Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 30
Текст из файла (страница 30)
й 74. Приближенное рассмотрение нестационариых ударных волн умеренной силы Если ударные волны — слабые или имеют умеренную силу, то результаты Э 72 подсказывают замену ударного перехода переходом к соответствующей простой волне сжатия. Другими словами, мы можем предположить, что в ударной волне энтропия и нйдлежащий инвариант Римана не меняются. Приближенный метод, основанный на этом предположении, был впервые применен Чандрасекаром 154) и позже развит очень подробно (см. [55]).
Он особенно удобен, если течение перед нестационарным фронтом постоянное (например, имеет место состояни~„покоя). В основном мы и посвятим свое изложение этому случило. Нестационарный ударный фронт чаще всего возникает в том случае, когда обращенный вперед ударный фронт с постоянным состоянием по обе стороны перегоняет идущая сзади простая волна и соответственно изменяет его (рис. 55).
(Это одна из задач о взаимодействии волн, которая будет рассмотрена с другой точки зрения в разделе Г.) Предполагая, что ударная волна имеет умеренную силу, и принимая указанную здесь процедуру,мы приписываем течению позади измененного таким образом разрыва постоянную энтропию и постоянный инвариант Римана ж Течение с постоянной энтропией и постоянным з есть простая волна, обращенная вперед, согласно 11:" 164 ГЛ.Ш.ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ теории гл. Ц (см. 5 29).
С -характеристики, вдоль которых и г также постоянно,— прямые. Следовательно, такая простая волна является продолжением падающей простой волны. Поэтому в таком приближении ударная волна ие влияет на простую волну. По этой причине„как мы увидим, влияние простой волны на ударную легко определяется. Для того чтобы описать состояние газа, достаточно задать скорость течения и скорость звука с. Предположим, что впереди ударного фронта и=и,=О, с= = с, и что простая волна перегоняет его в момент 1=0 в точке х =О. Тогда простая волна позади фронта моясет быть описана уравнениями х = !+э(5) Е, (74.01) инин оеп ы (6) = и ($) + с (!) (74.02) для 6 (О, где и(!) и с(!) должны удовлетворять условию и (!) — ! (!) = — ! ]см. (40.01)] и 1(49.0!)].
Здесь ! есть известная функция с„потому что энтропия Рис. Бл. ударная волна, изменен. предполагается одинаковой по еав догонааппей еа простои обе стороны ударного фронта волной. (см. 9 40 и 49). Из той простой формы (40.09), которую это соот- ских гйзов, мы ношение приобретает для политропиче выводим и Я) = (1 — р') (и (Р) — са), (74.08) с (С) — са = рз (а (!) — с,) [см. (40.ОЯКО. Путь ударного фронта теперь может быть описан параметрйчески — заданием 1 как функции $ и подстановкой этой функции в (74.01). Дифференцируя (74.01) по ! вдоль пути фронта и пользуясь тем, что их=(7И вдоль этого пути, мы приходим к соотношению (74.04) являющемуся линейным дифференциальным уравнением относительно функции 1=1(!), если известна функция (7(!).
Но скорость ударного фронта известна, если даны оба состояния— 8 и. елссмотеаннв нвстьцноньгных вльгных волн 166 ы(8)=с,+с„в($), мы находим решение в явном виде о 80 —.(Б)~а ( о(ч)в.ч а ($) / ) 11 в (Ч)]з (74.08) Условие того, что скорость ударного фронта — сверхзвуковая по отношению к находящемуся впереди газу, можно выра- зить следующим образом: 0 < (7 — с, = — (а — с,) (4-(-в), откуда 1 8 видно, что о) 0 или а ) с, позади фронта. С другой стороны, условие того, что скорость фронта относительно газа позади него — дозвуковая, выражается так." О < в — (7= — (ы — сО) (4 — в), 1 8 отсюда о<4, т.
е. е — с,< 4с,. (В действительности ]в] мало по сравнению с 4 везде, где можно пользоваться нашим приближением; потому что иначе член второго порядка в (74.05) не будет малым по сравнению с членом первого порядка.) Функция 8(8), определенная для в) О, и функция х(1), получающаяся из (7401), описывают путь ударного фронта, проходящего через область простой волны. Если простая волна есть волна сжатия, фронт ускоряется и соответственно усиливается; если простая волна есть волна разрежения, фронт замедляется и ослабляется. Чтобы доказать это, мы заметим прежде всего, что дв(8)1с(8 ) 0 в волнФ, обращенной вперед, как это следует из э 40; следовательно, д(7(":) с(8 ) 0 согласно (74. 05).
Заметим, далее, что с( ГЖ < О, как это следует из (74. 06) и того, что 0 ( о < 4 (для волны сжатия с($(д8 может стать бесконечным и переменить знак, но тогда нельзя больше пользоваться нашим приближением). до и после фронта.
