Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Дальнейшее описание относится только к этому конечному состоянию. Пусть процесс начинается с двух простых волн, разделяющих зоны постоянного давления и постоянной скорости течения. Тогда лобовое столкновение двух волн разрежения (в случае симметрии это равносильно отражению волны разрежения от 12а ГЛ. НЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ стенки) снова дает в конечном состоянии две волны разрежения: )т )с„- А' тс„. Аналогично результат столкновения волна разрежения с зо- ной большей скорости звука описывается так: гс„Т К„Т К тогда как взаимодействие Й„Т производит волну сжатия, в которой в конце концов образуется ударная волна ~52]. Если ударная волна перегоняет волну разрежения или волна разрежения перегоняет ударную волну, то процесс взаимодействия может продолжаться неопределенно долго.
С такой возможностью мы встретились, рассматривая приближенно взаимодействие слабой ударной волны и простой волны (см. 5 75). Возможно, однако, что взаимодействие произойдет и за конечное время, если сила перегоняющей волны значительно больше, чем сила перегоняемой. При таких обстоятельствах мы придем к следующим результатам: 5 )с — «К ТТБ )г 5 — К ТТК То, что здесь обозначено как отраженная ударная волна, есть на самом деле волна сжатия, которая приводит к ударной волне; надо отметить, что нашим основным допущением при приближенном решении было пренебрежение отраженными волнами.
Надо сделать еще одно поясняющее замечание относительно этого описания взаимодействий и фигур. Зоны ТТ получаются от проникновения ударных волн в волны разрежения (с эффектом взаимного ослабления); линия разрыва изгибается, и частицы, проходящие через разрыв, получают различные изменения энтропии. Одинаковая скорость всех этих частиц является упрощающим предположением, справедливым только в первом приближении. 5 80. Задача Римана. Разрыв в начальных условиях Взаимодействия, включающие две ударные волны, относятся к более общему типу явлений, изученных Риманом в его классическом труде.
В задаче Римана требуется найти движение газа, происходящее нз начального состояния, в котором % ао. 3АдАчА РимАИА. Рлзвыв В нлчАльных услОВиях 181 справа, л>0, газ находится в состоянии (г), определенном постоЯнными и„Р„Рау и, слева, хс..О,— в постоЯнном состоЯ- нин (1): и„р„р„т,. Разница между задачей Римана н разобранными выше задачами заключается в том, что оба состояния в ней рассматриваются независимо, тогда как раньше только пять величин из шести могли быть заданы произвольно, так как тогда оба состояния были связаны ударными соотношениями с предыдущим промежуточным состоянием (которое сошлось в точку х=О при 1=0).
Риман дал следующий ответ: возможны четыре типа последующего течения, поскольку в обоих направлениях от начала Рис. 77. Волновое движение в трубе с внезапно убнрающейся заслонкой. могут пойти ударная волна или центрированная волна разрежения, смотря по неравенствам, которым подчинены начальные условия. Анализ процесса взаимодействия, рассмотренного в следующем разделе, тоже относится к задаче Римана. Нас будет специально интересовать тот случай, когда в начальном состоянии газ покоится, и, = и, = О, и когда р, > р,, р, > р,.
Такие условия осуществляются в установке, служащей для получения постоянных ударных волн в длинных трубах. Пусть газ со стороны х ( 0 находится при более высоком давлении и плотности, чем со стороны х) О, и перегородка, сначала разделявшая обе части трубы, внезапно удаляется в момент с = О. Тогда возникает движение, показанное на рнс.
71 (в окрестности начала), которое описывается ударной волной, распространяющейся в покоящемся газе низкого давления и поднимающей его начальное давление р до значения р *, заключенного между р, и р,. За ударной волной следует столб расширяющегося газа, движущийся с постоянной скоростью и„ вправо. Другой конец этого столба газа движется влево с местной скоростью звука по газу высокого давления, за ним 182 ГЛ. Ш. ОЛНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ следует волна разрежения, обращенная влево, поднимающая давление отр„в до р„где газ остается в покое впереди расширяющейся зоны разрежения.
Схемы такого рода, введенные Пзйманом [621, часто применяются в экспериментальных исследованиях. й 81. Аналитический метод Подобное доказательство утверждений $ 79 дано в 152), тогда как здесь мы разовьем общий метод для случая поли- тропического газа. Он опирается на алгебраическое рассмотрение условий на ударных волнах и волнах разрежения и иллюстрируется графически на (и, р)-плоскости. Рис. 7З. Геометрические места всех состоянии, в ко. торые можно перейти из заданного состояния (а) на ударных волнах 3, и о, обращенных вперед и назад.
Рис. 7л. давление позади и впереди ударного фронта в зависимости от изменения скорости. Индексы а, Ь, и, 1, г, й означают зоны с постоянными значениями р н и, причем буквы 1 н г означают „правую" и „левую" стороны или ббльшие и меньшие значения х соответственно. Вспомним результаты, полученные нами для ударных разрывов. Для всех ударных волн мы имеем и,(и, 1см. (57.01)); далее, для волн, обращенных вперед, р,<р„а для обращенных назад — р„>р, (см. $65).
