Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Мы предположим прежде всего, что частная производная Е по отношению к р и производная энтальпии по т положительны, т. е. что при 1= Е+Р о Ер>0, 1,)0. (85гО! ) (85.02) Второе предположение состоит в том, что считается выполненным равенство АЕ = Не = — РЫ о+ ТЙБ.
(85.03) Е"' (оо, Ро) > Е" (то~ Ро) 100 ('о, Ро) '1' (торро)э Е'з(тп Р1) > Е~ ~(ты Р1) 1'о~ (т, р ) ) 10~ ('о„р ). (85.04) (85.05) Это верно, если энергия химического превращения 8 не зависит от р и т. Предположения (85.02) будут следовать из (85.03), если сделать основные допущения, что и, <О, 8 )О (см. (2.04) и (2.07)] для функции р = д(т, 5). В этом случае из е л' = Т>0 получаем, что е„>0 или Е > 0; далее, 1,=е,+р= — е д, тогда положительно, и потому 1„=о„)0. Дальнейшее требование, выражающее экзотермический характер реакции, состоит в том, что при одинаковых давлении н плотности полная энергия и энтальпия несгоревшего газа всегда больше, чем полная энергия и энтальпия сгоревшего газа.
В частности, мы требуем этого для значений (т„ ро) н (т„р,) несгоревшего и сгоревшего газа как раз до и после горения, т. е. ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ й 86, Различные типы процессов Полезно исключить скорости из трех соотношений (84.0!в 84.03), как это было сделано для ударных волн в $64. Тогда получится соотношение Гюгонио Е " (т1 Рг) Е (то Ро) = — — (тг то) (Р, +Ро) (86.01) которое согласно (85.01) эквивалентно равенству (то РЭ вЂ” т (тм Ро) = — (т1+то) (р~ Ро) (86 02) Предположим, что рассматривается процесс, в котором не меняется удельный объем, так что т, =т .
Тогда из (86.01) следует, что Еп'( „р,) = ""(,, р,). (86.03) Из предположений (85.04) и (85.02) сразу получается неравенство р,)р,. Другими словами, мы имеем процесс детонации, называемой „детонацией при постоянном обаеме". Из соотношения (84.04) видно, что скорость ~ю, ~ фронта такой детонации относительно несгоревшего газа бесконечно велика. Это показывает, что такой процесс должен рассматриваться только как предельный случай детонаций с малым изменением объема, распространяющихся с огромной скоростью.
Рассмотрим, с другой стороны, процесс, в котором давление не меняется, р, =р,. По соотношению (86.02) отсюда получается, что (тн Рг) =т (то Ро). (86.04) Тогда из предположений (85.04) и (85.02) видно, что т, ) т,. Поэтому такой процесс является дефлаграцией, называемой „дефлаграцией при постоянном давлении". Из равенства (84.04) видно, что скорость фронта пламени этой дефлаграции равна нулю по отношению к несгоревшему газу. Поэтому такой процесс должен считаться предельным случаем дефлаграций с малым изменением давления и распространяющимся очень медленно.
При изучении процессов реакции полезно применять функцию Гюгонио для сгоревшего газа (см. $64) Н~'~'(-., Р)=Еп1(т р) — Е1п(то ро)+ (т то)(р+Ро) (8605) 2 Опуская индекс 1 для сгоревшего газа, можно переписать соотношение (86.01) в виде Н"'(, Р) =Еаа(тм Ро) Еп1(то Ро) (8606) 5 аа. РАзличные типы пРОнессов 205 где член, стоящий справа, положителен по предположению (85.04). Пусть заданы удельный объем т, и давление ра несго. ревшего газа, но не задана скорость фронта реакции. Тогда давление и удельный объем сгоревшего газа удовлетворяют равенству (86.06) для всех процессов реакции, совместимых с тремя законами сохранения (84.01 — 84.03). Однако не все значения т и р, удовлетворяющие этому равенству, могут на аа 'го т Рис. 92.
Кривая Гатгонио лля детонации и дефлаграции. самом деле соответствовать процессам реакции, совместимым с (84.01 — 84.03), из-за условия (О (86.01) тг — то вытекающего из (84.04). График тех точек плоскости (т, р), которые удовлетворяют уравнению (86.06) и неравенству (86.07), называется кривой Гюгонио (рис. 92). Замечательно, что этот график состоит из двух отдельных ветвей в согласии с тем фактом, что с законами сохранения совместимы два совершенно различных типа процессов.
Обе ветви соответственно называются „детонационной" и „дефлаграционной", в зависимости от того„какое из неравенств на ней выполняется: т < та илн р <р,. Среди детонаций и дефлаграций мы тоже будем различать несколько типов. Для этого мы дополнительно предположим, что вдоль детонационной ветви кривой Гюгонио давление возрастает до бесконечности. Рассмотрим в плоскости (т, р) прямую линию, проходящую через точку (т„ р,), и точки ее пересечения с кривой Гюгонио.
