Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Эти формулы полезны для слабых илн умеренно сильных простых волн, т. е. таких, в которых имеют место сравнительно слабые изменения (см. 5 74) й 41, Искажение формы волны в простой волне Чтобы проиллюстрировать течение газа в простой волне, мы покажем, как меняется со временем распределение величин и, с, р, р в зависимости от !.
Пусть простая волна обращена вперед и распределение и и с в момент времени с = 0 задано двумя функциями и =с (х), с =0(х), удовлетворяющими соотношени(о и — 1= сопз1 [см. (40.01)), где 1 есть заданная функция с. Звуковая волна, исходящая вперед из точки х = ".
в момент о = О, распространяется с постоянной скоростью и + с и несет постоянные значения и и с. Ве путь представляется в виде х =- 1+ (и+ с) 1, и = —. тО (1), с = (т (1). (41.01) Постоянство и и с на этом пути выражается соотношениями и = тО(х — (и+ с) !), с = 6 (х — (и+ с) 1). (41.02) Эти уравнения не представляют и и с как функции х и с; чтобы получить эти функции в явном виде, надо разрешить (41.01) относительно и и с. Их смысл выявляется при сопоставлении с равенствами, имеющими место для линейного волнового движения, и = Р(х — с, С), с = с, = сопз1, (41.03) которые отвечают начальному распределению и=Г(х).
В то время как в линейной волне форма волны перемещается, не меняясь, в нелинейной простой волне форма искажается, ибо значения и и с передаются звуковыми волнами, исходящими из различных точек х= 1 с различными, вообще говоря, скоростями и+с. гл, щ. одномщ нов течение Чтобы описать это искажение, мы исследуем, как меняется со временем крутизна фронта волны, описываемая производной и,(х, 1). Из (41.01) мы имеем х= в ' вз = (')' (1+У (с)+гт'(с))с) . (41.04) Если волна есть волна разрежения, то мы имеем г"-' (с) ) О, и поэтому г'(с)+ 6'(".) ) 0 согласно (40 Оба); следовательно, знаменатель в правой части (41.04) возрастает со временем.
Это Рпс. 30. Увеличение крутизны в сжимающей части н сглаживание в разрежающей части обращенной вперед простой волны, входящей в покоящийся газ. значит, что профиль скорости в простой волне разрежения с течением времени сглаживается. С другой стороны, в волне сжатия профиль скорости постепенно становится круче. Действительно, знаменатель в (41.04) для волны сжатия может стремиться к нулю.
Значение этого обстоятельства будет рассмотрено в 5 48 и 50. На рис. ЗО показано, как профиль скорости делается глаже и круче. й 42. Пути частиц и пересекающие характеристики в простой волне Прямые характеристики в обращенной вперед простой волне могут быть описаны формулой х=с+(и+с) 1, (42.01) и 4а пити члстнц и пгггсгклкнцля хлелктггистикл 1о? где л =1(р), и = и (13), с = с (13) — заданные функции, удовлетворяющие условию и+1= сопз1 и ? — заданная функция с (см. (40.01) и $ 41). Тогда согласно (42.01) каждый путь можно описать параметрическими уравнениями, задавая 1 и х как функции р.
Для пути частиц функция х(р) должна удовлетворять равенству с(х,'И=и или хв — — и1, откуда по (42.01) следует условие с1;+(и +с )1= — 1 (42.02) в виде линейного дифференциального уравнения относительно 1. Для пересекающих, поперечных характеристик, в данном в'х случае С, мы находим подобным же способом из — = и — с ег 2с1 +(и, +с ) 1=- — 1. (42.03) В частности, для полнтропических газов, предполагая, что ил — — О, имеем с=на(и+с)+(1 — н') с„ (42.04) где и'=- (т — 1) 1'(т+1) [см. (40.09)]. Тогда линейное дифференциальное уравнение имеет решение 1= — с '" () сг '1 И~~~+сопз1 (42.05) для пути частиц и = — с " ~~ с" 1 д~~+сопз1 (42.06) для пересекающих С -характеристик. Рнс.
35 и 36 иллюстрируют частный случай. Эти формулы легко применить к случаю, когда простая волна производится действием порнгня в трубе с газом, который при 1 = 0 покоился и имел постоянное давление и постоянную скорость звука. Пусть поршень сначала находился в точке х = О, а газ находился правее поршня, х > О, и имел скорость звука, равную с,. Если движение поршня задано уравнением х=Х(1), (42.0?) то вместо уравнения (42.01) мы для простой волны в газе будем иметь х=Х(р) + (и+с) (1 — р). (42.08) и 44. СКОРОСТЬ ИСТВЧЕНИЯ 1ОЭ Возмущение в газе, происходящее от движения поршня, распространяется в невозмущеиный газ со скоростью звука с„ отвечающей состоянию (р„р,) невозмущенного газа. Это следует из того основного факта, что область зависимости зоны х > са~ есть положительнаЯ часть (х > О) оси х, так что зДесь нз начального состояния покоя получается дальнейшее состояние покоя, как единственное решение дифференциальных уравнений (см.
