Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Обсуждение механических условий на разрыве Только третье условие явно учитывает термодинамическую природу вещества, представленную энергией или энтальпией е и г в их зависимости от Р и р. Поэтому все следствия из „механических условии", т. е. первых двух условий на разрыве (54. 08 — 54. 09) йо~о=й ~ =пг, 1 Е Р о,+Р.=-й,+Р,= Р, пг. Ро Р! То 11 (59.02) р ~ Ро Р! Ро — Р! (59.03) Соотношение (59.01) прямо следует из (54.09).
Соотношение (59.02) следует из (59.01), если подставить в него э! =то! и оо=тто; (59.03) получается из (59.01) подстановкой тзг-= = Ро поп! " пг~о = Рг ~Го. Скорости з„юг и поток массы ш, очевидно, имеют один и тот же знак. Соотношение (59.01) показывает поэтому, что давление р меняется в сторону, обратную относительной справедливы для любой среды безотносительно к ее уравнению состояния. Это верно для соотношений гл (Ог Юо) = Ро — Р!.
(59.01) Гл, ш. Одномсоноа твчсние 13» что скорости (о). Соотношение (59.02) показывает, что плотность меняется в ту же сторону, что н давление. Предвосхищая то обстоятельство, что в ударной волне всегда происходит сжатие, т. е. р, > оо (общее доказательство будет дано в $ 65; для политропических газов это ясно видно нз формулы, полученной в и 67), мы видим, что когда газ проходит через ударный фронт, его давление увеличивается, а относительная скорость ~э ~ уменьшается.
Другой симметричный вид механических условий на удар ном фронте таков: чо(Р1 Ро) = оо(но ~~) 1(ро Р1) "о1(~~ ~о) (59.04) откуда получаются равносильные с ними соотношения ('о — '1) (Р1 — Ро) =- (но — н1) (59.05) ( о )(Р Р) (59.06) Все уравнения (59.03 — 59.06), очевидно, выражают скорости через термодинамические величины. 6 60. Звуковые волны как предел слабых ударных волн Рассмотрим последовательность ударных волн с заданным начальным состоянием (О), в которой сила разрыва, измеряемая разностью р, — р„стремится к нулю.
Забегая вперед, мы полононм, что изменение энтропии в ударном фронте является величиной третьего порядка по сравнению с разностью р, — р„как будет показано в 9 65, 1 поэтому из (59.03) следует, что когда р,— «р„то н зов, — «р =с'-'. Так как из (59.01) следует, что е, — «оо, то мы видим, что предельная скорость течения относительно ударной волны равна скорости звука. Так как мы выяснили в конце $ 34, что этот факт является условием распросгранения звуковых волн, .заданных характеристиками в плоскости (х, 1), то отсюда следует, что звуковую волну ложно сштать бесконечно слабой ударной волной. 6 61. Случаи, в которых механические условия на разрыве достаточны, чтобы определить ударную волну Надо сделать еще несколько замечаний о роли первых двух условий на ударной волне, условий механических в отличие от третьего — термодннамического.
Есть случаи большой практической важности, в которых первые два условия достаточны для вся всловия в вдлвнои волна в пявдстлвлвннн ллгялнжл <Зт определения ударного процесса, это — течение жидкостей, давление которых зависит только от плотности и не зависит, или несущественно зависит, от энтропии. Вода, например, приближенно является такой жидкостью, потому что для нее соотношение между давлением и плотностью имеет вид р =А рг — В, причем коэффициенты А н В могут приближенно считаться не зависящими от энтропии (см. 5 3). То же относится к рассмотрению разрывов или, вернее, приливньгх волн в мелкой воде, которая характеризуется соотношением р =А1<' [см. (19.
14)]. Третье условие, конечно, остается в силе во всех этих случаях, но его следует рассматривать как способ подведения баланса энергии после того, как задача решена. Внутренняя энергия таких жидкостей расщепляется на две части: е=е"<(р)+е"~(5), одна из которых зависит только от плотности, а другая только от энтропии (см. $ 3). Тогда третье условие на разрыве может быть записано в виде е — е 1=- — ~--о — — о,'-е — е +р х — р -1. О< «П Г< Д 1 г, Гп <Н о г о ' ' в в Так как первая часть уже определена нз первых двух условий, то можно вычислить прирост е< г, который можно истолковать как энергию, превращенную в тепло (или энергию турбулентности в мелкой воде).
Этн замечания относятся к слабым ударным волнам, т. е. к таким разрывам, в которых относительное изменение давления Р' Р'-- мало. как мы увидим, для таких разРо рывов относительное изменение энтропии невелико, оно является величиной третьего порядка по сравнению с ††††, а поР< — Ро Р» этому им спокойно можно пренебречь (см. 5 72). ~5 62. Условия в ударной волне в представлении Лагранжа В дальнейшем нам понадобятся некоторые сведения о лагранжевой форме ударных соотношений. Если х(г) есть координата движущейся частицы и х,(г) относится к специальной „нулевой частице" (см.
5 18), то любая частица (безотносителы<о ко времени) задается лагранжевой координатой й== — ) о<Гх. Считая lг и Г независимыми, а и и т=-р < зависн- !38 Гл. ие одноыеиное течения мыми переменными, мы запишем дифференциальные уравнения (18.09 — 18ЛО) в виде -.,==На, иг=/етта, где /е=т 'с=рс н х„=-., х,=и. Рассмотрим теперь ударный фронт о', движущийся в газе и захватывающий в момент 1 частицу с лагранжевой координатой Ь=/г(/).
