Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ударные соотношения для политропических газов На основании трех основных ударных соотношений мы свяжем значения рассматриваемых нами величин по обе стороны фронта. 152 Гл. ш. ОднОНВРное твчвннв Согласно (64.04) соотношение Гюгонио Н(;„р,) =0 для пОлитРопичеСких газов имеет вид (а, — )аааа) Р, — (-.„— ! оа,) Р;= 0 и дает поэтому важную формулу р~ оа — РОЧ Ра — Р~ра (67.01) Ра ао Р.
оо Ро гара Обратив ее, получим то Р1 ро+ р" ро Ро ра+ рар1 (67.02) тогда как из (59.01) , (1 — Ро) оо а (1 Н),, ( — ) =(Р— Р.)',...„; =(Р,— Р,)а, '; '-. (67.05) Особенно простое соотношение существует между отношением давлений — и числом Маха р1 ра Ма =- —— )го ~ (67.06) оо для течения газа [см. (10.01)). Из равенств (67.04) н Рас'„=;Ра имеем Ра + 1' Ро = (1 — 1" ) ро ""о = 1 (1 —," ) РоК илн Й=(1+!аа) Мо — По, (67.07) ро Равенство (67.02) показывает, что сжатие — '', как уже упомнРа налось в 9 64, всегда ограничено интервалом р1 1 (67.03) Ра Р так что оно не более чем н '-кратно.
Для; =-1,4 плотность всегда увеличивается не более чем в 6 раз, а для 7 = 1,2 предельное сжатие равно 11. Изменение температуры и энтропии в ударной волне немедленно определяется из (67.02), если подставить Та) Т, =р,о,7Раоа и 5, — 5а — — ло!пр,фроо,' )см. (301) и (3.23)). Легко проверить, что и о и Т увелйчиваются в разрыве. Из механических условий э 59 можно получить соотношения между скоростями, давлениями и плотностью по одну сторону разрыва. Из(59.02), пользуясь (67.01), находим Р +РоРа Ра+РРР (67.04) (1 -Ро) оо (1 - Ра) -., ' % ОО. УДАРНЫЙ ФРОНТ И СОСТОЯНИЕ ПОЛИТРОПИЧЕСКОГО ГАЗА !5З. Ударные соотношения, которые включают только скорости частиц н звука, легче всего получаются из соотношения Прандтля (66.02).
Подставляя О, =' — и, — (7 в (66.02) и пользуясь (66.01), находим (ио — (/) (и, — с?) =, ' (и, - — с?)о + (1 — ! ') с =-- (67.08) = !со(Н, — !7)о+(1 — !со)С, . Таким образом, мы получаем равенство (1 — ! Я) ((l — И )о — (и, — Сс,) (С? — и,) = (1 —,.Т) С'„(6?,09)' которое представляет квадратное уравнение для (7 — и„если даны и, и с,; опо равносильно следующему равенству: Яо (! 1„о)( о о ) (67 10) которое иногда бывает полезно. 5 68.
Состояние по одну сторону ударного фронта в политропическом газе, определенное состоянием по другую сторону фронта Различные формулы, которые мы только что вывели, позволяют полностью определить ударный переход, если дано состояние по одну сторону фронта, н, кроме того, такая величина, как скорость фронта с? нлн давление, нлн скорость †другую сторону. Так мы получаем для полнтропических газов. подтверждение теорем (А), (Б) и (В), высказанных в $ 64.
Вместо того чтобы точно следовать 5 64, мы выберем другой способ, в котором используются скорости звука взамен плотности. А. Даны р„р„п„с?. Вычислим сначала во=но — К затем Л!,=)юо(,'сон затем р, нз (67.07). Определим, далее, с =! ЯО,-!ч -1- (1 — ! ') С„н отсюда с о ! Р1 Найдем, наконец, с, из Н' э, -',— (1 — !Уо) с, = с . Равенство (67.10) НС вЂ” Но О 1Сà — НО СΠ— '=(1--.
Я) ~с со ' ~ со послужит нам проверкой. !л кс Ол!!О!!ЕРнос те'!гни!в В. Даны р„й„и„на фронте, обращенном назад (откуда следует, что э, > 0), и р, > р,. Найдем сначала Мог пз (67.07), затем о„=Л,со, С/=и„— о„, г =1'-о„'+(1 — ! !) со! и продолжим, как в случае А. В. Даны р„я„и„со стороны фронта ударной волны, обращенной назад, н и, < и,. Находим сначала 1/, решая квадратное уравнение (67.09) для о,=и, — 17 > О.
Затем продолжаем, С как в А. Для проверки служит равенство и, — 1/= — "-. го й 69. Ударная волна, происходящая от равномерного сжатия поршнем Мы уже видели в 9 45, что течение, производимое в трубе поршнем, который внезапно стали выдвигать с постоянной скоростью, может быть описано как центрированная простая волна разрежения. Если, с другой стороны, поршень стали внезапно вдвигать в трубу с постоянной скоростью, то результирующее движение приводит к ударной волне 1см. 9 48.) Выражаясь математнчески, мы имеем здесь дело со смешанной задачей о начальных значениях (сы.
