Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 32
Текст из файла (страница 32)
волн расширения, сжатия и ударных волн, начинающихся из начального состояния покоя, и контактных разрывов. Во многих случаях, имеющих большой интерес, газ движется вначале в виде разделенных друг от друга элементарных волн. Вскоре после этого волны будут отражаться (см. й 70), встречаться или перегонять одна другую, так что в результате взаимодействия возникнет более общее движение. Такое движение и будет теперь рассматриваться. В отличие от линейного волнового движения в этом случае принцип суперпозиции (изложения) не имеет места. Здесь возникают явления, совершенно отличные от тех, которые наблюдаются прн линейном волновом движении. Как классический пример мы укажем лагранжеву задагу внутренней баллистики, подробно рассмотренную Лявом и Пиддуком [50).
Труба закрыта в фиксированной точке О жесткой стенкой, а с другой стороны закрыта подвижным поршнем заданной массы в переменном положении В. До момента 1 = 0 в трубе— атмосферное давление. При с = 0 взрыв, происходящий в трубе, 174 гл.!и. Одномепнои тичение создает покояп4ийгя газ с постоянной энтропией Я„ плотностью рз и очень высоким давлением р,. Движение поршня ускоряется разностью давлений по обе его стороны; соответ. ственно ускоряется движение газа в трубе позади поршня и тем самым газ разрежается. Это расширение распространяется внутрь трубы, как волна разрежения, которая движется от а з- поршня до точки О, отражается от стенки, встречается с волной, еще идущей от поршня по трубе, и проходит через нее, отражается от поршня В и так далее.
Задача состоит в описании движения газа и поршня. Другая типичная задача внутренней баллистики, включающая взаимодействия, возникает тогда, когда при тех же условиях, что и в предыдущей задаче, вместо поршня имеется перегородка, отделяющая продукты взрыва от атмо- Рис. бу. Волновое движение, произведенное внезапным удалением перегородки между газом при высоком давлении и атмосферным воздухом.
сферного воздуха; эта перегородка внезапно убирается. Начальный разрыв между продуктами взрыва и воздухом расщепляется на две волны: ударную волну, бегущую в покоя- а тз. типичные взаимодействия 115 щийся воздух и сжимающую его, и волну разрежения, идущую назад по продуктам взрыва.
Волна разрежения отражается на закрытом конце. Отраженная волна разрежения догоняет сначала поверхность раздела между воздухом ' и продуктами взрыва, которая уже продвинулась от стенки при расширении газа. Наконец, она догоняет ударный фронт. Рис. 63. Ударная волна, перегоняющая волну разрежения. Рис.
62 Одна ударная волна обгоняет другую. При этом каждый раз возникает сложный процесс взаимодействия, включающий все большее количество отраженных волн. Некоторое указание на ход этого процесса дано на рис. 61. Как уже говорилось, мы удовлетворимся изучением элементарного взаимодействия между двумя волнами, сталки- сз ст Х Рис.
64. Волна разрежения перегоняет ударную волну. Рис. 67. Две волны разрежения, обращенные в одну сторону. вающимися или перегоняющими одна другую, или между волной и разрывом. Мы увидим, что конечным результатом таких взаимодействий являются две волны, движущиеся от места встречи. Сделаем общее указание о задачах, в которых одна волна перегоняет другую. Любые две волны, обращенные в одну и ту же сторону, за исключением двух волн разрежения, в конце 176 ГЛ. ПЬ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЯ концов догоняют друг друга.
Чтобы доказать этот важный факт, мы рассмотрим четыре возможных случая. (Все скорости измеряются по отношению к газу в области (1) между двумя волнами.) 1) Ударный фронт лэ движется позади ударного фронта С,, обрашенного в ту же сторону (рис. 62). Тогда первый фронт Зт движется с дозвуковой скоростью, а второй За— со сверхзвуковой (см. $ 65).
Поэтому Зэ догонит 51. 2) За волной разрежения тт1 движется ударный фронт О (рис. 63). Хвост тт движется со звуковой скоростью сы тогда как ударный фронт со скоростью, большей чем со 3) За ударной волной 5 следует волна разрежения тт' (рис. 64).
Голова волны разрежения имеет скорость звука со а ударная волна — дозвуковую скорость. Поэтому й перегонит 5. 4) Две волны разрежения, обращенные в одну и ту же сторону, никогда не встретятся (рис. 65). Хвост одной волны движется с той же скоростью, что и голова другой. Из того, что две ударные волны или ударная волна и волна разрежения, обращенные в одну сторону, всегда догоняют друг друга, следует, что два ударные фронта нли ударный фронт и центрированная волна разрежения никогда не могут выйти из одной и той же точки в один и тот же момент времени, если онн обращены в одну сторону. й 79. Обзор результатов Удобно описать результаты взаимодействия символическими уравнениями.
