Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Точнее, мы докажем, что: 1. Увел!анен!ге энтропии в ударном разрыве является величиной третьего порядка малоспги огпносительно разности -., —;, удельных оббемов, или, гто равносильно, разности давлений. П. Пусть рассматриваются ударный и адиабатический переходы из одного и того же начального состояния в состояния с одинаковым удельным объемом. Тогда возраспганпе давления в обоих случаях ризличаеягся ни члены второго порядка малости относилгельно разноспги удельных оббемов -., — -.„. То же справедливо и для увеличения температуры, которая является функцией р и -..
Мы придем к тому же результату, если вместо -., — -„будем измерять силу разрыва разностями р, — р„Т, — Т, или [оа — ю! [. '! Это сделано Бете [47! и Веилем [481. з! Прандтль и Буземаи дали весьма ясную геометрическую интерпретацию соотношений для ударного разрьгва, пользуясь плоскостью (о, р), откуда может быть получено свойсгво 1У для общего сл)чая .кидкости (см. [481). В ОО. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УЛАРНОГО НЕРЕХОЛА Чтобы доказать этн два утверждения, рассмотрим функцию Гюгонио 77( р) в(о р) в(, р )+ (; —; ) (!Г+ро) (65.05) ! См. (64.0!)) и кривую Гюаокно Н (-., р) = 0 с „центром" (-„р,) в плоскости (Г, р).
Она характеризует однопараметрический ряд состояний (о, р), которые могут быть достигнуты в удар- ной волне из (-„р,). Предположим, что эта кривая может быть ПРЕДСтаВЛЕНа В ВИДЕ Р=СГ(О) И ЧтО СГ(Г)-» СО ДЛЯ --»-,„о (см. условия ! и 2 в э 64). Вдоль кривой Гюгонио мы имеем в начальной точке ГГН=О н поэтому из (2.0!) получаем 2Тй$ — (р ро) Г1с+ (' оо) с(р == О, (65 06) следовательно, ТГ!О'=0 или (то| Ро). (65.07) Дифференцируя (65.06) еще раз вдоль кривой Гюгонио н рас- сматривая о как независимую переменную, мы находим 27(тж)+(о —,) Г! р = О, откуда в „центре" Г! ( Т<Б) = Г!ТЮ + ТГ)ВБ = О, следовательно и в (.оро) (65.08) Соотношения (65.07) и (65.08) показывают, что изменения энтропии являются величинами по крайней мере третьего порядка. Дифференцируя еще раз и подставляя р=р„о=о„получаем 2Г(о(ТГБ)+ГЕ~Г7ор=О в (~„р,) нли, согласно соотношениям (65.06 — 65.07), 2 ТсРЯ+ Г! Г Г(ор = 0 в (оо ро).
Так как А > 0 !См. (65.02)], это соотношение дает Г!оЯ>0, если Г!«О в (о„р ). (65.09) Поэтому увеличение энтропии есть величина в точности третьего порядка. Этим доказано утверждение 1. Утверждение П, касающееся давления, доказывается как непосредственное следствие !. Энтропия 5 есть функция -. вдоль кривой Гюгонио; поэтому мы имеем р=а(о)=-й(., З()). !оо ыа гл.ш.олномггнов твчгнив Следовательно, согласно соотношениям (65.07 — 65.08) Сг(во) = К(оо 5о) С! ( 'о) 8-,( "о 5о) ~ С! (т) =К;-. ( во 5о) или, говоря геометрически, кривая Гюгонио р= 6(о) и адиабатическая кривая р = 8'(т,5,) имеют в центре касание второго порядка. Это и доказывает утверждение П.
Из (65.07 — 65.09) следует, что энтропия есть монотонная функция 5(т) вблизи центра. Покажем, что это верно и в большом интервале. Ц1. Вдоль всей кривой Гюгонио энтропия увеличивается нии уменьшении удельного обьема. Чтобы доказать это, мы применим изящное рассуждение Г. Вейля [48). Перепишем условия (65.01 — 65.03), введя в них функцию 5=5(;, р). Из тождества 5=5(о,д(-.,5)) следует„что 5 я =1, поэтому по (65.03) (65.10) Далее, нз 5 + 5 д =- 0 и (65.01) следует, что 5, ) О. (65.11) Условие выпуклости (65.02) д < 0 приводит, кроме того, к неравенству 5 5' — 25 5 5 + 5 5о < 0 (65.! 2) которое можно получить, дифференцируя тождество 5,я'+ -1-5 =-0 еще раз по т.
Для того чтобы доказать теперь монотонность 5 вдоль кривой Гюгонио Н (~, р)=0, достаточно показать, что на ней Ж=Г.О везде, кроме центра (0), (т„ро). Если бы 5 было стационарно вдоль кривой Гюгонио в точке (!), (-ч р,), это значило бы, что в этой точке, где с!5 и о!Н одновременно равны нулю, хорда (Π— 1) должна была бы касаться кривой Гюгонио согласно уравнению (65.06).
