Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ьм!»антуль ул»»онов волны а полнтоопнчаскнх гьэьх 157 — — — — 2 Р. — Ро Ро — Ро в соответствии со случаем звукового отражения. й 7!. Амплитуда ударной волны в политропических газах Для дальнейшего удобно ввести понятие силы или амплитуды ударной волны. Для измерения последней можно выбрать различные параметры: овгнотение избытка давления (р,— р,);'ро, сжатие (р,— Ро)!Ро параметры - нли М вЂ” 1. ! и, — ио ~ Я со о Мо=!оо!'со — число Маха для приходящего потока по отношению к ударной волне 1см. (10.0!)). Мы запишем соотношения между этигаи величиьгами для полнтропнческих газов. Правила для вывода соотношений между этими различными интерпретациями амплитуды разрыва содержатся в формулах 5 67.
В частности, мы имеем из (67.0!) Р» — Ро 1+!»о М вЂ” го 7 (7!.0!) Ро ! — !»ор»,'Ро го ~ о» вЂ” оо'! ~ 7 — 1 и из (67.02) Р~ — Ро ! !»о Ро 1 Р !»'Р».'Ро Рг — Ро 1 — — — (71.02) . (Р» Ро! Ро l З .о — » ! — !о Р» — Ро Р +„Р Ро (71.03) точное давление после отражения просто удваивается. Здесь мы встречаемся с совершенно другим положением; если падающая волна сильная, т. е. при большом отношенин получаем 8 для,=1,4, „-'-' — — "- -2+ -,1= 13 для 7=1.2 (7006) 23 для; =1,!.
Итак, ири отражении сильной ударной волны от стенки давление возрастает во жного раз,— факт, имеющий, очевидно, большое значение. Для слабых ударных волн, где Р' — 1 мало, мы находим Ро из равенства (70.05) ГЛ. ЕЕ ОДНОМГРНОЕ ТЕЧЕНИЕ газ Из (67.07) следует особенно простая формула Рл = (1.+ !»Т) !.44" — 1), а из (67.05) и (67.07) (71.04) МŠ— 1 — (1 и ) »'40 (71.05) (71.06) о,/рю» !л!»»=6 для 1=1»4.
Отношение давлений рнр, возрастает как квадрат числа Маха по формуле (67.0?) или (7!.04), т. е. (р 'ро),'Л4РТ -' 1+ !»'. (71.07) Тогда для отношения скоростей звука мы находим (с„'соНМО ! Ъ/1+ !»т (71.08) '» так как с, с„==-?т;!и!р,!»,. Для разности скоростей и,- — и, мы находим пз (71.05) еп — чае! /и (71.09) й 72. Слабые ударные волны. Сравнение ударного перехода с изменением состояния в простой волне Здесь уместно сформулировать важную теорему о сравнении ударного перехода с непрерывным изменением состояния в простой волне. Пусть ударный переход и простая волна переводят газ соответственно из состояний (т„ р„ и„) в (т, р, и) и в (т', р*, и*).
Мы измеряем амплитуду ударной волны по одной нз трех разностей т — т„ р — р„ или и — и, и соответственно говорим, что ударная н простая волны имеют одинаковую силу, если т* = т, Случаи О.табетх и сильных ударных волн имеют особенно большое значение. Силеные ударные волны можно характеризовать тем условием, что р„'р, нли Л4, очень велики. Из (67.02) и (71.02) мы видим, что отношение плотностей о,!О, стремится к конечному пределу, когда р,!р,, т.
е. а гг сллгые гд ~Р! гав во;н!ы нли р" =р, нли и' -== и. Тогда теорема может быть сформулн рована так: для ударного ьперехода и перехода в простой волне одинаковой силы величины-;-" и "., или р' и р, или ив и и совпадают до членов второго порядка включительно и различаюпгся в членах пгретьего порядка. Очевидно, что достаточно доказать эту теорему для одного из трех определений силы разрыва. Мы выберем для этого разность т — -,.
