Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Соотношения (82.14 — 82.18) характеризуют функцию Римана. Кроме того, функция Риманагси (г, з; г, з) дифференциального уравнения, сопряженного с (82.01), удовлетворяет тождеству 1С (г, з; г, з) =Рк(г, з; г, з) (82.16) ~ (Г З) = Со 77(Гоа Зо; Г. З). (82.17) Другое решение (82.18) где и= —, р= — и Р (е) означает функцию Лежандра ног в Го ' Зо рядка 1а, было выведено Шоу (тезисы к диссертации, представленной в Нью Иоркский университет). Оно может быть приведено к предыдущему виду по известной формуле, связывающей функции Лежандра с гипергеометрическими функциями.
Эти решения, в частности, в том случае, когда онн сводятся к многочленам, очень удобны для числовых расчетов и в этом смысле выгодно отличаются от приближенного метода конечных разностей, рассматриваемого в следующем разделе. Однако если волны разрежения не центрироваиы или если среда — неполитропический газ, или, в особенности, если рассматривается взаимодействие волн разрежения с контактными поверхностями или ударными волнами, то метод конечных разностей, повидимому, более удобен, чем любое решение в явном виде. 13 Р.
Курант и К. Фрииииан и, конечно, удовлетворяет как (82.01), так и соответствующим граничным условиям. Из этих свойств следует, что решение характеристической задачи начальных значений для взаимного проникновения двух центрированных волн разрежения дается функцией Римана ГЛ. Нь ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ й 83. Изучение взаимодействий методом конечных разностей (83.01) В общем случае наиболее подходящим методом для нахождения течения в зоне проникновения двух элементарных волн является метод конечных разностей. В этом разделе мы даем его изложение (см.
(531). Применение этого метода к случаю проникновения двух простых волн совершенно очевидно. Следующая по простоте задача — это встреча волны разрежения с „контактным разрывом" или „линией раздела" Р (представленной на плоскости (х, г)). Контактный разрыв сначала разделяет два постоянных Ливия течения (0) и (1) (см. рис. Разрыта 87) с различными значения- ми энтропии, температуры Выражая и плотности, но с одина- ковыми давлениями и ско- е а ростями частиц. Линия ое раздела Р в плоскости (х, г) — прямая, пока она не Нва одащаи Ля встретится с волной разрежения. Эффект взаимодействия состоит в перемещении точки разрыва влево (т. е.
ее замедлении) или, на Рис. 87. Взаимонейетвие волны плоскости (х, В), в изгибании разрежения е.контактным разрывом линии Р, пока она не пересечет всю область волны, после чего она снова становится прямой. Задача состоит в определении положения Р в произвольный момент времени по исходным данным и, тем самым, в определении результирующего течения во время и после проникновения волны разрежения. Для простоты предположим, что газ политропический. Течение изэнтропично по обе стороны Р, н поэтому дифференциальные уравнения могут быть записаны в характеристической форме [см.
(34.02 — 34.03)) следующим образом: х„— (и+с) с„= О, х — (и — с) с =О, 2 и„+ — с„= О, а 1 и 2 и — — с=О, в Е ЗЗ. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕИ 195 где х, 1, и, с суть координата, время, скорость частиц и мест ная скорость звука соответственно, а т — показатель адиабаты, тогда как линии а = и(х, 1) = сонэ! и !1=9(х, 8)=сонэ! суть характеристики. Начальные данные для „зоны проникновения" (рис. 87), где течение — не простая волна, получаются так: благодаря тому, что задана приходящая волна разрежения с прямыми характеристиками !1=сопз1, первая „отраженная" характеристика 7.„встречающая .О, известна, так же как и распределение и и с вдоль 7, Хотя положение АА надо определить, некоторые данные на ней известны: во-первых, О есть их путь частиц, т.
е. вдоль 1у мы имеем — =и; во-вторых, часть волны разрежения, прошедшая через 1Э, есть снова простая волна, так что для каждой точки по правую сторону от й 2 г имеет место равенство и(Р ) — с(Р ) = и, — с,, ъ — ! где индекс 1 означает величины в постоянном состоянии (1). Поэтому, так как р(РН)=р(РА)(Р, есть точка, противоположная Ре на левой стороне Ау) и и (Р )=и(РА), мы можем выразить и(РА) как функцию с(РА) вдоль О. В явном виде это соотношение есть Т (Ъ-~! и(РА) — и(АА) = — 1 . (83,02) Эти начальные данные вместе с уравнениями (83.01) достаточны, как указывалось, для однозначного определения В и течения. На рис. 87 показаны область проникновения, прошедшая волна и волна, отраженная от Р.
Более сложный характер имеют задачи, в которых течение не остается изэнтропическим. Рассмотрим, в качестве примера, волну разрежения, перегоняющую ударную волну„методом, отличным от метода, применявшегося в $ 78. Во время проникновения волн ударный разрыв постепенно уменьшается по амплитуде и скорости и в конце концов переходит в более слабый постоянный разрыв.
Ослабление разрыва нарушает изэнтропнческнй характер течения. Поэтому надо рассматривать уравнения 117.0! — 17.03) одномерного нестационарного течения с переменной энтропией. Мы имеем теперь три семейства характеристик, определяемых следующими уравнениями: х„= (и+с) 1„, х =(и — с)1, м (83.03) х„=и1 .
