Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 31
Текст из файла (страница 31)
09) +Ь асят+ 1 (ласт+ 1)з (75.12) Рис. 57. Затухающая й»-волна с головным и хвостовым ударными фронтами, произведенная обратным выдвижением поршня. Рис. 55. Затухающая ударная волна, произведенная остановкой движущегося поршня. что согласно (?5. 05) равносильно (75,03) о=2у — — +... лГА А сот ест Подставляя (75.03) в (75.11), мы сразу видим, что скачок давления в ударном фронте или алтплитуда ударной волны убывает обратно пропорционально корню квадратному из времени. Затухание ударной волны такого рода, происходящее от перегоняющей ее волны разрежения, имеет место в трубе, когда поршень, создавший ударную волну постоянной силы, внезапно останавливается, так как голова центрированной волны разрежения, высланной в тот момент, когда поршень остановился, следует за ударным фронтом со скоростью звука и нагоняет его.
Для этого случая легко вычислить функцию а тх. адттхаюшля хдлвнля волна. лдволнл 169 ы= ы(."„) и постоянные А, а и Ь (см. (551). Пример получающегося течения показан на рис. 56. Если поршень не остановлен внезапно„ а приведен в обратное движение с постоянной скоростью и уже потом остановлен (тоже внезапно) в своем прежнем положении, то в этот момент будет послана вторая ударная волна. Тогда образец такой волны, показанный на рис. 57, будет состоять из „головного ударного фронта", в котором газ ускоряется и сжимается, волны разрежения, в которой газ замедляется до отрицательной скорости и расширяется до давления ниже начального, и „хвостового ударного фронта", где газ снова приходит в состояние покоя и начального давления. ра Рис.
о8. Распределение давления в аатухаювтей И-волне с головным и хвостовым ударными фронтами. Волна такого типа называется „М-волнои". Хвостовую ударную волну в такой М-волне можно рассматривать так же, как и головную, и ее асимптотическое поведение представляется такими же формулами. Волну разрежения можно разделить на две части, разделенные звуковой волной с = с„ несущей скорость газа и = 0 и скорость звука с =- с .
Головной ударный фронт пересекает переднюю часть волны разрежения, хвостовой фронт — заднюю. Если начало хвостового фронта расположено у с=$ы то мы находим, что ширина 7ту.волньс псимлтотически равна су(~)+Н,(~) =2(у~А-', )' А ))гсов — (А + А ), (75 13) где (75А4) А,=-32 1 р 1, Ширина снова возрастает, как квадратный корень из Асимптотическое распределение и, с, р дается формулами 17О ГЛ. Ш.
ОЛНОМЕЕНОЕ ТЕЧЕНИЕ (75.09 — 75.11), как и раньше. Асимптотическое распределение давления в М-волне, происходящей от выдвигания поршня, по- казано на рис. 58. (76.02) 4 — 5 х= — $~ — 1 — — ":+.. За 12 нли х = с,1+ — а'с'Р+ .. 1Э 0 (76.03) й 76. Образование ударной волны Как мы показали в разделе Б, разрыв может возникнуть в волне сжатия. Форма волны может постепенно становиться круче до тех пор, пока в некоторой точке не возникнет бесконечный наклон (см.
и 41), н отсюда разовьется ударный фронт. С+-характеристика волны сжатия, обращенной вперед, описанная на диаграмме (х, 1), обрдзует огибающую, начинающуюся с угла (см. э 48). Из этого угла начнется путь разрыва. Огибающая (если она не вырождается целиком в одну точку) имеет две ветви с одинаковым направлением в вершине угла, и сами величины и, с, р еще непрерывны в ней (только их производные становятся бесконечными). Следовательно, разрыв начинается с нулевой силы и остается слабым на ранних степенях своего образования.
Поэтому при описании образования разрыва могут быть сделаны упрощающие предположения э 74. Мы рассмотрим случай, когда ударная волна начинается в голове простой волны, обращенной вперед и вступающей в зону покоя. Этот случай возникает, например, если волна сжатия образована постепенно ускоряемым поршнем (см. конец э 49). Положение поэтому практически то же самое, как и тогда, когда простая волна перегоняет разрыв (см. э 75), за исключением того, что теперь начальный разрыв исчезает. Предполагая, что ударная волна начинается в момент 1=0 в точке х=О и зона х > 0 при с= 0 находится в покое, мы требуем, чтобы м(1,) = с„а'м/Ы1(0 для 1(0 и для того, чтобы ударный фронт возник прн х=О, 1=0, Ым/Л= — со при $ =О.
В данном случае мы предположим, что е=7/ — 1(а+а„5+... ), а > 0 (76.01) с а= с,(1+е) [см. (74.08)). Тогда мы можем пользоваться формулами (74.08) и (74.01). Разлагая правые части этих формул по степеням 1, мы находим представление пути разрыва 4 — 1 с,1= — 1à — ". — — 1+...,, За 12 а 76. ОБРАВОВАние удАРИОН ВОлны 171 Поэтому ударная волна начинает двигаться со скоростью с, как и ожидалось, и с ускорением За7сВ!8. Рост силы разрыва виден из формул и = — (! — Рз) азс„1+..., з В с — с,= — !'а'с Ь+..., (76.04) .Р— 17В =.
