Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Такие характеристические кривые в потоке часто действительно наблюдаются при обтекании слегка шероховатой поверхности. Математически распространение разрыва вдоль характеристики может быть описано следующим способом. Предположим, что можно ввести характеристические параметры и что разрыв происходит на линии а=сопз1, так что касательная производная остается непрерывной (вдоль а = сопз1, т. е. по Я. Рассмотрим теперь следующие четыре скачка, задающие величину разрыва: [') .'=ха, [ ~ .'= р). [.1„"",=ир), [и.]"„",=1 р).
Здесь х, у, и, и считаются функциями а и ~. Теперь можно вывести два однородных дифференциальных уравнения для величин разрывов вдоль а=сопз1, Рассмотрим сначала уравнения 1+ и П+ (22.1?) в точках Р, и Р, вблизи Р по обе стороны от характеристики а =-сопз1; вычтем эти уравнения друг нз друга и заставим Р, и Р, стремиться к Р. Так как коэффициенты и производные непрерывны относительно [1, мы заключаем, что ур) — ~+р) х® =о, и®-[ а ®1~у)+я р)х®=о, (25. 01) где Г+, а+р) =(и~+ — Я/Т, н )с, =-(К~+ — Н),'Т суть известные функции р вдоль а=сопз1 [см. (22.1б)[.
Чтобы исследовать 1 и !1, мы сначала продифференцируем их по а и опять проведем вышеуказанный процесс вычитания. В результате получим следующие дифференциальные уравнения: у — ~ х+м(х, г, и, р) =о, (25. 02) и +а р'„— р Х,+дг(Х, ); и, (у) =О, а за. хлплктнпистикн как линии плзлвлл где "., С =(ай — Я)Т, Й=(К".„— 1т)"Т и коэффициенты линейных форм Л1 и Дт суть известные функции р вдоль а = сопзй Уравнения (25.
О1 — 25. 02) определяют величины разрывов в виде решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Поэтому эти разрывы однозначно определены и не равны нулю вдоль всей характеристики, если известно, что они отличны от нуля в какой-либо ее точке. Следует подчеркнуть, что рассмотрение разрывов первых производных и в таком виде, как оно произведено в этом разделе, неприменимо, когда разрыв претерпевают сами функции и но. Мы увидим позднее, в гл.
Ш, что характер распро=транения разрывов самих функций совсем иной, а именно, они распространяются как „ударные волны". й 26. Характеристики как линии раздела между областями различного типа Напомним важное обстоятельство: если течение в двух соприкасающихся областях описывается двумя аналитически различными выражениями (например, если одна область является областью покоя или постоянства всех велич н, а в другой области они не постоянны), то эти две области с необходи.
мостью разделены характеристикой. Вообще переход из одной области в другую приводит к разрыву какой-либо производной; поэтому только что высказанное утверждение прямо следует из того, что производные и и о могут иметь скачки только на характеристиках. Но если даже производные и не имеют разрывов, приведенный выше результат легко получить из другого рассуждения, основанного на единственности решения задачи о начальных значениях для треугольника, образованного двумя характеристиками и отрезком начальной линии (см. (32], стр.
335). Если система (21. 01) дифференциальных уравнений эллиптическая, то не существует действительных характеристик (см. (32), гл. 111, й 2), и, соответственно, непрерывные решения не имеют разрывов производных. Если коэффициенты дифференциальных уравнений являются аналитическими функциями, то и решения — аналитические функции х и у и поэтому должны быть постоянны везде, если они постоянны в какой-либо области. 1 ~ Более полробпое расснотренпе распространения разрыва сн. в [321, гл, Ч, бз ГЛ П ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ й 27.
Начальные значения заданы на характеристике Как мы уже видели, если начальные значения и, е заданы на кривой 1, не являющейся характеристикой, то с помощью наших дифференциальных уравнений можно вычислить производные и и ч! (и соответственно все высшие производные) и найти таким образом однозначное решение по обе стороны. Что можно узнать из дяфференциального уравнения в том случае, если линия 1 — характеристика? Ответ на этот вопрос получается сразу из рассмотрения характеристической формы уравнений (22.1?). Пусть 1 есть С+-характеристика, на которой р = сонэ!, Уравнение !1+ показывает, что вдоль 1 значения и н о не могут быть заданы произвольно, точнее, 1!+ устанавливает соотношение между ними, так как оно является обыкновенным дифференциальным уравнением для и и и вдоль 1= С+. Поэтому можно задать произвольное значение вдоль всей кривой только для одной функции, например для и, и величину и в одной точке.