Но такое касание невозможно, как показывает следующее рассуждение. На луче Р, проведенном в плоскости (о, р) и представленном в параметрическом виде как Р— Ро+ав. т о+ив~ где а = Р~ — Ро 5 ..= .1 — то, мы имеем г!Р=ас(в и бт=Ыв; следовательно, по (65.06) с!Н= =ТИ5. Таким образом, если мы рассматриваем 5 и Н как О 55. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРТТОГО ПЕРЕХОДА !49 функции в вдоль !х, 5(в) и Н(5) должны быть стационарны одновременно, если одна из них где-либо стационарна.
Луч !с не может совпадать с кривой Гюгонно, потому что при этом возникнет противоречие с условием выпуклости в центре (0). Из того, что Н(в) обращается в нуль в центре (0) и в конце хорды (1), следует, что между (0) и (1) имеется по крайней мере один экстремум. В точке экстремума 5(в) тоже стационарна. Это стационарное значение является максимумом, потому что в этой точке 5, =5Ь+5 а=О или 5 15 = — а,й, и вторая производная 5„с точностью до положительного множителя равна величине 5.5 — 25, 5 5+5 5,', которая отрицательна по (65.12).
Поэтому 5, а значит и Н имеют одну, и только одну, стационарную точку на !с между (0) и (1). Из того что 5 имеет только один максимум между (О) и (1), мы выводим неравенства — >О в (0), (65.13а) (65.13б) -- < 0 в (1). Второе неравенство исключает возможность стационарности 5 в точке (1), потому что, как мы видели, луч тс касался бы кривой Гюгонио в такой точке.
Соотношение т!Н=О в этой точке давало бы — = — 0 в противоречии с (65.136). Итак, тТО (б) ВВ мы доказали, что энтропия возрастает вдоль кривой Гюгонио при уменьшении удельного объема. Так как по условию (54.11) энтропия в ударной волне увеличивается, мы теперь видим, что то же справедливо и для плотности -. ', и согласно (65.01) и (65.03) для давления. Этим доказано утверждение 111. Четвертое утверждение непосредственно следует из(65.13). Так как 5,15 = — и', =- !Р с', ат т/тй = т, — т„др! йв = рт — р, и на основании (65.10) неравенства (65.13) принимают вид (Р1 Ро)+ босо("т то) ) О (р, — р ) +о, с, (-., — т ) < О. ГЛ, НЕ ОЗНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Предположим теперь, что -.,(т,; тогда два последних нера- венства можно объединить следующим образом: йс ( (йс Это доказывает утверждение 1Ъ'.
й 66. Критическая скорость и соотношение Прандтля для политропическнх газов В этом' и следующих параграфах мы будем исследовать ударные переходы в политропических газах. В этом случае термодинамическое условие для ударного перехода становится особенно простым. Энтальпия политропического газа есть л ! ~,г ! о 2це где "— ! ь! !см. (9.06), (14.06)1, поэтому условие (55.02) получает вид П Оо+(1 И )са Ип +(1 Г')с с (66,01) Это соотношение полностью согласуется с законом Бернулли в виде (14.08) (здесь с, есть критическая скорость, см.
9 15). Благодаря алгебраическому виду этого третьего условия, все соотношення между различными величинами по обе стороны ударного фронта и скоростью У имеют чисто алгебраический вид. Соотношения между относительными скоростями э„о, по обе стороны ударного фронта можно написать в очень изящной и удобной для пользования форме, предложенной Прандтлем, а именно Т О,О, =-С (66.02) Это основное соотношение содержит только скорости и не связано явно с такими термодипамическими величинами, как давление или плотность. Согласно (59.02) и (54.08) это соотношение равносильно следующему: (65.14) ь*с гдяяиыг соотношсиия лля политяопичгских гшов ]Ш с!тобы доказать соотношение Прандтля, мы можем, например, исходя из (5409), (66.01) и тр= — рс' !см.
(3.06)), написать следующие равенства: и Р -и р, = в о Р, + (1+ р ) р, = с г Р+Р =.~'о'Р +(1+ ! Я)Р =-с'Р,, Вычя нижнее равенство из верхнего, получим Р~ Рь= с,. (Р~,"ь) пли г Р1 — Ре Рг Рь Теперь равенство (66.02) сразу получается из (59.03). Соотношение Прандтля, очевидно, равносильно формуле перехода с„е,с,~п (66.03) если о1Ф 0 и ос+ О. Соотношение Прандтля показывает, между прочим, что в пределе., когда сала разрыва стремсгтся к нулю, ударный фронт переходит в звуковую волну.
Ибо, если оь= он то из (66.02) следует, что обе скорости о, и о, имеют одинаковое значение с,,; а так как тогда с = с„ слабыи разрыв движется приблизительно со скоростью звука. Этот факт согласуется, конечно, с тем, что разрывы не в величинах и и р, но в их производных распространяются вдоль характеристик. Из соотношения Прандтля непосредственно следует, что скорость газа относительно ударного фронта — сверхзвуковая впереди фронта а дозвуковая позади него, в согласии с общими результатами й 65. Из формулы (66.02) следует, что из )о„') !о,! получим ! о, ! < с„и '( о„! ) сь, и тогда наше утверждение будет вытекать из основного свойства критической скорости сь., которое в настоящем случае может быть выведено из (66.01), если написать это равенство в виде (! -р )(о — с )=о — с, (! — и )(о,— с,~=о — с и 67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