— (1 + Нз) роа'сзЬ+ которые следуют из (74.03) и (76. 02). Можно легко получить те же формулы специально для случая образования ударной волны в волне сжатия, произведенной равномерно ускоряемым поршнем, движущимся по 1 закону х= — Из. Волна сжатия дается формулой 2 х = — Ь г'+ '[сБ+ — Ь 21 (~ — !') (76 05) [см. (49.06)).
Угол образуется при Ь= Ь,=(! — н') со~Ь~ х =х, = (! — н') со~Ь (76 06) [см. (49. !О)[. Смещая начало координат в эту точку и полагая '= 1А — — Ь р'= — 1Ь р'[2, 1 + РВ 2 1 — рз мы записываем (76.05) в виде х — х,= ~+ сВ([+.) (Ь вЂ” «,). (76.07) (76.08) Тогда коэффициент в (76.0!) равен 2 2а т асР (1 — Рй РЗ (76.09) После замены х и Ь на х — х, и Ь вЂ” Ь, и подстановки формул (76.08) и (76.09) в (76.02 — 76.04) мы получим описание развития разрыва.
Более детальное рассмотрение, в частности тех случаев, когда разрыв возникает внутри зоны волны, дано в [55[. Надо еще раз подчеркнуть, что все предыдущие результаты и их численное применение к специальным случаям справедливы только тогда, когда сила разрыва еще достаточно 172 Гл. ш. Олномевнов твченив мала. Коль скоро это предположение становится недопустимым, мы должны не только рассматривать неизэнтропические потоки, но и учитывать то, что разрыв видоизменяет простую волну позади себя. Этот эффект взаимодействия можно истолковать как „отраженную волну", тогда как слабый ударный фронт не отражает заметным образом течения позади себя.
В разделе Г мы будем изучать взаимодействия волн без всяких предположений о слабости ударного разрыва. й 77. Замечания о сильных нестационарных ударных волнах Вопрос о том, как развивается ударная волна, неизбежно возникающая в волне сжатия, после того как она перестает быть слабой или умеренно сильной, является сложной аналитической задачей. Область тс в плоскости (х, т), в которой разрыв влияет на течение, очевидно, ограничена линией фронта, в ф„'""'э, начинающейсЯ в УглУ А, отРез- ком пересекающей характернл стики от точки А до точки В ва линии поршня и дугой пути + С+ поршня за В (рис. 59). Если бы были известны линия разрыва 5 н его сила, то мы могли бы получить определенные Рис. 5У.
Область тс, на лоторуат начальные значения тс, р и влияет ударная волна, происходящая из волны сжатия. энтропии с помощью ударных соотношений. С этими начальными значениями мы моглн бы решить дифференциальные уравнения (34.06) и определить и, р и 5 в тс. Но на самом деле линия пути разрыва должна быть выбрана таким образом, чтобы на пути поршня за точкой В решение имело значения и, предписанные движением поршня. Это задача о начальных значениях с неизвестной границей, и прямой теоретический подход кажется невозможным.
Решение каждой частной задачи может быть найдено численным методом, например с помощью способа конечных разностей. Может быть выполнена и обратная процедура. Зададимся какой-нибудь линией пути разрыва 5 и определим начальные значения на ней по условиям на ударном фронте. Затем решим задачу о начальных значениях и найдем соответствующее движение поршня по течению в В.
Выполняя эти вычисления для подходящей совокупности линий 5, мы найдем набор З ЬЬ ТИПИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 17з течений, из которого выберем одно, наиболее близко представляющее заданное движение поршня. Чтобы выяснить основные вопросы, надо поставить в общем виде математическую задачу о движении газа в полу- бесконечной трубе под влиянием поршня, действующего на закрытом конце;надо найти решение дифференциальных уран. пений (34.06) в области плоскости (х, 1), ограниченной положительной частью оси х и линией поршня на закрытом конце Р, заданной произвольно: х=Х(г), 0 < 1 < сс. Для 1=0 состояние р, р, 5, и задано, а вдоль Р задано значение и (1) = Х(Е) Мы знаем, что задача о начальных значениях в общем случае не имеет решения.
Возникает вопрос: если допустимы ударные разрывы на некоторых заранее не заданных линиях, то всегда ли разрешима задача н однозначно ли определено решением Ответ на столь общие вопросы выходит за рамки современных знаний. Это тем более относится к соответствующим вопросам течения в двух и трех измерениях. Г. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ й 78. Типичные взаимодействия Как мы уже упоминали, получить общее решение задачи о течении невозможно. Но если начало движения сравнительно простое, то можно произвести весьма полный анализ последуюших фаз движения, рассматривая их как „взаимодействия" начальных „элементарных волн", т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