Если состояние (а) газа с и = и„р = р„т = т, связано ударным переходом с состоянием (Ь) со значениями и„рса т„то по (67.04), (67.05) мы имеем па па ! 0 р)та я аи аналитическим метод Отсюда зак.почаем, что (81.02) ма =", '+ 9 (Ра) где (81.03) н Рвс. 74. 1) Геометрическое место всех возможных состояний (1) по левую сторону от ударного фронта, если задано состояние (г) справа. 2) Геометрвяеское место возможных состояний (г) справа от ударного фронта, если задано.
состояние (1) слева. причем знак плюс берется для ударных фронтов 5, а минус— для фронтов 5 . Монотонная функция ю, (р) имеет следующие простые свойства: '. (Р ) = - ' (Р.) '?„(Р) для р (81.04) (81.05) 'т,(Р)- 0 для р с н кривая о = о,(р) встречает ось ~а, в точке р=ю,(0)= — ~,~ с,, 2 т (1 — 1) (8! .06) где с„есть скорость звука в области (а). Соотношения (81.02) показаны графически на рис. 73; различные ветви кривых отвечают ударным волнам, обращенным в сторону состояния (а) или от него, и определяются из и, < нг На рис.
?4 показаны геометрические места всех состояний, которые могут быть связаны ударными волнами 5 и Я с заданным состоянием (г) справа и с (1) слева. !84 ГЛ. П1. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Подобную же картину можно получить для однопараметрического семейства постоянных течений, которые можно связать с заданным состоянием волной разрежения. Мы видели в разделе 40, что в волне разрежения Й или тс„ 2 2 ь— всегда и — — с=и+ — — )'ттр =сопя!. Но так как прн ! †т †! О и 0 и Рис. 77. !) Геометрическое место всех возможных состояний (г) справа от волны разрежения, если задано состояние (!) слева. 2) Геометрическое место всех возможных состояний слева (!) от волны разрежения, если задано состояние (г) справа. атом состояние меняется только адиабатически, мы имеем 1 Р (Ря ) или ~/ р р — (1 — 1)11 ~/ р Р (т 1)зт Рь )Рь 7 Рис.
7э. Давление позади и впереди простой волны в зависимости от изменения скорости. Рис. 7б. Геометрическое место всех состояний, которые могут быль связаны с состоянием (а) волнами разрежения )т и 77„, обращенными в сторону (а) и в обратную сторону, как показано. а аь аналитический метод 185. Поэтому уГ 1 — ит СЗ т,т ! 1 тт-т!!Зт Н-т)/Зт) !ьз та а ( а Ь так что аналогично соотношению (81.02) будет пь гга ~ '!'а(Рь)~ (81.07) (81.08) где у ! — рч нз тдт г <т-и!зт <т !пттт, (81.09) Ф (Р)=,з 'а Р (Р Ра )' а О О Рас. 78.
1) Геометрическое место б„всех состояний, которых можно достичь из заданного состояния (г) справа от обращенных вперед волн 8 или )г„. 2) Геометрическое место 6т всех состояний, которых можно достичь из заданного состояния (1) слева от обра. щеннык навал вволн 8„ или !с 'т' (Р ) = т' (Р.) ° ат, (Р) — для р — со, (81.10) (81.11) ф,(Р) 0 для Р. а кривая з = 4„(р) касается оси з при 5=4,(0) = — — „~/ тара= —, са.
(81.12) у1 — и — 1 — р знак плюс берется для волн ттт, и знак минус — для волн Я потому что теперь и, меньше, чем иы и позтому р,)рт для волн, обращенных вперед, а Р, <Р, для волн, обращенных на- зад. Монотонная функция 4„(Р) имеет свойства 186 гл.!и. Одноыенное тачание Еак н в случае ударных волн н по тем же причинам, мы представили графически на рис. 76 возможные состояния (Ь), даваемые (81.08), которые могут быть связаны с заданным состоянием (а) волной разрежения, обращенной либо в сторону состояния (а), либо от него.
Рис. 77 показывает геометрические места всех состояний, которые могут быть связаны с заданным состоянием (л) или (г), справа или слева от волны, соответственно волнами разрежения Й и Я, Рис. 80. Лобовое столкновение двух ударных воли, Рис. 7У. Различные зоны в газе до н после столкновения двух ударных волн. 0 и=и„+о,(Р), Р>Р„, 5 и =- и„+ ф„(р), р ( р„й (81.13) ( см.
рис. 78), тогда как все точки, представляющие состояния, связанные с (1) волной, обращенной назад, лежат на кривой 6, ' ' (81.14) И =и, — о,(р), Р > Рр 5, и=и,-- рзз(р), р <рр гс . Теперь можно приступить к решению задачи о взаимодействии. Пусть до взаимодействия мы имели состояния (1) слева и (г) справа, оба связанные со средней зоной (гл) постоянной скорости иа и постоянного давления р, через определенные заданные волны. В тот момент, когда начинается взаимодействие, средняя зона (зн) исчезает, и либо сразу, либо после Отметим теперь, что все состояния, которые могут быть достигнуты из состояния (г) волной, обращенной вперед, представляются на плосцрсти (и, р) кривой сг'„, выражаемой аналитически следующим образом: 5 ак АнллРпическии митод ш7 периода проникновения волна, идущая вперед, движется в зоне состояния (г), а идущая назад — в зоне состояния (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
