Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Величина Р, определенная по (54.09в), иногда называется полным попгоком импульса. Сохранение энергии: Р, ~ — и, +е, ~ о,— Р, ~ — и,-+е,1оо — р,и„— р,и, (54.10а) или сп г — и,+ е, ~+ и,р, =- сп ~ — и, + е,~+ и,р, . (54.106) По (54.07 — 54.09) это соотношение эквивалентно следующему: пс1 — о +е,-.,— ро~о1=-пс~ — о,+е, -';р,гг~. (54.10в) (54.1!а) то, =' гп5,. (54,116) Все эти соотношения справедливы как для ударных волн, так и для контактных поверхностей. Эти два типа поверхностей й Р. Ксрааа а К. аьрцдаааа и — есть поток массы через поверхность.
Сохранение импульса: (Рг иг) ог (Ро ио) оо -' Ро Рг' Возрастание энтропии: Рг Ог'Ог — Ро Оооо ~ 0 нли по (54.08) (54.096) (54.09в) Гл. )н. ОднОмеРнОе течение )зо разрыва различаются тем, что газ течет через фронлг ударной волны, т ~ О, но не течет через контакпгную поверхность, т=О. Мы рассмотрим ударные разрывы в Ч 55 и отложим рассмотрение контактных поверхностей до 4 56. и 55. Ударные волны Для ударных волн (т Ф 0) соотношение (54. 10в) приводится к виду где гг есть предельная скорость, введенная в 4 14 и 15. Вспоминая определение энтальпии г =.е+рт из й 9, мы запишем (55.01) в виде г (55.02) ПРименЯЯ это соотношение, чтобы исключить т), и ог из (55.02), мы находим (рг — ре) .
== Гг 'о (55.04) Итак, мы видим, что третье условие длн ударной волны гглгеет в точности такую же форму, как и закон Бернулли, но отличается от тех трех форм, которые были рассмотрены в $ 14, тем, что функция, представляющая энтальпию г' в ее зависимости от О, теперь прерывна на фронте, потому что значения г, и г„отвечают различным значениям энтропии 5) и 5„ как мы далее увидим. Другими словами, изменение энтальпни гн г',— г„на разрыве не равно дг —, а равно г вр ~ ('"+ тджх)~. )0) В каждое из трех условий на разрыве (54 .08 -54. ! 0) входят только относительные скорости о =- и — с,г, а не скорости и н У отдельно.
Поэтому ясно, ч то условия на разрыве и н вариантны относительно переноса с постоянной скоростью, в согласии с принципом относительности Галилея . Из уравнений (54.09б) и (54.08б) мы получаем (та+ г)(рг Ро) — 'пг( о+ г)(оо ог)=оо т)г'. (55.03) 6 ы. контАктныв РАЭРыВы 1З1 илн, так как г- -е-~-р-, (55.05) Второе из этих важных соотношений может быть истолковано в том смысле, что возрастание внутренней энергии во фронте ударной волны равно работе, производимой средним давлением во время сжатия.
Первое соотношение показывает, что приращение энтальпии равно работе, производимой разностью давлений над средним объемом. Равенства (55.04) и (55.05) особенно замечательны тем, что в них входят только термодинамические величины. Они были впервые введены Гюгонио, поэтому (55.05) называют соотношенгиая Гюгонио.
ф 56. Контактные разрывы Условия на разрыве (54.08 — 54.10) допускают „тривиальное", или вырожденное, решение, Если поток через поверхность разрыва равен нулю, т. е. газ через нее не проходит, то мы имеем з,=ю,=О; тогда и и,=и,=О, и из (54.09) мы заключаем, что р,=р„в то время как (54.10а) удовлетворено автоматически.
Но (55.01) больше не может быть выведено из (54.10в). Такая поверхность разрыва называется контпктногг поверхностью. Контактная поверхность движется вместе с газом и разделяет две области с различной плотностью (и температурой); но давление и скорость течения по обе стороны от нее одинаковы. Контактный разрыв может разделять не только две части одного газа, но и два различных газа. Очевидно, что в действительности такая контактная поверхность не может поддерживаться неопределенно долгое время; теплопроводность между двумя постоянно соприкасающимися частицами по обе стороны разрыва скоро сделает идеализированное представление весьма далеким от действительности. В то время как частицы, пересекающие ударный фронт, участвуют в процессе теплопроводности только в 'течение очень короткого времени, те, которые соприкасаются по обе стороны от контактной поверхности, непрерывно подвергаются действию теплопроводности.
Поэтому ясно, что контактный слой будет постепенно расплываться. В одномерном теченви скорость потока непрерывна на контактной поверхности. Но в течениях с ббльшим числом измерений, как мы покажем в гл. 1Ч (з !18), касательная составляющая скорости может иметь на контактной поверх- Гл. ш. ОднОмеРнОе течение гзг ности разрыв, тогда как нормальная составляющая всегда равна нулю, как и в рассматриваемом случае. й 57.
Описание ударных воли Мы напомним следующие определения, данные в з 52, Та сторона фронта ударной волны, через которую газ втекает в нее, называется стороной фронпга, нли передней стороной. Другая сторона называется задней стороной. Инымн словами, частицы проходят через фронт от передней стороны к задней. ауаоа «астана аг Пуна оссаным ае Удсраыа аралы У х=щт , ае са. — о и -' дт о а а*о '. С "* ао -С П о Х с Зсдн ат С. „—,ои, С. Зад ,Ъ' Франса оа Рагс. 48. Ударный фронт, прпаонягннй в область покоя.
