Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При этом мы не будем предполагать течение изэнтропическим. Тогда оно характеризуется тремя дифференциальными уравнениями: р, + и р„+ р и„= О, 92 гл. ш. однома ноа тачаннв подсказывает, что надо ввести три направления в плоскости (х, 1), которые мы обозначим через (+), ( — ), (О), 1+. Их = (и+ с) ~й, 1: ах = (и — с) И, 1,: г(х = иШ.
(34.07) Отнесенные к этим трем направлениям три уравнения соответственно примут вид П+ . 'г(р = — р сйи, П: д р = рс с(и, (34.08) По. .а75 = О. Так как уравнения (34.07 — 34.08) содержат производные только по соответствующим направлениям, то этн направления суть характеристические (в смысле гл. П, $22) и уравнения П являются характеристическими. Третье характеристическое направление отвечает скорости частицы. При изэнтропическом течении, когда заранее делается предположение, что 5= сонэ!, характеристические уравнения приводятся к выведенным выше 1иП.
В следующем разделе мы покажем, что характеристики С в плоскости (х, 1) представляют пути звуиовьгх воли. Скорость волн, идущих вперед и назад и соответствующих характеристикам С+ и С, равна по (34.02) Нх — =и+с и — = и — с. Их (34.09) «г вь й 35. Область зависимости. Область распространения Характеристические направления, помимо их значения для аналитического и численного интегрирования дифференциальных уравнений, играют решающую роль прн рассмотрении зависимости решения от исходных данных. Ограничимся сначала случаем изэнтропического течения. Пусть в момент времени 1 = 0 заданы значения и и р (илн р) как функции х н предположим, что при 1>0 существует решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.
Рассмотрим какую- нибудь точку Р в плоскости (х, 1) и проведем через Р две характеристики С+, С до пересечения с осью х в двух точках Р+ и Р (рис. 18). Мы напоминаем, что характеристики С+, С представляют решения дифференциальных уравнений 7+ и 7 соответственно, применительно к решению и(х, 1), р(х, 8) задачи о течении. Тогда область Р+Р на оси х есть область зависимости точки Р (см. $24). Это значит, что если существует второе решение задачи о течении (с не- 5 За. ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ. ОБЛАСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 93 прерывными производными и и р по отношению к х и т), определенное по крайней мере в треугольной области РР+Р и имеющее те же начальные значения на отрезке Р Р, что н первое решение, то это рещение тождественно с первым в области РР„Р, В этом смысле любое возмущение начальных значений вне отрезка Р+Р не влияет на значение в Р.
Возмущение вне отрезка Р+Р в начальных значениях отнюдь не считается бесконечно малым"; единственное ограничение, которое здесь р ~р~г~ Х Рис, го. Область зависимости Р Р точки Р Рис. РД Область расяространеикя отрезка Р(')Р(2) накладывается, состоит в том, что в РР+Р должно существовать решение с непрерывными производными, удовлетворяющее возмущенным начальным условиям. (Мы увидим далее, в ф 48, что возможны возмущения, нарушающие условия непрерывности.) Это обстоятельство можно истолковать еще и так. Пусть начальные данные видоизменены на участке Р(') Р+(') оси х.
Тогда две характеристики С() и С+), выходящие о) (2) из точек Р(" и Р(') соответственно, заключают область, вне которой решение не видоизменяется (рис. 19). Эта область была названа областью распространения отрезка Р'))Р'2' (см. $24). То, что решение действительно меняется между границами С')' и С(„' этой области, не следует нз общей теории, но оно может быть доказано для рассматриваемых здесь уравнений. Кривые С и С+ представляют движение „головы" (() о) „волны возмущения". Скорость этого движения для С+ равна и+с и для С равна и — с; относительно газа в данной точке она равна т с. Следовательно, „голова" „волны возмущения" движется со скоростью звука относительно газа, чем подтверждается название скорость звука для с.
Поэтому мы и назвали С-характеристику путем „звуковой волны". ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ аае ен ва е заеме о валеная, оа о вели нн тоевнно- аданн нм !'вс. 20. Пространственно-подобные и временно-подобные дуги. Рне. 21. две временно- подобные дуги. характеристические направления с д1) 0 лежат по одну сторону от него; направление (дх, д1) называется временно- подобным„ если оно разделяет характеристические направления с Н> О. Пространственно-подобное направление отвечает !дх сверхзвуковой скорости движения относительно газа ~ — — и~)с, временно-подобное- дозвуковой скорости — — и~ ( с.
Пусть в11 заданы непрерывно дифференцируемые значения на кривой в плоскости (х, т) так, что эта кривая является пространственно- подобной (заметим, что последнее свойство связано с этими данными). Тогда, согласно теории, рэзвнтой в Э 24 и 35, в окрестности кривой существует единственное решение, и область зависимости каждой точки вырезается из начальной кривой двумя характеристиками, проходнщнмн через эту точку. Рассмотрим теперь две дуги А н В (рис. 20), заданные двумя функциями х(в), 1(в) с непрерывными производными, так что г х,+ ~, ~0.
Этими кривыми, исходящими из точки О, вырезается область угла й. Пусть исходные данные на Л пред- й 36. Более общие начальные данные В некоторых случаях (см., например, раздел Д этой главы) встречаются задачи, в которых заданные значения находятся не на оси х, 1==0. В настоящем параграфе мы рассмотрим эти задачи, хотя большая часть главы не связана с ними. Прежде чем характеризовать такие задачи с единственным решением, мы должны ввести понятия пространственно-подобных и временно-подобных направлений (называемых еще пространственными и временными).
