Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Так как эта величина Тогда сразу получится, что д > с, если д > с и наоборот, д ( с„, если д < с и наоборот. (15.04) Другими словами, дозвуковой или сверхзвуковой характер те- чения (см. $ 10) можно определить путем сравнения ско- рости течения д с критической скоростью с, которая остается постоянной вдоль линии тока, тогда как скорость звука, вообще говоря, меняется. Если в какой-либо точке линии тока совпадают скорость звука и скорость течения, то они совпадают и с критиче- ской скоростью с . Это обстоятельство также является ха- рактерным для критической скорости. Понятие критической скорости не обязательно связано л с полнтропическим газом.
При данных значениях 5 и д су- ществует как раз одно значение -. величины т, такое, что из (15.0!) получается д = с при -. = -.. Тогда значение / А с =с(т„, 5) =~' 2ф — 1(тги 5) (15.05) является критической скоростью. Больше того, утверждение (15.04) остается справедливым и прн этом обобщенном опре- А делении критической скорости. Очевидно, сч зависит от д и 5. Чтобы доказать это утверждение, достаточно проверить, л что разность с' — от монотонно возрастает от значения — ф до некоторого положительного числа, когда т убывает от беско- нечности до некоторого определенного значения, при котором ~7=0. Из (15.01) имеем с' — ~у' = с'+ 21 — у'; ГЛ.
И СЖИМЛЕМЫЕ ЖИДКОСТИ отрицательна при;= со и, следовательно, с = О, и положительна, Л когда 21(т, 5) =92 и 17=-0, то видно, что есть только одно значение т, для которого с = д. Если на линии тока, к которой применим закон Бернулли (15.01), существует точка, в которой 17 равно с„то она разделяет эту линию тока на интервалы дозвукового и сверхзвукового течения.
Конечно, может случиться, что 17 ( с. или 17>с вдоль всей линии тока, тогда и все течение вдоль нее будет соответственно дозвуковым или сверхзвуковым. Замечательно, что в случае политропического газа крити- Л ческая скорость с~=ну не зависит от 5 [см. (14.07)1.
В действительности это верно для всякого идеального газа. Если газ идеальный, то с 1см. (4.08)] и 1=е+ГГТ согласно (4.09) являются возрастающими функциями температуры. Поэтому с является функцией 1, и с есть то значение с, для которого имеет место равенство Л2 с' — 272 = с2 (1) + 2 1 — 17 = О, Л так что с, определяется посредством одного только 27.
Б.адиФФеРенциАльные уРАВнения специАльных ВИДОВ ТЕЧЕНИЯ Математические трудности, связанные с решением общих дифференциальных уравнений течения в трехмерном пространстве, сформулированных в 9 7, столь велики, что современный анализ не в силах их преодолеть.
Однако во многих весьма интересных случаях возможны упрощения, в частности, если число независимых переменных сводится к двум. Это имеет место в случае одномерного неустановившегося течения, установившегося течения в двух измерениях и установившегося течения с осевой и центральной симметрией. В 16. Установившиеся течения Установившееся плоское, или двумерное, течение описывается с помощью двух составляющих скорости и и о, каждая из которых есть функция двух координат х и у.
Третья составляющая скорости то равна нулю. Все величины, характеризующие течение, не зависят от я и 1. Плотность и давление могут рассматриваться как функции скорости течения 17 — У' п2+ 212 (16.01) в и. Рстлновившиася течения вдоль каждой линии тока согласно закону Бернулли л, д'+21 == 7ч (16.02) [см.
(14.02)) и айиабатическому уравнению =У(Р, Б) (16.03) [см. (2.03)), которые справедливы вдоль каждой линии тока л с постоянной предельной скоростью д и энтропией 5 (см. э 14 н 10). Скорость звука входит через соотношение и Ыи + П т(П = — Св — Р, справедливое вдоль каждой линии тока, как из уравнений (16.02), (16.03) и того, что т(т' = с— фР Р это следует (16.05) где с' надо рассматривать в соответствии с законом Бернулли и адиабатическим уравнением (16.03) как функцию скорости течения д, т.
е. и и и. В случае политропического газа эта функция, по (14.05) и (14.07), такова: т — ! л., св = т†в(с7в — 9') = (1 — р') '( с — р"'д"-) . (16.09) л [см (9.03)). Если известны значения а и Б на каждой линии тока, то две из четырех величин и, е, р, Я можно выразить через остальные и остаются только два исходных дифференциальных уравнения (7.02 — 7.05). Если течение безвихревое, то имеет место уравнение о„— и =0 (16.06) [см. (13.06)), и если, кроме того, движение изэнгпроническое л (5=сопя!), то предельная скорость д согласно сильной форме закона Бернулли постоянна вдоль всего течения, как указывалось в э 14. Тогда соотношение (16.04), которое справедливо теперь для любого направления во всем потоке, а не только вдоль линии тока, может служить для исключения плотности из уравнения непрерывности (ои) + (рв) = 0 (16.07) [см.
(7.08)1. В результате получается уравнение (с' — ив) и„— ие(и +ю )+(св — в')и =О, (!6,08) ГЛ. С СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Уравнения (16.08) и (16.06) (которые выражают безвихревой характер движения) образуют систему из двух уравнений с двумя неизвестными и, о и двумя независимыми переменными х, у. Уравнению (16.06) можно удовлетворить, введя потенциал скорости р(х, у) 1см.