Так как х(Ь,/) есть положение частицы с координатами /т и /, то положение ударного фронта дается равенством Ф = х (й (/), /) откуда скорость фронта равна 1/ = -. /т + и; пользуясь символом [/'] для у, — /е, мы немедленно получаем „кинематическое" условие на разрыве О (62 01) [р] + /та [т] = О.
(62.03) Пользуясь тем, что о=и — 1/= — -. й, мы можем выразить закон сохранения энергии в виде (62.04) нли -1-й [тт]+[1]=О. (62.05) которое заменяет условие сохранения массы, удовлетворяющееся автоматически. Отметим, что — й есть масса, проходящая через ударный фронт в единицу времени по направлению от передней стороны к задней (поперечное сечение выбрано равным единице). Сохранение импульса выра- а жается соотношением Рис. од Движение ударного фронта и нредетаиаении [р] /г [н] (1 (62.02) Лагранжа.
которое можно с помощью (62. 01) переписать в форме, ннвариантной относительно переносного движения В 63. ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ Н! УДЬРНОЧ ФРОН!С 1З9 6 63. Вывод соотношений на ударном фронте из дифференциальных уравнений для вязкой и теплопроводящей жидкости Уместно дополнить вводные замечания э 50 кратким и несколько более тонким анализом того, как можно получить условия на ударной волне, устремляя к нулю коэффициент вязкости р и коэффициент теплопроводности Х. (Обозначения р и >, для этих коэффициентов применяются только в этом раз- 4 деле; множитель р в — раза больше, чем применяемый обычно,) 3 Дифференциальные уравнения, учитывающие этн факторы !' (обобщающие (17.
01 — 17. 03), суть рт+ (р и)„= 0 (сохраненне массы), (ри),+(ри'+р — ри ) =0 (сохранение импульса с учетом вязких сил), (63.0! ) (63.02) ~р ~ — и'+ е)~ + ~р и ~- ит+ 1) — —,! Ни, — Х Т ) = 0 (63,03) х (63.04) (сохранение энергии), р Т К, + р и ТЯ, =- р и, + (ь Тх) (тепловон баланс). Тепловой баланс (63Я4) может быть получен из и!рех законов сохранения. Левая сторона уравнения (63. 04) выражает собой тепло, получаемое единицей объема за единицу времени. Второй член в правой части измеряет тепло, переданное тенлопроводностью, тогда как первый член определяет дол!о, вносимую силами вязкости; этот член существенно положителен в согласии со вторым началом термодинамики.
Выдвигались возражения против пользования понятиями вязкости и теплопроводности при описании внутреннего механизма ударного процесса, потому что изменения всех величин в узкой ударной зоне так велики, что эти понятия теряют смысл. Вместо этого предлагалось пользоваться уравнением Больцмана из кинетической теории газов. Повидимому, не решено даже, могут ли применяться понятия вязкости и теплопроводности, хотя бы для слабых ударных волн. Но во всяком случае можно ожидать, что применение этих понятий " Выводы нх си. у Готьдштеана 1191, т. ГЬ тд. 14.
гл. ю, одномагног шчгпне ыо (р в)„= — О, (ро'-'+р —, о„) =О, 1= !! р и ( — о'+ 11 — в ою — Х Т 1 =. 0 (,2 / (63.05) (63.06) (63.07) о и ТЬ' = и и, + (Х Т,) (63.08) Три закона сохранения (63.05 — 63.07), очевидно, можно проинтегрировать. Тогда они будут выражать постоянство массы, импульса и энергии в процессе течения. К условиям на разрыве мы придем следующим образом. Проинтегрировав уравнения (63.05 — 63.07) между — а и а, где х произвольно малая величина, получим (р х~1 =- О, (63.09) дает качественно правильную картину положения на ударном фронте.
Мы должны, пользуясь вязкостью и теплопроводностью, показать, что при начальных и граничных условиях, отвечающих физическим условиям, система (63,01 — 63.03) обладает единственным и непрерывным решением, которое при Х и,, стремящихся к нулю, сходится к решению невязкого и нетеплопроводящего потока везде, кроме дискретных линий на плоскости (х, 1). Вблизи этих линий сходимость неравномерна, и предельное решение имеет на них разрыв. Более того, следовало бы показать, что на этих линиях должны выполняться условия для ударных разрывов или для контактных поверхностей.
Доказательство этих положений явилось бы подтверждением того, что предыдущая теория, будучи приближением к действительности, правильно описывает физические явления, однако такое доказательство еще не дано. Тем не менее, упрощая задачу, можно рассмотреть этот предельный переход по частям. Предположим, что наше утверждение о сходимости точного решения к решению обычных уравнений газодинамики правильно и выведем отсюда условия на разрыве.
Рассмотрим внезапный переход в окрестности точки х = 0 в момент 1=0; не ограничивая общности, мы мохгем отнести этот процесс к движущейся координатной системе, так что эта точка будет покоиться прп 1= О. Предположим для простоты, что вблизи х — — О, г =О процесс можно считать установившимся, полагая и, =-р,==- 5, =О при 1=- 0 вблизи х = 0 и писать о вместо и. Тогда четыре закона (63. 01 — 63. 04) будут сводиться к следующим: ь бэ. ВыВОд ОООпгОшении нъ едьРном ФРОнге 141 (63.10) г1 гг о [ — э'+ г') — и т э — ь Т ~ -- О, (63.1! ) здесь скобка [г!', означает разносгь У(В) — хС(- — в). Устремляя 1 и н к пределу г - О, р- О, мы рассмотрим последовательность течений, о которой предположим, что она сходится к предельному течению везде, кроме, может быть, точки х = — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
