Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следовательно, такой экстремум Г имеет место вуглу пв ГЛ. Нь ОЛНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ огибающей, н условие возникновения угла есть . — =О. (49.03) Полезно рассмотреть образование огибающей более детально. Предположим, что угол возникает при 1=0, х=О со значевг нием ш = шо. Так как при х = г = 0 производная — = 0 Вш Во~ и — = О, то мы имеем разложение вида с (о!) = й(ш — о!)о+... о' шо Условие того, что имеет место волна сжатия нли что огибающая образуетсн при 1> О, выражается в том, что к > О.
Удобно сначала описывать простую волну и огибающую в плоскости (оз,— ш, 1). В втой плоскости С+-характеристики суть прямые линии ш,— ш =сопз1, и согласно (49.02) огибающая может быть представлена в виде Г = 8 (оэ) = — — == 3 й (<оо — со)'+... (49.04) Вш Две ветви огибающей в плоскости (х, 1), отвечающие неравенствам ш,— ш>0 и ш,— ш (О, являются в то же время краями складки в отображении плоскости (шо — ш, 1) на плоскость (х, 1) (см. $30). Это становится очевидным, если рассмотреть изображение линии 1=1!=сопзй Из того что ах!с!(шо — ш) = — 1! — —, Мы видим, что х увеличивается, о'о Вш когда увеличивается шо — о!, пока шо — !о не достигнет отрицало тельного значения шо — ш= во — ш,, при котором — — = 1!; потом х уменьшается, пока ш,— ш не достигнет положительие ного значения ш,— ш=ш,— ш,, где — =1!; затем х снова Вш увеличивается.
Отсюда ясно, что область угла между двумя ветвями огибающей, т. е. изображение области с > 1 (ш), трижды покрыто в плоскости (х, г). Рассмотрим теперь частный случай образования огибающей в волне сжатия, произведенной поршнем, диня<ение которого задано уравнением Хш Х(с). (49.05) Мы покажем, что огибающая всегда образуется, если простая волна вызвана движением поршня слева с положительным ускорением и что в области волны огибающая всегда имеет угловую точку, если ускоренная фаза движения поршня начинается с нулевою ускорения. Без ограничении общности ь ы, положение ОГНБА!ошей и ее УГОЛ В ВОлне сжатии И9 х=-ХР)+ (р)(й — р).
(49.06) Здесь г, = — Х(р) — рю(р) [см. (49.0!)). Представление огибающей (49.02) имеет вид т.= ~+ — '-,, Х =ХО)+шД) . ') (49.07) ш® шит) "~о % Рис. ел Область угла в простой волне сжатия, трижды покрытая прямыми карактеристиками. Рис. 42 Изооражение промежуточного слоя, отвечающего угловой области простой волны сжатия в плоскости (ш, Г).
Ясно, что скорость поршня есть Х(р)=и(р). Так как ш= и+с=с+( — Се есть заданная функция 7= и+7„то ю (р) тоже определено (см. (40.05а)). Используя — =),) 0 (49.08) йа (см. (40.05а)1, мы имеем "=) (р) Х(р). Тогда мы получаем для огибающей нз уравнений (49.07) й=й (~)=Р+ " =~+ " . (4909) А йз) Х (б) л (а) х (а) положим, что Х(0) =Х(0)=0, Х(р) > 0 для ~)) 0 и и=О, с = с на хаРактеРистике х = сег. ДлЯ РезУльтиРУюЩей пРостой волны мы можем взять в качестве параметра )т тот момент, когда С -характеристика, проходящая через точку (х, г), началась на поршне.
Тогда простая волна опишется соотношением (42.08) 120 гл. пс одиомщ нов тнчснин Но с(р) и 1,(р) положительны и Х(р) > 0 для р > 0 по предположению. Поэтому 4 (р) >'р для 1З > О. Далее, (р) = ю (р) ( г (р) р )+Х(р) > Х(р). Поэтому огибающая образуется в области течения. Из формулы (49.09) следует, что если Х (0) = О, то с~(0) = оо . Если Х (1) > 0 для всех с > О, то г~ (р) неограниченно возрастает, когда р- оо . Если Х(г) = 0 для времени г=-гт>0, то 4 (3)-~ со, когда р- ты В любом случае 4 (р) ж Рис. 43. Огибающая с углом, образованная прямыми характеристиками волны сжатия, произведенной ускоряющимся поршнем.
Рис. 44. Невозможное положение, когда прямая характеристика, выходящая из одной точки пути поршня, пересекает его еще раз в другой точке. сперва уменьшается и потом возрастает. Следовательно, 4~(р) имеет минимум г, для некоторого значения 1т, и поэтому огибающая имеет угол при г=г,. Для замедляемого поршня положение иное, Х(р) . 0; не существует точек огибающей в области х > Х(р), отвечающей внутренней области (х, г) по отношению к течению. Могут возникнуть сомнения относительно нашего утверждения, что С.
-характеристики всегда образуют огибающую, если поршень ускоряется в прямом и замедляется в обратном движении в течение какого-то промежутка времени. Ибо, глядя на рис. 99, можно подумать, что огибающая может образоваться вне области течения или, другими словами, что поршень сам срежет на своем пути огибающую. Простой анализ показывает, что это не так. ч м.
РЛАРггдя ВОлнА кьк неОБРАтг!мыег иРОннсс Предположим, что характеристика, выходящая из точки А пути поршня, пересекается с ним в другой точке А', тогда характеристика, выходящая из точки вблизи А' на дуге АА' пути поршня, пересечет характеристику АА'. Поэтому огибающая характеристик входит в сегмент между дугой АА' пути поршня и отрезком АА' характеристики.
