Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. от зоны большего давления и плотности к меньшему давлению н плотности. 5 45. Центрированиая волна разрежения Особый интерес представляет случай, когда ускорение поршня из состояния покоя до конечной скорости происходит за бесконечно малый промежуток времени, т. е. мгновенно. чтобы не отделиться от разрежаемого газа. Если скорость поршня превосходит 1„то, поскольку движение газа сохра няется, не существенно, какое именно значение имеет ив. Можно с тем же основанием считать — ив бесконечной и представить себе поршень как внезапно убранную стенку, после чего газ вытекает в вакуум; из этой интерпретации и происходит термин „скорость истечения". В ы в о д.
Наши результаты можно обобщить качественно следующим образом. Поршень, выдвигаемый с неубывающей скоростью из газа, первоначально покоившегося, производит ГЛ. Еь ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Тогда семейство характеристик О+, образующих простую волну, вырождается в пучок линий, проходящих через начало О: х = 0; г=0 (рис. 34). вкругими словами, простая волна вырождается в цснтрированную простую волну. Ясно, что такая центрированная простая волна есть волна разрежения. Действительно, и уменьшается, проходя через волну, если волна обращена вперед, и увелиьо а 1 чивается, если она обращена назад; в обоих случаях р и р уменьшаются х=е,т в волне, как это было показано в $40; поэтому мы имеем здесь случай волны разрежения.
В центре О величины и, р и р Рпл. З4. Центрнровапная волна как функции х и ~ разрывны, но разреже""я ( "Р 1е) эта разрмвность нелтедленно сглаживаетися в последующем движении. Здесь мы встречаемся с первым типичным примером разрыва, который немедленно переходит в непрерывное .течение. й 46. Формулы для цеитрированной волны разрежения Центрированная простая волна может быть описана уравнением х = (и+с) 1, ~46.01) 1 лрпц калпжц Рис. Зб. Поперечные ларзктернстнкк С в центрнрованной волне разрежения.
Рис. З5. Пути частиц в центрпрованной волне разрежения. где (46.02) и= 1 — 1а — заданная функция с. И наоборот, мы можем выразить и и с через и+с илн через хТ. Для политропических газов мы й 46. ФОРМУЛЫ ЛЛЯ ЦЕНТРНРОВАННОИ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕННЯ ! !3 имеем согласно (42.04) соотношения с =1' — +(1 — 1Р) с, х и = (1 — ро) ( — — со), (46.03) о(со ) (46.04) (46.05) соответственно, где Го — тот момент времени, когда начинается путь частицы или начинается пересекающая характеристика на линии х= сот. Применяя соотношение (42.04) в виде и+с=(1 — ~ о)с,+и ~с и выражая с через 1 согласно (46.04) или (46.05), мы получаем из (46.01) 1-!»а х= — (и ' — 1) со~+и сто( — ) (4606) для пути частиц и 1 1 — — !» х =-= — (и "— 1) со(+и со(о ( — ) (4607) для пересекающих характернсгик. Эти формулы справедливы в зоне разрежения.
В случае полной волны разрежения, кончающейся нулевой плотностью, — ил > 1о, формула (46.07) справедлива для сколь угодно больших значений 8, и для больших ! мы имеем асимптотическое представление З Р, Курант н К. Фон»рата дающие в явном виде распределения и и с в центрированной простой волне. Сравнивая (46.01) с (42.01), мы видим, что линейные дифференциальные уравнения (42.02) н (42.03) для пути частиц сс пересекающих характеристик стали однородными. Решения (42.05) и (42.06) для политропического газа есть просто (см. (42.09)1 Гл. ш. Олномевное течение пути частицы. Как было замечено раньше, газ остается в зоне П разрежения, а путь частиц на диаграмме (х, г) принимает аснмптотически направление характеристики С'„, на которой достигается скорость истечения 1а (рис. 37).
для †< 1, волна разрежения кончается на характеристике С , на которой скорость имеет значение и = ив, и все +' пути частиц выходят из области 11 параллельно конечному направлению пути поршня Р и остаются параллельнымн в области 111. Рис. 38. Поперечные характеристики С в центрированной волне разрежения, кончающейся кавитацией. рис. 37. Пухи часГиц в центрнрованной волне разрежения, кончающейся кавитацней. Пересекающие характеристики С, выйдя нз области неполного разрежения, продолжаются как прямые линии до встречи с линией поРшпЯ Р:х= нес. ДлЯ вЂ” ие) 1 =(1 ' — 1) са хаРактеристнки С остаются внутри „области полного разреесения" н, так как х — — (Р— 1) саг, асимптотически пРиближаютсЯ к пути частиц (см.
рис. 37 и 38). Очевидно, что эти рассуждения можно обобщить на неполитропическое уравнение состояния. ф 47. Замечание о простых волнах в лагранжевом представлении Мы'могли бы так же полно развить теорию простых волн в координатах Лагранжа, пользуясь уравнениями (39.02), приведенными в разделе А гл. 111. Характеристики С даются равен- ством иа — =рс=Ф, лт (47.01) 9 48. ВОлны сжАтия ыз а характеристики С— вл — = — рс= — /г.
в'г (47.02) Для простой волны, направленной вперед, линии С+ на (и, г)- плоскости суть прямые линии, так как наклон я на них постоянен. В частности, поэтому и для центрированной волны Ь~~= й втлл чааплк постоянно. Другими словами, импеданц всегда равен просто й = й~ф, независимо от адиабатического уравнения состояния. Следовательно, кривые С удовлетворяют уравнению ЙЛ(сН = — 6~1, которое может быть немедленно проннтегрировано в виде (47.03) Рис.