Рис. 47. Ударный фрон~. Это определение не зависит от выбора координатной системы. Обычно мы будем обозначать переднюю сторону индексом (,), а заднюю — индексом (,). Мы будем говорить, что ударная волна обращена стороной фронта или направлена в сторону фронта. Следует ясно себе представить, что направление, в котором движется фронт волны, определяемое знаком с/, не имеет ничего общего с той стороной, к которой волна обращена, т. е.
определение передней и задней сторон зависит только от относительной скорости о. Движется ли фронт вперед, покоится или движется назад, — это зависит от абсолютноп скорости. Давление, плотность, температура и энтропия, как мы увидим в $65 и 67, всегда больше позади фронта волны, чем впереди него, н степень их возрастания может быть разлнчнымн способами использована для измерения интенсивности разрыва (см. $ 71). ь ат, ОГ!ИОАние удАРных ВОлн 1зз В й б5 и б7 мы увидим, далее, что скорость газа относительно ударного фронта ~и — су1 всегда меньше позади фронта, чем впереди него.
Отсюда следует, что скорость по левую сторону от фронта всегда больше, чем по правую сторону от него, независимо от того, какая из них передняя и какая задняя: (57.01) но~поп ~ Н пропп ИЛН ипоооп ) Оопрпоп ' Рассмотрим теперь три различные интерпретации ударного фронта, которые согласно принципу относительности Галилея равносильны друг другу, иц о урорпьт фрипп оо: Пути ооипич оо и оопт,'р. ис ,<о о г рпр яп и "' — ""'Ф ,иоО тоа пя оторопи и, ио Фронт оя Рис.
ВО. Стационарный ударный фронт. и.=о Рис. 49. Отступающий ударный фронт. Предположим, во-первых, что скорость и, со стороны фронта равна нулю. Тогда ударная волна движется в сторону зоны (0), нопгорая покоится, со скоростью К если смотреть со стороны фронта, и является сверхзвуковой, как зто будет показано, тогда как скорость (7 — и,= — о, ударного фронта, рассматриваемая со стороны зоны высокого давления или с задней стороны, дозвуковая. Ударный фронт быстро движется в зону покоя, захватывая все больше и больше газа, который, будучи захвачен, движется медленнее ударного фронта. В то же самое время его давление и плотность внезапно увеличиваются.
Мы уже объясняли, что такая ударная волна возникает от поршня, вдвигаемого в покоящийся газ. Во-вторых, пусть скорость с задней стороны равна нулю, и,=0. Тогда мохсно считать, что ударный фронт движется понятно со скоростью (/, оставляя позади покоящуюся зону высокого давления. Такие отпступатощие ударные волны встречаются при отражении ударных волн от стенки (см.
ф 70). гл. нь однома нов тачанна Предположим, наконец, что скорость разрыва равна нулю, другими словами, что фронт стационарен. (Каждый ударный фронт стационарен, если рассматривать его в координатной системе, движущейся с мгновенной скоростью фронта (7.) Такой стационарный ударный фронт описывается просто фиксированной точкой х = 1 в трубе, в которой газ течет со сверхзвуковой скоростью и позади которой он замедляется до дозвуковой скорости, в то время как его давление н плотность возрастают. Условия на разрыве для стационарных разрывов (с7= О) могут быть найдены непосредственно, если положить ог = иг в (54.08 — 54.10): (57.02) (57.03) во ио = р~ и, =-- иц 2 2 ови +р,=р,и +р,=Р, ! 2 ! ! 2, .
! — и+) =.— и+с= — 7г .+ в=--.. (57.04) й 58. Модели ударного движения Дг!я пояснения трех различных способов интерпретации ударных волн воспользуемся аналогией с движением тел, например таким, как движение автомобилей по дороге. Там может возникнуть ударная волна. Предположим, что имеется установившееся движение транспорта с большой скоростью. В таком потоке есть своя „скорость звука", т. е. скорость, с которой распространяются малые нарушения правильности движения. Если скорость движущихся автомобилей превосходит эту скорость звука,то ударная волна возникнет при внезапном уменьшении скорости, например, если один из водителей увидит сигнал замедления.
Водитель следующей за ним машины внезапно увидит, что скорость передней машины уменьшилась. Он не может послать предостерегающий сигнал едущему сзади него водителю раньше, чем он сам не понизит скорость. Возникающая ударная волна обращена назад. Очевидно, что произойдет увеличение плотности; увеличение давления можно представить себе, если условно считать, что машины в этой модели соединены связями или буферами с нелинейным законом отталкивания. Увеличение температуры, быть может, представляется такой моделью, если интерпретировать энергию малых „возмущении" как тепло.
Сильная волна, движущаяся назад, может рассматриваться как крайний случай. Предположим, например, что движется длинный поток равноудаленных автомобилей, имеющих „сверхзвуковую" скорость и встречающих неожиданное препятствие, БО. ОБСУЖДЕНИЕ Л1ЕХЛННЧЕСКИХ УСЛОВИИ НЛ РЛЗРЫВЕ !за которое полностью останавливает первую машину.
Вторая машина налетит на первую и тоже остановится; третья будет внезапно остановлена второй и так далее. Очевидно, что точка, разделяющая остановленные автомобили от движущихся, и представляет отступающую ударную волну. Ударный фронт, движущийся вперед и проникающий в зону покоя, можно представить себе по аналогии с тем, что получится, если колонна движущихся автомобилей будет налетать на ряд автомобилей, стоящих далеко друг от друга, и приводить их этим в движение.
Модели одномерного волнового движения, основанные на аналогии с индивидуальными частицами, связанными нелинейным законом отталкивания, не только наглядны, но могут быть иногда использованы как приближения к действительному положению вещей и положены в основу численных расчетов (см. 1581) в тех случаях, когда надо рассматривать только первые два условия на разрыве (см. $ 61). й 59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