гл. и, одномн нов тачаниа х =(и — с)1~, 2 с ч„ и„+ — с. т — 1 ' 1(т — 1) (83.04) где я=(т — 1)с,5. Мы формулируем краевую задачу для системы (83.04) сле- дующим образом (см. рис. 88). По заданной волне разреже- ния мы определяем первую „отраженную" характеристику Е, так же, как и распределение и, с, ч вдоль Е,. Другие условия даны на ударной линии 5, положение которой само должно быть найдено. Эти условия имеют вид условий на разрыве, связывающих известное состояние (О) впереди фронта с состоя.
дх ннем позади него. В них мы выразим скорость фронта — челс рез скорость частиц и, скорость звука с и энтропию т1! (! — ! ) с, как раз позади фронта, т. е. Их — — = л(и), ис — 8' (с), Их а7 (83.05) Функции л, д, А даются соотношениями Гюгонно. По этим данным можно определить течение в области проникновения, показанной на рис. 88, и положение ударной линии 5. Вычисления показали, что метод приближенного решения, основанный на конечных разностях, дает с помощью уравнений (83.01) и (83.04) хорошие результаты для обеих постав- Первые два соотношения формально эквивалентны уравнениям изэнтропического случая, а третье относится к движению частиц. Введя параметры а=и(х, у) =сопя! и р=р(х,у) =сонэ! в качестве независимых переменных в дифференциальные уравнения, мы получим (см.
$3 и 4) х = (и+с)8„, 6 63, ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 197 Ь„х = (и+ с) О„т вдоль р = сопз1, (83.06) Ь х=(и — с)О 1 вдоль а = сопз1, где а„или и означает разность между двумя последовательными точкамй пересечения на р=сопз1 илн на а=сопз1 соответственно; и+с или и — с означает среднее между и+с или и — с в двух последовательных точках сетки. Если известны значения х и 1 в двух соседних с внутренней точкой Р точках Р, и Р„то с помощью (83.05) определяются х и 1 в Р (рнс. 73). Теперь остается только определить х и 1 вдоль й. Это осуществляется с помощью разностного соотношения ОХ= и Ь1 На АЯ И РаВЕНСтВа — = и На Ьт. С ИХ ПОМОЩЬЮ И ах Ж ленных здесь задач с относительно небольшой затратой вычислительного труда. При этом применяется следующая процедура: в случае волны разрежения, перегоняющей контактный разрыв, мы рассматриваем в (а, р)-плоскости сетку прямых характеристик а=сопз1 и 1з=сопз1.
Тогда характеристика т'., становится прямой линией а=сопз1, а характеристики в волне становятся прямыми линиями р = сопз1. Линия разрыва АУ отображается в кривую на плоскбсти (а, р), которую надо определить; соответствующие характеристики начерчены на рис. 89. На пересечении каждых двух таких характеристик мы можем определить значения и и с, потому что вдоль а=сопз1 и р = сопз1 имеют место два 2 соотношения: и — с= т — 1 2 = сопз1 и и+ — с= сопз1 1 — 1 (по (83.01)] соответственно. Постоянные определяются по начальному распределению на Ея и по соотношению (83.02) между и и с на Р.
Рассмотрим теперь пер- Ряс. Л8, Волна разрежения перегоняет вые два уравнения (83.01), постоянную ударную волну. ' записанные в виде 198 гл. ш. одноменнои тичвннв Рис. 8И Область в "плоскости (а, 8), представляющая взаимодействие волны разрежения с фронтом разрыва О. Рис. УО. Область в плоскости (а, 8), представляющая взаимодействие волны разрежения и ударной волны.
этого, зная величины х, 1, и, с, т) на Е„надо записать систему (83.04) как систему разностных уравнений: Л„х = (и+ с) Ь„1 вдоль ~ = сопз1, Ь х=(и — ',с)й 1 вдоль а=сонэ(, Ь. (и+ — ) = Ь„п вдоль Р = сопз1, (83.07) 2с» с » — 1)»(» — 1) Ь 'и — — )= Ь т) вдоль а=сопз1, » — 1!»(» — 1) Разностные уравнения (83.07) вместе с начальными значениями х, 1, и, с, т) вдоль Аа и соотношения (83.05) вдоль 5 служат для определения течения во всех точках сетки (рис.
88) и для нахождения Я. В частности, предположим, что Р есть внутренняя точка сетки и что известны значения х, 1, и, с, т) в двух из первого уравнения (83.05) определяется положение т'.т. Этим заканчивается процедура. В случае, когда волна разрежения обгоняет постоянный ударный фронт, метод конечных разностей несколько сложнее. Строится снова такая же сетка на плоскости (а, р), где должна быть определена линия Я.
Теперь, однако, распределение и, с в точках сетки не определяется сразу, как раньше. Вместо а а4. пРОцессы Реакции соседних точках Р, и Р, (рис. 90). Пользуясь первым и третьим уравнениями (83.07) между Р, и Р, вторым и четвертым между Р, и Р и пятым уравнением для трех точек Р„Р, Р„мы определим х, 8, и, с, т) в Р. Если, однако, с) есть точка на 5 и если решение уже определено в соседних точках Яа (на 5) и Я„ то второе и четвертое из разностных уравнений (83.07) берутся между Ят и 1с, а три соотношения (83.05) (запнсанные как разностные соотношения) — вдоль о, между Щ и Я. Этн соотношения достаточны для определения Я [на плоскости (х, с)] так же, как н и, с, и я в ф Для решения разностных уравнений (83.07) вместе с (83.05) можно применять процесс итерации.
Предполагаем сначала, что Ли = 0 в рассматриваемой точке, и находим из первых четырех уравнений (83.07) х, ~, и, с в первом приближении. Тогда пятое уравнение (83.07) определяет новое значение т), которое можно применить для нахождения х, 1, и, с в следующем приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