(13.07)), так чтобы (16.10) о =и,;р,= — о, Тогда уравнение (16.08) сведется к одному дифференциальному уравнению второго порядка (с' — и') в„— 2ио О„~+ (ст — ю');рт = О. (16.11) В некоторых случаях и трехмерный установившийся безвихревой поток можно характеризовать подобным дифференциальным уравнением второго порядка для потенциала скоростей. Можно удовлетворить уравнению (16.06), введя 4ункцию тока ф (х, у), так чтобы (16.12) Тогда (16.06) перейдет в уравнение второго порядка для р, в котором надо рассматривать р как функцию Ф„' + ф'.. Линии, вдоль которых гр постоянна, суть линии тока, а разность значений р иа двух линиях тока равна потоку массы через цилиндрическую поверхность (с высотой, равной еди- нице), образованную движением направляющеи, параллельной оси г„ вдоль произвольной кривой, соединяющей две точки на этих линиях тока; это следует из соотношения в Π— О„= ) р(их„+ау„) дв, А где в — элемент длины дуги кривой и (х„, у„) — единичный вектор нормали к кривой.
Установившееся движение с огевол (цилиндрической) симметрией тоже можно описать двумя составляющими скорости и и и, как функциями двух переменных х и у. Здесь х— абсцисса вдоль оси, а у — расстояние от нее; и есть компонента в осевом, а и†в радиальном направлении. Поэтому каждый вектор скорости лежит в плоскости, проходящей через ось, и может быть получен из вектора в одной из таких плоскостей путем поворота вокруг осн. Требуется также, чтобы р н р зависели только от х и у. Безвихревой характер снова а !е неустАИОВНВшиеся течения й 17. Неустановившиеся потоки Одномерный нотон имеет место тогда, когда все величины, характеризующие поток, зависят, кроме времени 1, только от одной координаты х и когда составляющие скорости в двух направлениях о и тв обращаются в нуль.
Тогда уравнения (7.08 — 7.1!) сводятся к виду р,+ри, +ир, = О, (17.01) р(и,+ „)+р.=О, Я,+ ЗУ=О, (17.02) (17.03) выражается уравнением (16.06), и если, кроме того, течение нзэнтропическое, то соотношение (16.04) справедливо во всем потоке. Единственное отличие от плоского течения состоит в уравнении неразрывности, которое теперь принимает вид (у ри) + (у рп) = 0 (16.13) или, после исключения р согласно (16.04), (св — ив) и„— ип (и х в )+ (с' — и') и + — = О. (16.14) Конечно, и это уравнение можно привести к одному уравнению второго порядка для потенциала р, определенного в соответствии с (16.10).
Позднее мы будем пользоваться функцией тока, введенной Стоксом, которая теперь определяется соотношениями '!!,= урю" ,=ура (16.15) для того чтобы удовлетворить уравнению неразрывности (16.13). Поверхности (! = — сопз1, образованные вращением линии тока, суть поверхности тона.
Величина 2еу!(х, у) равна потоку через кольцо, вырезанное из круга радиуса у с абсциссой х поверхностью тока ч! =О. При установившемся вихревом потоке политропического В газа, в котором предельная скорость !7 (но в общем случае не энтропия 5) постоянна по всему течению, Крокко (22] ввел видоизмененную функцию тока. Она определяется уравнениями, получающимися из соотношений (16.12) или (16.15), где фактор р заменяется величиной св, которая по закону Л Бернулли зависит только от !7 и д, но не зависит от энтропии. Гл. ь сжимАемые жидкости где последнее уравнение выражает обратимость и адиабатичность изменения состояния каждой частицы.
Давление р здесь— функция от р и 5. Пользуясь тем, что Р=с' (17.04) др (см. 7.12), можно заменить (17.01) следующим уравнением: р,+ир +рс'и„=О, (17.05) так что три уравнения (17.02), (17.05) и (17.03) будут содержать только производные от и, р и 5. Для политропических газов уравнение (17.03) можно заменить на (рр — т) +и(рр ')„=О, (17.06) р(и,+ ни„)+р„= О, 5,+и5„=0. (17.08) (1?.09) Заметим, что единственное отличие этих уравнений от одномер2ри ных заключается в члене —, входящем в уравнение неразх рывности (17.07). Видоизменения и упрощения уравнений, только что рассматривавшиеся в связи с одномерным потоком, так же применимы к сферическому течению, как и к одно- мерному.
То же справедливо и по отношению к цилиндрическому течению, т. е. такому двумерному течению, в котором все величины зависят только от расстояния от оси, и скорость направлена от оси или к оси. Разница только в том, что до- полнительный член в уравнении неразрывности содержит мно- житель 1 вместо 2, так как рр Г будет в этом случае функцией энтропии. При иззнтропическом течении можно выразить р в за(рисимости от р, и наоборот.
Тогда уравнения (17.02) и (17.01) или (17.05) будут представлять собой два уравнения с двумя функциями от двух переменных х и 1. Течение называется сферическим, когда все величины зависят только от расстояния до одной точки, выбираемой за начало координат, и от времени и когда скорость направлена к этой точке (или от нее). Обозначив, как обычно, расстояние от начала буквой х и радиальную составляющую скорости буквой и, получим уравнения (7.08 — 7.11) в виде р,+ир„+ри„+ Р =О, %!8. ОДНОМЕРНОЕ И СФЕРИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ й 18. Уравнения движения Лагранжа в одномерном и сферическом течениях Уравнения Лагранжа для одномерного течения не осложнены функциональными определителями, н в этом частном случае они иногда удобнее эйлеровских. В представлении Лагранжа надо сопоставить число Ь с каждой плоскостью, перпендикулярной к оси х, так, чтобы считать изменяющееся положение частиц, связанных с этой плоскостью, функцией х(Ь, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