5 28). (Область зависимости для точки в этой зоне получается проведением характеристик С и С через эту точку 1' Са + до пересечения с осью х). Поэтому поток газа, произведенный движением поршня, заключен !!! в области х (са1. Так как этот Ра,ра,оа поток граничит с постоянным С+ потоком, он являешься простой !! волной (см. $ 40). Очевидно, что ~Р это- — волна, обращенная вперед, я=с,! так как газ втекает в этот уча- + сток справа. Поэтому в области 1 -~р4, р,,е, волны и — 1 = — 44 [см. (40.02)1. о Та!( как ВДоль ПУтипоРшнн х= рис. 3!. Область простой воины, =х(1) скорость газа равна ско и, соединяющая две области, 1 и рости поршня, х =41(~) = пр(г), П1, постоянного течения плотность р, давление !т и ско- ( п~!е) рость звука с определятся из 1=!а+ия(1), потому что сц!др > 0 и 44рчар > О.
Наклон и+с прямых характеристик, исходящих из пути поршня, тоже определен; таким образом, определена простая волна в целом. Так как поршень выдвигается и относительная величина его скорости и уменьшаетсч, плотность и давление в волне тоже уменьшаются согласно сказанному в 5 40. Поэтому волна н называется волной разрежения. Скорость звуковых 44Х волн, идущих вперед — =и+с, меняется в том же направле- 4!! нии, что и скорость газа, тоже согласно 5 40, поэтому уменьшаются скорости а и и+с и прямые характеристики расходятся веером от кривой пути поршня. ф 44.
Скорость истечения. Полные и неполные волны разрежения Развитое выше построение должно быть видоизменено, если скорость поршня превосходит некоторый предел. Это связано в тем, что закон разрежения, выражаемый равенстволт и =- Р— 74, ыо ГЛ. НЬ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ теряет смысл, если! ив((1„так как 1) 0 (см.
5 37). Поэтому величина 1, называется скоростью истечения первоначально покоившегося газа в пустоту. Для политропического газа мы имеем по (37.04) 1о = — сь. (44.01) Т вЂ ! Когда — сс достигает скорости истечения, разрежение доеодит газ до нулевой плотности; давление и скорость звука тоже уменьшаются до нуля. Если волна разрежения доходит до этой стадии, она называется полкой волной разрежения и кончается вакуумом. Хвост волны разрежения может иметь два различных вида, смотря по тому, больше или меньше скорость поршня — ив, чем скорость истечения в пустоту 1. Если — ив < 1„то предыдущее построение простой волны дает прямые характеристики С+, проходящие через каждую точку пути поршня от О до В. Волна разрежения, заполняющая область !1, неполная и кончается характеристикой Св+, проходящей через В с и = ив.
За ней следует область 1!! постоянного течения ив, рв, рв, св между хвостом неполной волны разрежения и поршнем, в которой характеристики С . параллельны (так же как н в области 1 постоянного течения впереди фронта простой волны). Если — ив — — 1, то характеристика С „ проходящая через в точку В = В, есть касательная к кривой поршня, ибо в точке В наклон атой кривой равен 7'(1) = ив, тогда как пав с~х клон хаРактеРистики С есть — = ив +св †††ив - — — — 1, так в как св = О. Другими словами, волна кончается именно на поршне. Если — ив) 1, то волна заканчивается раньше, чем поршень достигнет предельной скорости. Имеется точка В, на кривой поршня 1.
между О и В, для которой характеристика С+ есть касательная к кривой поршня и дает значение нуль для давления, плотности и скорости звука. В этом случае раз- ВЕ режение кончается на линии С+, и за ней получается область !1Г кавитаь4ии (т. е. пустоты) между выдвигаемым поршнем и хвостом волны разрежения. Физически скорость истечения 1, означает ту скорость, которую выдвигаемый поршень не может превзойти без того, а 45.
центРИ!юВАннля ВОлнА РАЭРежения Ряс. 82. Волна разрежения, коячающаяся В зоне кавитании ( ив=1). Рис. 33. Волна разрежения, кончаю- щаяся В зоне Ш кавитации ( нв~ о). волну разрежения из частиц, движущихся в сторону поршня. В голове волны, движущейся по газу со скоростью звука, скорость газа равна нулю. Газ ускоряется в волне. Если скорость поршня — ив меньше 1е, т. е. скорости истечения, то газ расширяется, пока не достигнет скорости поршня, и затем движется с постоянной скоростью, плотностью и давлением. Если, однако, скорость поршня превосходит скорость истечения, то расширение — полное, и волна кончается в зоне кавитации между поршнем и хвостом волны. В любом случае волна движется в спокойный газ, тогда как частицы газа движутся с возрастающей скоростью от головы волны к хвосту, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