ЗУ. Характервстккв в лаИтак, при изэнтропнческом тече гранжевых координатах длп нии любой жидкости ноиеречные цввтрврованкой простой волны. характеристики д ~я ценлгрированных волн разрежения в лагранжевоя представлении являются равнобочнылки гиперболами. й 48. Волны сжатия Если поршень не выдвигается, а вдвигается внутрь цилиндра с газом нли если выдвигаемый поршень замедляется, или останавливается, то возникает простая волна сгущения илн сжатия. Качественные утверждения и формулы, относящиеся к волнам разрежения, применимы и к волнам сжатия, за исключением того, что плотность, давление и скорость звука на поршне теперь увеличиваются и что идущие вперед характеристики С+ не расходятся от кривой поршня.
Поэтому простая волна не сушествует неопределенно долгое время, так как если бы прямые характеристики С, каждая из которых несет частное значение и, были достаточно продолжены внутрь потока, они бы сошлись и образовали огибающую, на которой значения и противоречат друг другу. В первый же момент 1=г„когда такая огибающая возникает, она образует угол в некоторой точке х=х, (см.
$49). Две ветви огибающей, встречающиеся в углу, охватывают угловую область, трижды покрытую С, -характеристиками. 116 ГЛ. Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕННЕ Поэтому однозначное продолжение потока в простой волне за момент г, в точке х, невозможно. Это явление, впервые замеченное, вероятно, Стоксом в 1848 г. (40), мы можем истолковать еще и следующим образом. Влияние движения поршня распространяется через газ в виде звуковых волн со скоростью с относительно газа.
Большей скорости поршя отвечает большая скорость звука с; поэтому более позднее влияние действия поршня движется быстрее и перегоняет более ранние действия. Форма волны, заданная скоростью в зависимости от х (см. 9 4!), становится круче н стремится стать вертикальной в некоторой точке. Характер возникающего разрыва подобен тому, который возникает в прибое, когда волны становятся все круче, по мере того как более медленные части перегоняются более быстрыми (см. [271). Особенно простой пример неизбежного возникновения разрыва дается поршнем, вдви— + гаемым в газ со скоростью, превосходящей скорость звука в покоящемся газе, с,. Если :с„- бы течение оставалось непреРис. 40.
Обрааоваггне огноающей прн- Рывным, то газ должен был иолннейннх характеристик в простой бы оставаться в покое в облаволне сжатия. сти, где х > саг и которая не может быть достигнута из начального положения поршня со скоростью, меньшей чем скорость звука. Но так как поршень движется быстрее звука, он должен попасть в эту область. Следовательно, движение не может остаться непрерывным. Итак, мы видели, что не существует простой волны, допускающей единственное продолжение за момент времени 1 = й,. Из нашей теоремы, согласно которой каждое непрерывное течение, граничащее с постоянным течением, есть простая волна (см. гл.
Тг, $29), следует, что не существует другого везде непрерывного решения. Этот факт надо особо отметить в связи с некоторой дискуссией, которая имела место по этому вопросу 1см. (39)]. Итак, невозможно, чтобы течение при всех обстоятельствах оставалось непрерывным, зэнтропическим и управляемьгм пголько силами давления. Замечательно, что такая, казалось бы, весьма вероятная гипотеза о возможном механизме, управляющем течением, отвергается по чисто математическим причинам. О гипотезе, которую следует принять, 5 е, положения огнвлюшвн и ве угол в волив сжлтпл 117 мы будем говорить в разделе В этой главы, где рассматриваются „ударные разрывы".
Возможность появления огибающей в задаче о течении позволяет дать замечательную иллюстрацию теоремы 5 28 о единственности решения дифференциального уравнения (21.01) при заданных значениях на линии г= 1, = сопз1. Пусть эти заданные значения как раз такие, какие принимает решение с огибающей, имеющей угол в точке х=х„1=1,.
То, что нет единственного решения с такими начальными данными, на первый взгляд кажется противоречащим упомянутой здесь теореме. Разрешение этого парадокса состоит в том, что по теореме требуются начальные данные с непрерывными производными по х. Решение на линии с=1,, имеющее угол в точке х=х„с=с„хотя само и непрерывно при х=х„но имеет бесконечные производные по х, как это видно из рассмотрения в $41. ПРИЛО>КЕНИЕ К РАЗДЕЛУ Б 9 49. Положение огибающей и ее угол в волне сжатия Здесь будут добавлены некоторые замечания о геометрии огибающих волны сжатия, образованных прямыми характеристиками Сг (см., например, у Адамара 1281). Запишем аналитическое представление простой волны, обращенной вперед (42.01), в виде х=Я ф)+м Д) ~, м(Р) = и Д)+с(Р).
(49.01) На огибающей производные х по р равны нулю, так что уравнения — — х=С вЂ” м— (49.02) Фм' ле являются параметрическим представлением огибающей. Мы выбрали в качестве параметра м вместо р, что можно сделать, если в рассматриваемой области м ~ О. Если при каком-либо л4 значении р = р, производная — имеет экстремум, то, считая, Фш лв1 что вторая производная г,(р) непрерывна, мы видим, что — = лив лг л'х Ф1 — — меняет знак при р = р„а поэтому и = — м — тоже лш в' Лш лщв меняет знак, если только ~в, ФО, что мы предположили для простоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