Всгада, коада начальное ускорение поршня гголожилгельно, огибающая начинается в точке г = 1„х = с 1, прямой характеристики СР, выходящей из начала. При гА=О мы имеем из (49,09) В этом случае часть характе. ристики х = с 1 за точкой 1 = 1, можно считать второй ветвью огибающей, так что снова образуется угол. Это иллюстрируется на рис.
45. Огибающие могут иметь весьма разнообразные формы, отвечающие различному дви- е жению поРшна. НапРимеР, р ч~ О можно двигать поршень таким тергштнн волны егндтнн, нронзнеобразом, что характеристики денной равномерно геггорннггнггмсн сходятся в точку. Но так как поршнем. тонкие геометрические свойства огибающей зависят от поведения второй и высших проьгзводных функцип Х(1), можно ожидать, что действительнгяй вид течения не будет существенно меняться от различных геометрических усложнений огибающей.
В. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ й 50. Ударная волна как необратимый процесс Как мы видели, начальные разрывы иногда сглаживаются, как в случае центрированной волны разрежения, в то время как другие движения, начинающиеся как совершенно гладкие волны, не могут поддерживаться без разрыва. Действительно, любое ускорение в прямом нли замедление в обратном движении поршня, как бы оно ни было мало, непременно приводит к разрыву скорости, давления, плотности, удельной энтропии.
и температуры. Гл. Ия Олномегноя тячяние Следовательно, для математического описания движения, произведенного движущимся вперед поршнем, и для многих других движений мы должны отказаться от сделанных ранее физических предположений илн, вернее, дополнить их (на что мы указывали в 5 48). Одна возможность видна непосредственно. Мы можем пытаться получить необходимое обобщение прямо из диффе.ренциальных уравнений движения. В $ 24 гл. П мы видели, что эти дифференциальные уравнения допускают разрывы первой и высших производных и и р по характеристикам в пло.скости (х, г). Эти „звуковые разрывы" *) являются естественным обобщением дифференциальных уравнений; они могут, например, возникнуть в задаче о начальных значениях при переходе к пределу от начальных значений с непрерывными производными к начальным значениям с местным скачком производной.
В случае линейных дифференциальнь1х уравнений тот же тип предельного перехода приводит к „звуковому распространению" разрывов даже самих искомых функций (см. ~32], стр. 425). Но для нелинейных дифференциальных уравнений нельзя вывести такого звукового распространения разрывов р и и путем предельного перехода от непрерывного решения. Следовательно, для того чтобы прийти к правильной теории, мы должны отказаться от описания физической картины явления с помощью наших слишком упрощенных первоначальных предположений и, принимая во внимание физические факты, которымн мы при составленин исходных дифференциальных уравнений пренебрегли, получить более тесное приближение к действительности. Мы предполагали до снх пор, что силы, действующие в газе, обусловлены только изменениями давления р =р (р, 5), а не трением, и что энтропия частицы остается неизменной.
Эти предположения оправдываются только тогда, когда градиенты температуры и скорости малы. В противном случае математическое описание физического поведения системы должно учитыватьиеобратимыетермодинамические процессы, вызываемые трением и теплопроводностью, которые присутствуют всегда, если скорость и температура непостоянны. Такая теория была бы связана с почти непреодолимыми математическими усложнениями, если бы не одно счастливое обстоятельство: действительные явления всегда таковы, что необратимые процессы в газах происходят только в узких зонах, где градиенты ско.рости и температуры очень велики, в то время как вне этих переходных зон течение подчиняется установленным выше ':5 Изи по обычной терминологии, слабые разрывы".
(Прим. перев.) 5 50. УДАРНАЯ ВОЛНА КАК НЕОВРАТНМЫН ПРОЦЕСС 123 законам обратимых адиабатических процессов, т. е. известным нам дифференциальным уравнениям. Поэтому эмпирические факты подсказывают дальнейшую математическую идеализацию, которая н будет основой нашего анализа. Необратимые процессы будут описываться резкими разрывами, происходящими на определенных поверхностях в жидкости. Такие разрывы с бесконечными градиентами некоторых величин заменяют в математической идеализации узкие зоны с заметной необратимостью. В действительности на таких поверхностях происходят очень большие скачки скорости и температуры, поэтому предположение о разрывностн, хотя и является идеализацией, гораздо лучше согласуется с фактами, чем можно было бы ожидать. Конечно, мы требуем, чтобы три закона сохранения — энергии, массы и импульса — выполнялись н в этих необратимых процессах.
Вие разрыва единственной действующей силой является, по нашим предположениям, градиент давления, и единственный выигрыш или потеря в энергии происходит за счет работы этих сил давления. Поэтому в областях непрерывного течения справедливы наши основные уравнения. Как мы помним нз 5 8, постоянство удельной энтропии для каждой частицы газа, т. е. обратимость, следует для непрерывных процессов из закона сохранения энергии. Для разрывных процессов, подчиненных тем же законам сохранения, это уже не имеет места. Термодинамическое условие, выражающее необратимый характер процесса, состоит в том, что энтропия не должна уменьшаться в разрывном процессе, и это условие, налагаемое на энтропию, должно быть добавлено к законам сохранения.
Хотя это, конечно, и не очевидно, но можно с уверенностью считать, что течение с такой разрывностью полностью определяется тремя законами сохранения н условием для энтропии. Исходные дифференциальные уравнения, справедливые в области непрерывного течения, вместе с условиями, выражающими законы сохранения, и с условием для энтропии на поверхности разрыва достаточны для определения течения без подробного описания необратимого процесса на разрыве. Чтобы разъяснить положение, мы рассмотрим в 5 63 зависимость необратимых процессов от вязкости н теплопроводности, принимая во внимание конечную протяженность зон разрыва. Однако в ближайших параграфах мы будем строго следовать нашим мотивированным выше математическим предположениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