ч 38): и=О, р=р„, й = й„заданы на оси х > 0 при 1 =- О, тогда как на линии х = и г, представляющей движение поршня, наложено условие и =-и, где и„— скорость поршня. Надо найти решение дифл)!еренциальных уравнений течения (34.01), удовлетворяющее этим условиям; но йри и„) 0 такие решения не существуют, если не допустить существования разрывов. Течение с ударным разрывом находится как в 9 53 (рис.
46). Ударная волна постоянной амплитуды движется с постоянной скоростью в покоящемся газе, а газ позади фронта нахо-' дится в стационарном состоянии. Скорость газа позади ударного фронта равна тогда заданной скорости поршня и = и Теорема (В) (са!. Ч 64 и 68) показывает, что прн этих обстоятельствах ударный фронт и состояние позади него полностью определены для произвольного значения скорости поршня и ) О. То же верно для неполптропического газа при весьма л общих условиях.
То, что найденное таким образом решение есть единственное, требует математического доказательства, которое здесь будет опущено. Так как и †-- и , и = О, то мы находим С! для полптропи- ! Р' ческих газов из уравнения (67.09): 169.01) и 70. ОтРА7кение удАРБОР! ВОлны От 7кесткон с Генко ! 77 (/ "Р 1 — но (69.02) РО (1е ИО)О С;7 Р7 1 Ро Р- (69.03) (69.04) й 70.
Отражение ударной волны от жесткой стенки Рассмотрим теперь очень важный вопрос — отраи'ение ударной волны от стенки. Пусть столб газа движется с постоянной скоростью позади ударного фронта, наталкиваясь на зону неподвижного газа, ограниченную жесткой стенкой. Возникающее физическое явление может быть описано как отражение ударной волны от стенки и представлено математически кусочно. гладкими решениями дифференциальных уравнений, удовлетворяющими условиям на падающей и на отраженной ударной волне.
При ударе падающей волны зона (О) покоящегося газа между волной и стенкой сокращается до нуля, скажем в момент 1 = 0; потом возникает отраженная ударная волна в противоположном направлении, которая, в свою очередь, оставляет растущую зону покоящегося газа между своим фронтом н стенкой. Положение лучше всего представляется диаграммой на плоскости (х, с). Зона (0) относится к покоящемуся газу и характеризуется величинами ио = О, р„, )7о, с,. В состоянии (1), следующем за падающей ударной волной, и =и,; в состоянии Д), граничащем со стенкой, вновь наступает покои, Ясно, что скорость разрыва 1/ больше, чем и '(1 — ! о) н скорость звука с„.
Например, для воздуха (; =1,4, Во=1,6) ударная волна движется по крайней мере на 207Ь быстрее поршня. Определив таким образом скорость ударной волны, мы будем иметь последовательное описание движения, произведенного сжимающим действием поршня. Хотя мы н не дали доказательства единственности, т. е. не показали математическим путем, что-другие виды движения невозможны, мы будем считать, что нами получена удовлетворительная теория для интерпретации действительных явлений, к которым применима при известных обстоятельствах наша идеализированная модель. Получив оУ', мы находим по способу (А) 564 и 68 давление р„ скорость звука с, и плотность р, в зоне, граничащей с поршнем.
Прн больших скоростях и вдвнгаемого поршня, т. е. прн и,/соУР!, мы имеем по (69.01), (67.07) и (67.02) ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 156 на оаав — 1 = О, (70.01) Рис. От Отражение уеарной волны так чтп от жесткой стенки. М М =1. (70.02) Далее, соотношения для скорости, вытекающие из (67.07), таковы: —,"-= (1+но) М', — р, — "'= (1+р ) М' —, "-; (70.08) Рт + Рт пользуясь (70.02), мы получаем отношенссе давлений при отраженноес 12~ '+1)-', — Ро (70.04) Ра — +1 Ро или отношение избыточных давлений Ро — Ро ]+ 1+но Р~ — Ро Ро Ро — но (70.05) Это и есть основное соотношение для важного явления опсрпжения.
При „звуковом отражении", получающемся в линейном волновом движении„это отношение равно 2, т. е. избы- и=и.=О, но с дРУгими значениами Ра 1то с . Наша цель— найти состояние (2) из данных р„р„и,=О, и,. Для этого мы заметим, что предполагаемое решение, изображенное на рнс. 53, показывает, что состояние (1) со скоростью течения и, и скоростью звука е, связано ударными условиями на падающей волне с зоной покоя (О) и на отраженной волне — с другим состоянием покоя — (2). Е1 есть скорость падающей, а У вЂ” скорость отраженной волны, поэтому согласно уравнению (67.08) обе эти скорости удовлетворяют одному и тому же квадратному уравнению илн два числа М = (и,— — У)1'с,<0 и М =(и,— — -У ),'е, > 0 суть корни квадратного уравнения Мо (1 ро) 'с,— 'и, М— В и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