Мы обозначим ударный фронт, обращенный в сторону положительной оси х, символом 5 , а в обратную сторону 5 и аналогично волны разрежения тт' или й,, в зависимости от того, движется ли газ в волне направо илн налево'>. Контактные разрывы (см. $ 56), которые часто возникают от взаимодействий, будут обозначаться символом Т. Символы Т и Т будут означать, что скорость звука по правую сторону Т соответственно больше или меньше, чем по левую сторону; для политропических газов с одинаковым значением 7 большая скорость звука отвечает большей плотности.
Символом ТТ мы будем обозначать зону, в которой давление и скорость течения постоянны, но плотность, энтропия и температура меняются от одной траектории частицы к другой. ') Мы еще раз подчеркиваем, что направление, в котором обращена элементарная волна, не имеет ничего общего с тем, куда движея1ся фронт.
Ф тр. ОбзОР РезультАтОВ 177 При лобоволг сиголкноеении двух ударных волн различнон интенсивности возникает следующая картина. После того как две ударные волны проникли друг в друга (и соответственно Рис. бб. Лобовое столкновение лвух ударных волн неолниаковой силы (слева), Лобовое столкновение лвух волн олииаковой силы (справа), ослабили и задержали одна другую), они оставляют позади себя расширяющуюся зону постоянного давления и скорости, в которой плотность, однако, не постоянна, а имеется некая точка, движущаяся со скоростью течения и разделяющая две области Я- различной плотности и температу- птрра ры, причем внутри каждой из ннх эти величины постоянны. Иными словами, возникает контактный )раз)тыв такого типа, как описывался в $56 (этот факт, повидимому, ускользнул от многих, работавших в этой области, к нему привлек общее внимание Нейман 15Ц). Это Р обстоятельство, хорошо подтверж- л денное на опыте, показывает, что У'пс бу.
Овна ударная волна контактные разрывы надо рассма- об"он"е' Крусу«' три вать вместе с ударными волнами и волнами разрежении, находяшимися во взаимодействии. Поэтому эффект столкновения двух ударных волн можно записать символической формулой 55-ЯТЯ Другими словами, лобовое столкновение ударных волн дает две ударные волны, разделенные контактным разрывом 1а Р.
Курып я К. Фряарияя 178 ГЛ. Нп ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 5 для т ~~— 3 Рнс. 68. Взаимодействие ударной волны и контактной поверхности Т (слева). Взаимодействие ударной волны и контзктной поверхности Т (справа). (результат, впервые полученный Нейманом 1О!]). Для'т 3 1длтя идеальных газов такое неравенство не имеет места) может иметь место то же самое, но бывают случаи, когда ударная волна отражается: )х ТБ 5 для ' 3 или Отражение и преломление ударных волн на контактных иоверхностиях (нлн между различными средами) происходят по двум формулам: 5 Т.-+Я,Т5 Б Т вЂ” л1с Т~Я н движущиеся попрежнему в разные стороны. В случае двух волн одинаковой силы или, что то же самое, отражения ударной волны от жесткой стенки, проходящей по линии симметрии, контактный разрыв исчезает, и мы имеем выраженные в явном виде результаты $ 70.
Г!ри обгоне ударных волн в газе с показателем аднабаты 5 т ~ — получается ударная волна, идущая дальше, отраженная (обычно слабая) волна разрежения и контактный разрыв между ними э тз. ОБЗОР РезультАтОВ Это означает, что если ударная волна в одном газе встречает другой газ с большей скоростью звука, то на поверхности разрыва возникают прошедшая и отраженная ударные волны. В случае, когда во второй среде скорость звука меньше, возникают две возможности. Во-первых, если величина с/ (! — р') во второй среде меньше нли если ударная волна достаточно слаба, проходит ударная волна и отражается волна разрежения. Во-вторых, если во второй среде с~'(1 — р') больше н ударная волна достаточно сильна, проходит волна разрежения и отражается ударная волна (см. 5 83).
Пути частиц Рис. 70. Взаинолействие волны разрежения и контактной поверхности Т Рис. б9. Лобовое столкновение лвух волн разрежения. В тех взаимодействиях, в которых не принимают участия волны разрежения, отраженная и прошедшая волны возникают непосредственно после столкновения.
Взаимодействие с волнами разрежения, однако, приводит сначала к периоду проникновения, в течение которого движение не может быть описано с помощью простых волн. Волны, исходящие из зоны проникновения, согласно нашей основной теореме, являются простыми, так как они граничат с постоянным 'течением. Если это проникновение завершается за конечное время, то зона между двумя исходящими простыми волнами тоже находится в постоянном конечном состоянии по сходным причинам (см. основную лемму гл. 11,5 29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
