Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ГЛ. ЕЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕННЕ й 5!. Исторические замечания о нелинейных течениях Сделаем здесь несколько замечаний исторического характера, Пуассон (1808) [36] получил решение дифференциального уравнения течения нзотермического газа в виде простой волны и == 7' [х — (и+ с) ~[, где г". — произвольная функция (см.
$ 41). Чэллис (1848) [41] заметил, что это уравнение не всегда имеет единственное решение для скорости и. Чтобы получить единственное решение, Стоке (1848) [40[ предложил считать, что дп разрыв в скорости начинается тогда, когда производная — „- становится бесконечной (см. $ 41). Применив законы сохранения массы и количества движения, он вывел два условия на разрыве для изотермического газа.
Стоке утверждал, что разрыв никогда не возникает физически, потому что тенденция к разрывности сглаживается вязкими силами. Далее он указал, что потоки, обладающие разрывами, должны заключать в себе некоторые явления отражения. Ирншоу (1858) [37] получил решение в виде простой волны для газов, удовлетворяющих любому соотношению р=р(р).
Он установил, что увеличение местнов скорости распространения в волне сжатия ведет к тому, что такая волна будет все время „нарастать" на фронте и возникнет разрывность вида „приливной волны" (см. 9 41). Риман (1860) [38] независимо развил теорию простой волны и общего решения задачи о течении с помощью „инвариантов Римана" (см. $37). Он снова открыл и разработал теорию разрывов, но неявно сделал неправильное предположение, что переход через разрыв происходит обратимо и адиабатически. Рэнкин (1869) [42] показал, что установившийся адиабатический процесс, в котором только силами давления осуществляется переход в узкой области из одного постоянного состояния в другое, невозможен.
Вместо этого он предположил, что в этой области происходит неадиабатический процесс, подчиненный условию, согласно которому тепло может сообгцаться от одной частицы другой, но не приносится извне. Условие Рэнкина согласуетсн с законом сохранения энергии. Однако Рэлей (1910) [39] и Гюгонно (1887) [43] ясно указали на то, что обратимый адиабатический переход в ударной волне нарушает принцип сохранения энергии. Действительно, Гюгонио показал, что при отсутствии вязкости и теплопроводности (вне разрыва) из сохранения энергии следует сохранение З вз. основнля модель ввзвывного движения энтропии в непрерывном течении и изменение ее в разрыве.
Из сохранения энергии он вывел также и третье условие на разрыве в обычной форме [см. (54.10)), которой следует отдать предпочтение по сравнению с формой, полученной Рэнкином, хотя в случае идеального газа три условия Рэнкина равносильны условиям Гюгонио. Рэлей [39) указал, что энтропия должна возрастать, проходя через фронт ударной волны, и что поэтому в идеальном газе не может возникнуть ударная волна разрежения.
й 52. Поверхности разрыва Мы различаем два типа поверхностей разрыва: контактные поверхности и ударные волны. Контактные поверхности разделяют две части среды без того, чтобы газ тек из одной части в другую через поверхность; ударные волны — это поверхности разрыва, через которые газ течет. Сторона фронта, в которую газ втекает, будет называться передней стороной разрыва или его головной стороной, а другая сторона — задней стороной.
Как мы увидим в э 65, разрыв всегда движется со сверхзвуковой скоростью, если его рассматривать с передней стороны, и с дозвуковой скоростью, если смотреть с задней стороны. Вся зона течения за фронтом разрыва часто тоже называется ударной волной. В этой главе мы будем заниматься одномерным течением, для которого ударные фронты и контактные поверхности будут поверхностями, перпендикулярными оси х. Следовательно, они будут представляться точками на оси х нли линиями на плоскости (х, 1), которые соответственно называются ударными или контактными линиями. й 53.
Основная модель разрывного движения. Ударная волна в трубе Рассмотрим сначала простейший случай движения, включающего ударный фронт. В качестве основного типа движения мы изучали центрированную волну разрежения, производимую поршнем, выдвигаемым с постоянной скоростью. Таким же основным и типичным является движение, вызываемое поргинем, который сначала покоился, а затем начал внезапно вдвигаться с постоянной скоростью в покоящийся газ.
Как бы ни было мало и, результирующее движение не может быть непрерывным, потому что непрерывное движение сведется к простой волне, обращенной вперед, в данном случае к центрированной простой волне, отвечающей прерывному изменению скорости вначале. Но скорость газа в центрированной простой ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ волне становится отрицательной, если она равна нулю в голове волны.
Поэтому непрерывное движение нельзя соединить с положительной скоростью поршня. Что произойдет? Сразу же возникнет ударный фронт, движущийся от поршня с постоянной и, как мы увидим, сверх- 1 Р:=,1 шенин величины и ударУйаркь й Фрпкпг ная линия приближается к характеристике х =- сагт йакаяагийая гаг а скачок скорости, давления и плотности стре;г у °,, 'чр,р„„й мнтся к нулю. Скачок ~припая,к',,кк Ф' ерп становится слабым н приближается к „звуковому возмущению". Перед тем как обосновать его качественное описание, мы должны рассмотреть условие на ударном разрыве. Ппрагекь й 54.