206 гл. ш. однома ноа тачаниа Если наклон прямой — — большое отрицательное число, то Р Ро Т вЂ” ~е должна быть точка пересечения вблизи точки А, отвечающей детонации при постоянном объеме. Из предположения, что давление неограниченно возрастает вдоль детонационной ветви кривой Гюгонио, следует, что прямая имеет другую точку пересечения с этой ветвью. Мы покажем далее, в $88, что могут существовать только этн две точки пересечения, по крайней мере, если справедливо предположение (%.03). Если мы увеличим наклон (р — рь)Ят — е,), то обе точки пересечения сольются в точку О, потому что если р стремится к р„то, как мы уже показали, пересечение возможно только с дефлаграционной ветвью.
Поэтому на детонационной ветви имеется точка П, разделяющая ее на две части, Другими словамн (это важно отметить для дальнейшего применения), любой луч, проходящий через (ты р,) с наклоном, несколько большим, чем луч, проведенный через 1:1, пересекает кривую Гюгонио в двух точках. Детонации, представляемые точками на нижней части детонацнонной ветви, отвечающей меньшим значениям р, мы будем называть слабыми детонациями, на верхней части— сильными детонациями.
Детонация, отвечающая точке О, разделяющей обе точки пересечения, будет называться детонацией Чэпмена — Жуге. Подобным же образом, если наклон прямой (р — рь)Ят — ть) есть малое отрицательное число, она пересечет дефлаграционную ветвь вблизи точки В, отвечающей дефлаграцин при постоянном давлении. При увеличении этого наклона, в большинстве случаев, возникает, как мы увидим, еще одно пересечение. Дефлаграции, представляемые первым пересечением', будут'называться слабыми, представляемые вторым пересечением — сильными. Слабые и сильные дефлаграции разделяются так называемой дефлаграцией Чэпмена — Жуге, представляемой точкой С.
Для дальнейшего применения мы заметим, что всякий луч, проходящий через (ть, р,) с наклоном, несколько меньшим, чем луч, идущий через (х„р,), пересекает кривую Гюгонио в двух точках. й 87. Процессы Чэпмена — Жуге Процессы Чэпмена — Жуге имеют много особых свойств, которые мы рассмотрим, применяя везде предположение (85.03). По определению точек гэ и С, прямая линия, проходящая через (т„р,) и ).) или С, касается кривой Гюгонио.
Другими словами, реакции Чэпмена — Жуге удовлетворяют соотношению (87.01) а Ее пРОцессы чэпменА — ж7те 207 где дифференцирование происходит вдоль кривой Гюгонио. Из (87.01) и из тождества а«Но~ (т, р) = ТсБ+ — ((т — то) а«р — (р — ро) «7 т), (87.02) которое следует из (86.05) в предположении (85.03), мы получаем равенство «(о =О в 7:1 н С. (87.03) Другими словами, если задано состояние несгоревшего газа, то энтропия сгоревшего газа принимает стационарное значение в процессах Чэпмена — Жуге. Далее, так как аднабатические процессы характеризуются тем, что Ю=О, производная вдоль кривой Гюгонио др~«й совпадает с производной Нр1«(т вдоль адиабат, проходящих через О илн С.
Скорость звука с в сгоревшем газе удовлетворяет равенству р'с'= — „Р, (87.04) где дифференцирование ««р1а«т относится к адиабатической кривой; поэтому то же равенство справедливо для точек А7 и С, где дифференцирование отнесено к кривой Гюгонио. Сопоставляя равенства (87.04), (87.01) и (84.04), мы получаем с= ~о~ в 7:1 или С.
(87.05) Это значит, что в процессах Чэпмена — Жуге скорость сгоревшего газа относительно фронта равна скорости звука в сгоревшем газе или фронт реакции Чэпмена — Жуге движется относительно сгоревшего газа, расположенного позади него, со скоростью звука в сгоревшем газе.
Это есть знаменитое утверждение, высказанное Жуге в 1905 г. Дальнейшее свойство выводится из соотношения (ио ") (8?.06) которое следует из (84.04). Дифференцируя это равенство вдоль кривой Гюгонио и беря т, и р, фиксированными, мы приходим к соотношению «(~о = („р ««(т те) ~Р (р р««) «~ т) (87 07) откуда «1 (и, — (У) = доь = 0 в В и С. (87.08) Из равенства (87.08) следует, что среди всех возможных процессов реакции, начинающихся из заданного состояния (0), гл. ш.
олномвгнов твчвнив только процессы Чэпмена — Жуге дают стационарное значение скорости фронта реакции относительно несгоревшего газа. Это свойство было сформулировано Чэпменом в 1899 г. Более точно можно сформулировать характер стационарных значений энтропии и скорости фронта реакции следующим образом: при детонации Чэпмена —,Жуге скорость 1оь~ и энтропия сгоревшего газа имеют относительный минимум, а для дефлаграций Чэпмена — Жуге скорость ~о,~ и энтропия имеют относительный максимум. Имеет значение то обстоятельство, что при детонации Чэпмена — Жуге, которая, как мы увидим, происходит при обычных обстоятельствах, энтропия имеет минимум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