Мы воспользуемся формулой (72,06), записав ее в виде (7($) =с„+ — [а(8) — с,]+ — (а(8) — с,'1'. (7405) 2 8сь Подстановка этого соотношения в (74.04) приводит к дифференциальному уравнению ! — (ы — св) — — (а — со)' ) — + — С= — 1, (74,06) 2 8сь / В1 В1 которое можно решить при начальном условии 1 = 0 прн 8 = О. Подставляя (74.07) ГЛ. ИЕ ОЛНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЯ $ 75. Затухающая ударная волна.
Ф-волна Особенно важен случай затухания ударной волны, когда фронт ее, распространяющийся по зоне покоя, перегоняется волной разрежения, остающейся с ним в соприкосновении в течение неопределенно долгого времени. Это, как мы увидим, происходит в том случае, когда скорость позади волны разрежения обращается в нуль. Из нашего предположения, что газ в волне разрежения имеет ту же самую энтропию и тот же инвариант Римана з, что и перед фронтом ударной волны, следует, что скорость звука н давление позади волны разрежения такие же, как и перед фронтом ударной волны. Весьма интересно изучить асимитотические поведение ударного фронта и распределение и, с и р в волне разрежения, т. е. их поведение при больших 1.
Совсем не очевидно, чтб будет при этом с шириной ударной' волны, т. е. расстоянием между ударным фронтом и хвостом волны разрежения: будет ли оно с течением времени неограниченно возрастать, убывать или стремиться к конечному пределу. Мы покажем, что ширина ударной волки возрастает как квадратный корень из времени с. Из (74.08) мы видим, что 1 стремится к бесконечности, когда а приближается к нулю или м стремится к с,. Поэтому ударный фронт постепенно проходит чррез часть простой волны, где давление и плотность больше, чем перед фронтом. Он не проникнет в те части простой волны, где давление и плотность меньше, чем перед ним. Следовательно, если давление в хвосте волны разрежения больше, чем давление перед ударным фронтом, он пройдет через всю волну и затем будет снова двигаться прямолинейно в плоскости (х, 1).
В этом случае ширина ударной волны обращается в нуль за конечное время. Чтобы исследовать асимптотическое поведение разрыва, мы рассмотрим тот случай, когда давление в хвосте волны разрежения точно равно давлению перед ударным фронтом. Тогда в пределах нашего приближения можно считать, что позади волны разрежения газ покоится, так как он покоится перед фронтом. Хвост волны, заданный звуковой волной '-. =1Р (О, в этом случае характеризуется условием' м (~,) = = со нли е (Ее) = О. Вводя обозначение (75.01) А=32 1 / [4 — а (Т)[Т а 75.
ЗАТУХАЮШАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА. Ао ВОЛНА 1б7 мы получаем из (74. 03) асимптотическое разложение )~ соЬ ~ — — — )3 4А+..., (75.02) откуда а=2 — +... Г А А ~/ со« с,с (75.03) Подставляя это выражение в (74.01), мы находим х= (о+со(+2)7'Асс~ — А (75.04) как асимптотическое представление пути ударного фронта. '«ак как хвост волны разрежения задается уравнением х= = 1о+ сос, мы находим для ширины ударной волны асимптотическое разложение «1 (1) = 2)с АсоЬ вЂ” А. (75.05) и подставляя в (74. 01), мы находим х = $о+ со/+ (асос+ 1) (1 — $о) + Ьсоф ($ — Цо)' (75.07) асимптотически и, следовательно, х — $о — со« (х — бо — со«)о асяс + 1 (асяс + 1)о ' (75 03) и, снова пользуясь (75.06), получаем а =а х — $о — сот ) Ь (х — $о — сот)о асос+ 1 (асос+ 1)' (75.09) Подставляя (75.09) в выражения (74.02) и (74.03) для и и с, написанные в виде н = (1 — ао) с, а, с = со+ «оо со а, (75.10) Это разложение ни в коем случае не следует понимать в том смысле, что отклонение истинной ширины от выражения с((с) стремится к нулю, когда (стремится к бесконечности.
Формулу (75.05) следует истолковывать в том смысле, что коэффициент прн )7 с и постоянный член в асимптотическом разложении точной формулы мало отличаются от членов 2 )/Асс и — А в (75.05). Чтобы получить распределение и и с в зоне волны, мы выразим а через х при заданном Ь. Полагая 6 — ! )+Ь6 — 1)'+". ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 168 мы получаем асимптотическое распределение и и с в волновой зоне, распространяющееся от к= сь+саЬ до х = са+саЬ+ с((Ь). 7 с хзт»т — з Распределение давления находится нз р =р,! '†) и (75.!О) сс ра[ +( +»') +2( +р)о1 (75.11) Непосредственно позади ударного фронта мы имеем из (75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