Направление (дх, д1) называется пространственно-подобным, если оба 5 аа. БОлеВ Овптие начальные дивные писаны следующим образом: на ней известны две величины (и и р) такие, что А является пространственно-подобной и обе направления характеристик с сй) О указывают внутрь угла Й. Далее, направление В временно-подобно в точке О и на ней задана только одна величина, и или'р, причем все исходные данные непрерывно дифференцируемы.
В точке О заданная иа С С ниии 6нпи, нм инемди6ная, чини~ Рис. 22. Пространственно-подобная дуга с тремя начальными данными для ееиээитропического течения. В величина непрерывно переходит в заданную на А. вТогда в окрестности А существует единственное решение (см.
ф 24). Задание таких исходных значений имеет место, например, при определении течения газа, первоначально покоившегося, 1 ян Нре С паде две чин Нреи падве две ве чины ! С Рис. 23. Времеипо-подобная ддга с двумя начальными дапиыми для иеиээнтройического течения. когда в него вдвигается поршень, имевший начальную скорость, равную нулю. На пути поршня в плоскости (х, 6) величина и считается равной скорости поршня, поэтому ясно, что путь поршня везде временно-подобен.
Пусть, наконец, на двух дугах, исходящих из точки О, задано по одной величине; пусть, например,.на А дано и, а на В дано р. Пусть значения и и р в точке О такие, что обе дуги временно-подобны в ней; тогда согласно $24 в угловор области в окрестности О снова существует единственное решение. гл. Ис. Одномеиное течение И в случае нензэнтропнческого потока, когда через каждусо точку Р проходят три характеристики С„С, С „число начальных данных, которые можно предписать на дугах А или В, зависит от числа характеристик, проведенных через точку Р вблизи дуги в направлении убывающего с и пересекающих дугу.
Рис. 22, 23, 24 нлчюстрируют различные возможные при этом случаи. Рнс. 24. Временно-подобная дуга с одним начальным условием для неизвнтропического течения. Вообще говоря, число необходимых данных и определенность решения без труда выявляются при численном интегрировании по методу конечных разностей. й 37. Инварианты Римана Если принять, что течение изэнтропическое, то можно проинтегрировать уравнения 11 (34.02) для и и р в следующем виде: и+1(р) = 2 г (р), сс — 1(р) = — 2 я (а), (37.01) где г(р) и я(о) надо рассматривать как произвольные функции м и р и где величина 1(р) дается равенством (37.02) здесь р' или р' — произвольные постоянные. Для газов всегда можно положить 1=0 для р=О, поэтому 1>0 при р > О.
Величины г и я, введенные Ирншоу и Риманом, часто называются инвариантами Римини. Уравнения (37.01) выражают тот факт, что изображения Г и Г характеристик С+ и С в плоскости (и, р) являются 5 зт. инВАРиАнты РимАИА двумя семействами кривых, не зависящими от рассматриваемого решения. Это согласуется с тем, что уравнения приво- димы (см.
5 21). т-! Для политропических газов с = у'А 1р 2 1см. (3.06)], и, таким образом, (т — !) 1(о) = -- )/А .! о (37.03) (считая р' = О) или 2 1= — — с. т — 1 (37.04) Поэтому инварианты Римана равны г= — +- —, — в =- — — —, (37.05) 2 т — ! 2 т — !' и мы приходим к следующим основным утверждениям: их и с — — =и+с, — + — постоянно вдоль С аат 2 ! — 1 + а (37.06) вх аа с — - = и — с, — — — — постоянно вдоль С аут 2 у — 1 т а 2у'АТ и+ — Т р постоянно вдоль Г,, (37.07) т -! 2тгА ! 2 и — Р " р постоянно вдоль Г 1 †А) Этот случай был независимо найден и подробно изучен К.
П. Станюковичем. Он весьма важен в прнложенивх. (Приат, перса.! 7 Р. Кураж а К. ФРиарнаа Интересно, что в частном случае ; = 3 характеристические скорости суть и+ с = 2г для С+ и и — с = 2в для С ; поэтому скорости постоянны вдоль характеристик. Иными словами, характеристики в плоскости (х, 1) — прямые линии при 7 =3 Характеристики Г+ и à — фиксированные кривые в плоскости (и, о), именно ГЛ. Ш.
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Если вместо и и р выбрать и и скорость звука с в качестве зависимых переменных, то характеристики в плоскости (и, с) станут прямыми линиями (рнс. 25): и с — + — = постоянной вдоль Г, 2 т — ! (37.08) и с — — = постоянной вдоль Г 2 т — ! где с>0. й 38. Интегрирование дифференциальных уравнений для изэнтропического потока Мы должны различать три типа решений [в области Р плоскости (х, 1)). Во-первых, р=сопз1, и и=сопз1 в Р; тогда мы будем говорить о постоянном потоке; правильно было бы назвать течение также и „равномерным". Во-вторых, либо е=сопз1, либо р=сопз1 в Р. Тогда изображение области Р в плоскости (и, р) целиком лежит на кривой г=сопз1 илн в=сопз1, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