Из этой теоремы вытекают два факта: как изменение энтропии, так и изменение инвариантов Римана во фронте ударной волны являются величинами третьего порядка малосв1и, потому что обе эти величины постоянны в простой волне (инвариант, отвечающий волне, обращенной вперед, есть з и г — для обращенной назад).
Первый пз этих фактов уже доказан в й 65, и мы можем использовать его, чтобы непосредственно доказать часть теоремы, относящуюся к давлениям. Но часть нашей теоремы, относящаяся к скоростям, не следует непосредственно из условия для энтропии и нуждается в более тонком доказательстве. Чтобы определить изменение давления, мы подставим в разложение р--р.+й-.(ч 5.)( — м)+й'.(т. 5.) Р— 5.)+ 1 + й ь — (гв Зо) (' 'о) 1 соответствующее разложение Я вЂ” Я, по степеням: — -,; члены первого и второго порядка в - ;, не изменятся и поэтому будут такими же, как в простой волне, где 5= — 5,= сопз1. Поэтому давления совпадают до членов второго порядка включительно (см.
утверждение 1! в % 65). Часть теоремы, относящаяся к скоростям, доказывается по механическому соотношению для ударных волн (59.05) (р — р,) (; —;„) == (сс — и„)-'. Дифференцируя его три раза по; и подставляя затем —. — —.-.„, р=р„и= — п„мы получаем равенства дрй —. =-- (ди)', (72.01) аграт == 2гггпаи, (72.02) где значения дифференциалов надо взять при -.=-.„.
Так как г(р==а,(-.„5,), йт= — Ьг',дч 1 дгр=-- — а (-,, З„)й:г уже определены, то ди и апи могут быть вычислены из (?2.01) и (72.02). Знак зависит оттого, обращена лн волна вперед или назад (в первом случае ди4-. положительно, а во втором— отрицательно). 160 гл. нь олномнгноа гьчаннн Рассмотрим теперь последовательность простых волн с од- ним и тем же состоянием (з„р„сс,) впереди волны и значе- нием -. после сжатия.
Такая последовательность дается частями одной простой волны между прямой головной характеристикой, несущей значения О„р„и„и характеристикой, несущей зна- чение з. Зависимость р и и от О тогда будет такая же, как и вдоль пересекающей характеристики. Следовательно, спра- ведливо соотношение ИрдО=(Фи)О [см. (34.05)[, и после диф- ференцирования по .. получаем с(Орс(О = 2с(Оис(и, Эти два соотно- шения, взятые при т = О„согласу1отся с соотношениями (72.01— 72.02) дЛя ударНЫХ ВОЛН.
ПОЭтОМу СОи И С(Ои Прн -.= — ОО дЛя простых волн такпе же, как для ударных волн. Другими сло- вами, разложения и по степеням - †-.О для ударной волны н для простой волны одинаковы до членов второго порядка включительно. Легко проверить вычислением, что изменения давления и скорости в простой и ударной волнах действи- тельно различаются в членах третьего порядка.
Конечно, наша теорема остается в силе, если сравнивать ударный переход и изменение состояния в простой волне, имеющие одинаковые конечные значения давления илн ско- рости, вместо з (см. рис. 54). Разложения всех перечисленных величин по степеням р — р, нли и — и, согласуются соответ- ственно до членов второго порядка.
Рассмотрим теперь разложения по степеням и — и, вместо — Для ударной волны они одинаковы, вплоть до членов второго порядка, с соответствующими разложениями для про- стых волн, полученными в э 40 [см. (40.10 — 40.11)[; в частно- сти, для обращенного вперед ударного фронта в политропи- ческом газе имеем ! — 1 с ==- сО+ (и иО) + ° ° ° ! и -т с == иО+сО+--,'--(и — иО) -[-..., 2 2 и-- — с==-и — — с +..., О О .! — ! ! — 1 (72.03) р =.=- РО.-! — ОО СО (и — иО) —,— — — — (и и~) ~ 1+21 - =-Ъ вЂ” Ъс.'[и — ио)-[- 1 + — '' - -.О с,, (и — иО)О+..., где точки означают члены третьего порядка. г 72. слАБые удАРные Волны 161 Есть одна важная величина, связанная с ударной волной, к которой не относится наша теорема, — это скорость волны с?.