Условия на скачке Мы выведем условия на скачке из „калорического уравнения состояния" (см. 5 2) и следующих основных законов физики: 1) сохранения массы, 2) сохранения импульса, 3) сохранения энергии, 4) возрастания или сохранения энтропии. Если, далее, предположить непрерывность движения, т. е. непрерывность скорости, давления и плотности, то первые два закона приведут к уравнениям Эйлера (нли Лагранжа) для изэнтропического движения (см. 5 7). Применение этих принципов к разрывному движению приведет к соответствующим двум условиям на скачке. Закон сохранения энергии учиты- Рис, ей'.
Удариая вопия, произведеииаи поршнем, вявигаемыи с постояииой скоростью в покоящийся газ. звуковой скоростью сг', однозначно определенной начальной плотностью газа, скоростью звука в нем н скоростью поршня. Впереди ударного фронта газ покоится, а позади движется со скоростью поршня и„. Это очень простое движение представлено в плоскости (х, 1) (рис.
46). При умень- а ас ксл013ия нл склчкк !27 аан — ~ йа(х =--0 г Ф ап(1) (сохраненне массы), апо л 'г — ~ йи((х=р(а(), 1) — р(а„1) а,(1) (54.01) (54.02) (сохранение импульса), а,(П вЂ” ! р 1 — и'+ е ( (7х = а,(1) =-р (а„п) и (а„с) — р (а„1) и (а„1) (5403) (сохранение энергии), п,Я вЂ” Г(р5с(х) 0 (54.04) и(,', а„(1) (сохранение или возрастание энтропии). Уравнение (54.01) не нуждается в пояснениях.
Равенство (54.02) выражает предположение, что на газ как целое дей- вает более тонкое обстоятельство. Наша исходная система дифференциальных уравнений [сх!. (7.08 — 7.1! )) была дополнена калорическим уравнением состояния, где энтропия предполагалась постоянной, а процесс — адиабатическим и обратимым, и, таким образом, достигалось согласие с законом сохранения энергии. Но, как мы сейчас покажем, из третьего закона сохранения следует, что на фронте ударной волны энтропия меняется и получается „термодинамическое" условие на фронте, сформулированное Рзнкином и Гюгонио, заменяющее предположение об адиабатичностн движения в непрерывном случае.
Выведем теперь условия па разрыве, применяя три общих принципа к столбу газа в трубе. В момент 1 столб всего газа заключен в интервале длины а, (1) С х < а, (1), где а, (1) н а, (г) суть положения движущихся частиц, образующих концы столба, на которых мы предполагаем движение непрерывным. Обозначим через е внутреннюю энергию, приходящуюся на единицу 1 массы, так что полная энергия на единицу массы есть е+ — и'-. 2 Поэтому четыре основных принципа для столба выража!отея так: 128 Гл. ш, Олномеаное течвнив ствуют только силы давления, и поэтому изменение импульса столба производится результирующей силой от обоих концов.
Равенство (54.03) выражает предположение, что приращение энергии происходит только за счет сил давления; другими словами, скорость возрастания энергии, заключенной в столбе, равна „подводимой мощности", т. е. работе, производимой в единицу времени давлением на конечные поверхности столба, скорости которых равны ао = и(а„г) и а,=- и(а„1). Соотно- шение (54.04) означает, что энтропия столба сохраняется илн увеличивается.
Пока мы считаем и, р, р и 5 непрерывными и диффе- ренцируемыми во всем столбе, мы можем легко вывести диффе- ренциальные уравнения движения из первых трех уравне- ний (54.01 — 54.03) (см. Я 7 и 8), причем сохранение энтропии получится как следствие. Теперь, однако, мы предположим, что в движущемся столбе есть точка разрыва, координата которой х=г,(!) движется со скоростью $(1) = У(1), и вы- ведем из уравнений (54.0! — 54.04) соотношения между ука- занными выше величинами по обе стороны этой точки.
Все наши интегралы имеют внд а,()) у= — ~)р(х, ~)нх, а,(!) где подинтегральная функция разрывна в точке х=:". Диффе- ренцирование дает гк) а,()) — 1= — ) )а (х, 1) а)х+ — ! )р (х, ~) ((х = и г г л( лг,) ,и ~ а ()) (()) а4)) = ~ Ч',(х, 1)(ах+Ч(оа(~) — )4((а„1) и(а„))+ а,()) + )Х' (а„~) и (а„~) — )р)С (~), (54.05) (54.06) Величины Ч", и )р) суть пределы Ч'(х, г), когда х приближается к с со стороны х ( с и х) с соответственно. Эта формула не зависит от длины столба, поскольку х = с есть внутренняя точка. Произведем предельный переход, заставив длину столба стремиться к нулю. Так как первый интеграл в правой части (54.05) стремится тогда к нулю, )р(а), ~)- )р) н )р(а,, 1)-+%;, мы получим )( !!Ш 1 р) Ф1 Ч70 ~а а,— а„О Ф а Вс услОВия нл скьчке где а, =-; — и,.
— Сг, с ==- О, 1, (54.07) есть скорость течения относительно разрыва. Итак, мы получаем из четырех основных уравнений четыре условия на скачке. Сохранение массы: (54.08а) ИЛИ Р, т „=- о, ос —.: пг, (54.086) (54.09а) по (54.07) и (54.08) это условие равносильно следующему: тссо+ ро =-- тссг+рг нли Ро оо+Ро= Рг ог +Рг = — ' ' !2 которое включает только относительные скорости о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
