтропического течения в координатах Лагранжа: С+. Ь„=й(т)»„, Г„: и =й(-.)т„ 1 11 (39.02) С: й = — а()1в, Г: и = — Й(т)т, где й (х) = — есть импеданц [см. (18.09)). Характеристики с Й) Г и Г в плоскости (и, т) снова можно записать в явном виде и = -'; )" Ф (-.) Их = сопз1. (39.03) о При неизэнтропическом течении пмпеданц зависит, кроме удельного объема -., еще и от удельной энтропии 5. Третье характеристическое уравнение тогда будет иметь вид и соответствующая характеристика представляет путь частицы. Соответствующее уравнение П есть !1 Г ~ ~Ю=О, и может быть проинтегрировано в виде 5=5(й).
Поэтому если известна энтропия 5 как функция Ь, то остается решить только два уравнения 1 (см. гл. 1, 5 18). Б. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ И СЖАТИЯ $ 40. Простые волны В $38 мы рассмотрели три типа решений для изэнтропического течения: 1) поток, в котором и и р постоянны; 2) простые волны, в которых постоянны г илн з; 3) общий случай течения, в котором непостоянны нн г, ни з. Простые волны часто применяются для построения решений задач об одномерном изэнтропическом течении. В этом параграфе мы рассмотрим такие простые волны в общих чертах; в дальнейшем мы применим их для решения конкретных задач. В 5 29 было установлено следующее основное свойство простой волны: характеристики С одного рода являются прямыми юг ГЛ.
Нв ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ линиями в плоскости (х, с). Другимн словами, эти характеристики представляют распространение с постоянной скоростью. В частности, если инвариант — 2з= и — 1(р) постоянен в области волны, то прямыми будут С -характеристики, г= сопзй Скорость соответствующих звуковых волн, и+ с, больше, чем скорость частиц и; следовательно, путь частиц подходит к характеристике справа, т.
е. со стороны больших значений х. Ряс. 27. Обращенная назад волна разрежения. Ряс. 2о. Обращенная внеред волна разреження. (40.01) В частности, если начальная характеристика ограничивает область покоя, то и — 1= — 1,. (40.02) Из неравенств Жабр) 0 и йрфр > 0 следует, что в волне, обращенной вперед, плотность и давление изменяются в толь Поэтому такие волны называют обращенными вперед. Если, с другой стороны, 2 г = и+ Ь 1р) постоянна в области течения, то С - характеристики — прямые, и волна называется обращенной назад. Согласно основной теореме 5 29 решение в области, смежной с постоянным потоком, есть простая волна. Ясно, что переход из зоны постоянного течения в зону простой волны происходит по характеристике.
Рассмотрим простую волну, обращенную вперед. Переход из области волны в область постоянства потока происходит через прямую характеристику С называемую головой волны, если газ втекает через нее в волну, или хвостом волны, если газ вытекает через нее из волны. Пусть и и р суть скорость и плотность в области постоянного . потока, тогда везде в области простой волны и — 1= иь — 1„1с = 1(ра). м ас. пвостын ВОлны юз же направлении, как и скорость газа (и в обратном направлении в волне, обращенной назад). Простая волна называется волной расширения или разрежения, если давление и плотность газовой частицы в ней уменьшаются; если же они увеличиваются, то говорят о волне сгущения или сжатия. Рис. 29. Обращенная назад волна сжатия Рис. 28.
Обращенная вперед волна сжатия Скорость распространения „звуковых волн" Ых/ссс, представленных прямыми характеристиками СР, равна согласно (34.09) и (40.01) =с(Р)+с(Р) со+по. (40.03) Ж Быстрота изменения этой скорости относительно газа, для частиц котоРого и=- с(Р) — сс+ие, Равна ос+ Ж рос+ си р Л(рс), твясл сор сн'р 2 д согласно (2.04), (2.05) и основному предположению (2.06). Поэтому для обращенной вперед простой волны ) О.
(40.05а) Подобным же образом для волны, обращенной назад, в которой и+с=се, мы имеем согласно (40.04) "(и — с) )0 в'и Другими словами, если в зоне простой волны, скорость звука увеличивается, то скорость распространения звуковых волн и+ с или и — с тоже увеличивается. (40.05б) О Н. НСКЛЯ(ЕННВ ФОРМЫ ВОЛНЫ В ПРОСТОЙ ВОЛНЕ 1ОЗ Для дальнейших приложений мы выпишем члены разложений р — р„т — -., и р — р, по степеням и — и, до второго порядка включительно: Р=Ро+Росо(и ио)+ Ро(и — ио) + ° ° ,+1 4 -. = — т — ". с (и — и )+т~ — т с ~(и — и ) +..., (40.11) Р=-Ро+Рос '(и — ио)+З Р,с '(и — и,)'+..., где положено, что тр,=рс".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