Во многих важных приложениях задача о начальных значениях ставится не для нехарактеристической кривой 1, а для двух пересекающихся характеристик. Эта характеристическая задача начальных значений формулируется для характеристических дифференциальных уравнений таким образом. Заданы совместимые значения и и ч вдоль характеристических отРезков В=В„?=РР (Рис. 5); найти РешениЯ УРавнений 1 и!! (22.17) с этими начальными значениями для точек а, р в одной из четырех угловых областей, например е > а„р > 3,. Решение снова определено однозначно и может быть получено методом итераций, описанным в 5 24.
Для этой задачи метод конечных разностей снова оказывается подходящим средством для численного решения. й 28. Дополнительные замечания о граничных условиях Впоследствии в связи с теорией горения и детонации (см. гл. Ш, раздел Е) мы вновь встретим задачи, в которых исходные данные для решения дифференциальных уравнений (21. 01) заданы на двух нехарактеристических кривых 1 и 1, встречающихся в точке О и замыкающих угловую область !ч в плоскости (х, у) (рис. 6).
Имея в виду такие приложения, мы сделаем здесь несколько замечаний. Выбирая направление для каждого из двух семейств характеристик, мы предположим, что обе характеристики, выходящие из 1, входят в область 1?, но только одна характеристика, выходящая нз 1, входит в 1?, В зз. дополнитвльнык злмсчлния о гвапичпыл з словник 69 Х Рвс. б. Область зависимости на пространственно-подобной и временно подобной дуге. Рис. б. Прямоугольная область в плоскости (х, у), в которой может быть получено решение характеристической задачи о начальных значениях. те же значения и н о, а на отрезке ОА на 1 то же значение одной из величин, например и, как и исходное решение. Тогда оба решения совпадают в области АВР и, в частности, в точке Р. Это важное утверждение выражает единственность.
Оно оправдывает термин,область зависимости" для линии АВ, отсекаемой от 1 и 1 характеристиками. При формулировке теоремы единственности мы наталкиваемся на ту трудность, что она определяется двумя величинами и и о, независимо от того, является дуга 1 временно- подобной, в то время как там можно задать лишь одну величину. Но две величины, заданные на l, определяют временно-подобный характер 1 в точке О в предположении, что решение непрерывно и временно-подобность сохраняется и на Л В этом *) Или пространственной и временной (термины заимствованы нз специальной теории относительности. (Прплт.
перса). Удобно назвать дугу 1 пространственно-подобной, а 1 — временно-подобной (см. (32~, стр. 403) гч по причинам, разъясняемым в гл. В!, разделе А. Тогда мы можем утверждать, что задание двух величин на 1 и одной на 1 оиределяегн решение в гс. Точнее это можно формулировать так: проведем из некоторой точки Р в гс две характеристики в отрицательном направлении до пересечения с 7 или 1 в точках В н А. Пусть существует второе решение в гс, принимающее на отрезке ОВ на 1 то Гл. и. теоРия уРлВненин для Функции дВух ПЕРеиенных случае можно утверждать, что решение существует по крайней мере в той окрестности !, где д временно-подобно.
Другая задача естественно возникает тогда, когда на двух временно-подобных дугах в' и К задано по одной величине и две заданы в точке их пересечения О. Пусть существует решение, для которого У и К временно-подобны (рис. 7). Тогда область зависимости ОА на у', ОВ на К снова отсекается двумя характеристиками, проведенными через Р в отрицатель- ном направлении. Пусть суще)" Р ствует другое решение, для которого одна из величин, например и на ОА, и другая величина, например й илн и на ОВ, В н обе величины и и и в точке О у ,тг такие же, как для исходного решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