Легко получить разложение су' по степеням т — т„подставляя разложение р в механическое условие для разрыва (59.02), записанное в виде (а — (у) = — т от — т,' Но вместо этого мы далям только разложение су' для полнтропнческнх газов по степеням и — и|н Член первого порядка Рис. 64. Ударная волна и простая волна сжатия, имеющие впереди себя одинаковые состояния и проиаводящие одинаковое увеличение скорости. можно получить, подставляя последние два разложения (72.03) в (72.04). Чтобы вывести все разложение, более удобно пользоваться соотношением (67.10), которое дает.
(?=ие+са+ — (и — иа)+ т — " +... (72,05) 4 62 сн 1 (ау+ с — и„— с„)а + 6 сн (?2.06) Из этой формулы мы видим, что скорость ударного фронта, обращенного вперед, в первом порядке ровна как раз сред- ! | Р, Курант н К. Фтора с для ударного фронта, обращенного вперед. Для дальнейших целей полезно разложение су' по степеням и+с — и, — с,; пользуясь (72.03), получим 1 и= н+ сн -'; — (и+ ' — и, — с,)+ 162 гл.
ш, одномзоноз течение нему значению — (и,+с,+и+с) скоростей обращенных впе- 1 2 ред звуковых волн позади и впереди фронта. Неточность, возникающая при подстановке в уравнения для ударной волны соотношений для простой волны, очень мала даже для ударйых волн с отношением давлении — ' —, рав- Р~ — Ро Ро ным 1,5 (см. [541). В политропическом газе с 7=1,4 для ударных волн такой силы '=071 г с' =0!5 со со ' — ио со 2 со тогда как для простой волны той же амплитуды — ' — '-=0,70, — ' — - — '=0,14, с,— со 1 — 1 гн — ио — — 0 со со Скорость ударной волны с/ равна сà — и„ со тогда как формула (72.05) дает — — — — '- = 1,52.
со Это показывает, что даже для ударных волн, сила которых несколько больше, чем Р' Р' = 1„5, соотношения для простых Ро волн и формула (72.06) для скорости ударной волны достаточно точны для большинства целей. й 73. Нестацнонарные ударные волны Для ударных волн, рассмотренных в з 53 и 57, положение довольно просто, потому что состояния по обе стороны фронта отвечают постоянному потоку. Отсюда получаются постоянная скорость и сила ударного фронта. Такой ударный фронт представляется в плоскости (х, 1) прямой линией, „путем фронта", наклон которого по отношению к оси 1 есть постоянная скорость фронта У. Часто, однако, состояния по обе стороны фронта не являются оба постоянными, а должны описываться Э м.
илссмотевннв нвстлционлгных ивлевых волн нестационарными решениями уравнений газовой динамики. Тогда и ударный фронт не имеет постоянной скорости, т. е. путь его в плоскости (х, 1) искривлен. В общем случае изменение энтропии в таком разрыве тоже меняется. Поэтому, если даже состояние впереди фронта имеет постоянную энтропию, позади него энтропия непостоянна, и мы вынуждены описывать его с помощью дифференциальных уравнений (34.06) неизэнтропического течения.
Это математическое усложнение препятствует созданию общей теории такого течения, хотя в частных задачах вычисления выполняются сравнительно легко. К счастью, во многих практически важных случаях ударная волна слаба иля умеренно сильна, так что изменениями энтропии можно пренебречь на законном основании; это очень облегчает численные расчеты. В таких случаях мы можем пользоваться более простыми дифференциальными уравненинмн изэнтропического течения, обращаясь только к первым двум механическим условиям на ударной волне и пренебрегая третьим. Несколько более простая приближенная трактовка будет рассмотрена в следующем разделе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
