Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е гг. диФФВРенциАльные уРАВнения ВТОРОГО пОРядкА в) одномерное изэнтропнческое течение в лагранжевом представлении— (20.08) и =йг С ТА~ см. (!8.12); здесь Й вЂ” заданная функция -.; г) одномерный неизэнтропическнй поток в лагранжевом представлении— (20.04) см. (18.10); здесь распределение энтропии по частицам предполагается заданным, 5=5(Ь), й' и д — заданные функции -. и 5; д) стацнонарный двумерный безвихревой изэнтропнческнй поток— о„— и =О, (20.05) (сг — и') и — ию(и +о„)+(сг — о') и = О, см. (16.06) и (16.08); здесь се — заданная функция из+в'1 е) установившийся нзэнтропический безвнхревой поток в трех измерениях с осевой симметрией— Оэ (20.06) (с' — и')и — ип(гг +и )+(с' — эг)з + =О, см.
(16.06) и (16.14); здесь се — снова заданная функция и'+и"'. й 21. ДиФференциальные уравнения второго порядка В общей теории мы обозначаем зависимые переменные буквами и, о н независимые переменные буквами х, у. Они будут впоследствии отождествлены с переменными в уравнениях газовой динамики, перечисленными в предыдущем разделе. В этом случае общая форма системы дифференциальных уравнений имеет внд Е, = А,и + В,и + Ср„+ А)го + Е, = О, !, = А,и„+ В,гс + Сг~х+ Огп + Е. = О (21.01) где А„А„В„..., Е,— известные функции х, у, и, О. Предположим, что все функции, рассматриваемые в настоящей главе, 4Р Зг гл. и.
шо~ия врьангнин для авнхцнн двьх пггамгнных непрерывны и имеют столько производных, сколько потребуется. Без ограничения общности мы будем считать, что нигде не имеет место пропорциональность А,: А, = В,: В, = С,: С, = =Р1:Р,. Если Е,=Е, = О, то система однородна. Если коэффнцйенты А, В, С, Р, Е не зависят от и и о, то уравнение линейно и, следовательно, много легче в обращении. В другом важном случае система может быть приведена к линейной: если система однородна, Е, = Е, = — О, и коэффициенты А„А,, ..., Р, суть функции только от и, ю, то уравнения называются приводимыми. В этом случае в каждой области, где якобиан (21.02) у=и о — ир„ не равен нулю, система (21.01) может быть преобразована в эквивалентную линейную систему путем перемены ролеи зависимых и независимых переменных.
Если у Ф 0 для некоторого решения и(х, у), о(х, у) (21.01), то можно рассъ1атривать х и у как функции и и о. Из того, что и„=/у,; и = — /х„, о„= — гу„; о = гх„, мы видим, что х(и, о) и у(а, о) удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям А,у, — В,х„— С,у„+ Р,х„= О, А,у„— В,х — С.,у + Ргх„= — О. Наоборот, каждое решение х, у уравнений (21.03) дает ре- шение (21.01), если не равен нулю якобиан У= х„у„— х„у„. (21.04) Описанное преобразование плоскости (х, у) в плоскость (и,о) часто называют преобразованием годографа.
Приводимые уравнения описывают одномерное течение и установившееся двумерное [см. (20.01), (20.03) и (20.05)]. Так как возможность приведения существенно зависит от предположения г ьь О, то решения, для которых г = О, не могут быть получены преобразованием годографа.
Но, как мы увидим в $ 29, эти решения, названные там простыми волнами, являются наиболее важным средством для решения задач о течении; простые волны и их обобщения до сих пор, повидимому, не привлекали к себе должного внимания при изучении гиперболических дифференциальных уравнений. 5 22. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И УРАВНЕНИЯ й 22. Характеристические кривые и характеристические уравнения Ключом к общей теории систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных вида (21.01) является установление различия между эллиптическими и гиперболическими уравнениями и для последних, являющихся главным объектом нашего рассмотрения, — введение понятия характеристик, которые будут главным объектом нашего изучения.
Эти понятия естественно вытекают из следующего рассмотрения. Линейная комбинация аг" + Ь»' двух производных функции двух переменных у(х, у) имеет смысл производной у в данном направлении дх:т(у = а:д. Если х (В), у (2) представляет кривую с х,:у, = а:д, то о~' + Ь»' есть производная ~ вдоль этой кривой. Рассмотрим такие функции и(х, у), э(х, у), для которых коэффициенты дифференциальных уравнений (21.01) зависят только от х, у.
В каждом из дифференциальных уравнений функции и, о дифференцируются, вообще говоря, в двух направлениях. Будем искать такую линейную комбинацию С = » 2 ~~+»2С2 чтобы в дифференциальном выражении Е были производные только по одному направлению. Такое направление, зависящее как от точки х, у, так и от значений и, ю в этой точке, называется характеристическим. Предположим, что направление задается отношением х:у„тогда, как указано выше, условие, что в Е величины и, о дифференцируются в этом направлении, есть просто »ЧА,+»2А,:»ЧВ+ЛВВ2=»ЧСТ+ЛЕС2:Л,О1+Л Е»2=х,:у, (22.01) потому что коэффициенты при производных и„, и и э,, э в Е даются соответствующими членами в пропорциях (22.01).
После умножения на х„или у„выражение Е может быть записано в виде ( Л А +Л А) и +( ЛС+ ЛЕС ) э +(Л Е+Л Е ) х =хЕ (22 02) или ( ЛВ, +»,,В ) и, + (»ч О, +» ОВ) т+( ЛЕ, +»,Е ) У, =УЕ (22 03) Если в точках х и у функции и н э удовлетворяют диф- ьл гл. и. таовня ввдвнании для овнкцни двгх пнвампинык ференциальным уравнениям (21.01), то мы получим четыре линейных однородных уравнения для Л, и Л,: Л, (А,у — Вьх,)+Лз(А у,— В х,)=0, >ч (С,у — Оьх )+ Л (С у — дл,х ) = О, Ль(Аьи,+Сьчт,+Ех,)+Лз(Ази,+Ср,+Етх,) =О, Л, (В,и + 1льчт, + Е у ) + Л (В и, + ду ть, + Еду ) =- О.
Если все они удовлетворяются, то все определители второго порядка в матрицах, составленных из коэффициентов при Л„Лт равны нулю. Так получается ряд характеристических со- отношений. В частности, нз первых двух уравнений получаем А,у, — Втх, А,у, — В,х, = 0 (22.05) или ау — 2Ьх,у,+сх,' =0 (22.06) Здесь а = [АС), 2Ь [Адл1 + [ВС) с = [В1л[. (22.07) В уравнении (22.07) используется следующая сокращенная запись: [ХУ1=Х,1; — Х,1;. Если ас — Ь' > О, то (22.06) не может быть удовлетворено ни для какого действительного направления.
В этом случае характеристических направлений не существует и дифференциальные уравнения называются эллиптическими. Мы не будем рассматривать случай, когда в каждой точке есть одно характеристическое направление (тогда ас — Ь' = 0). Если ас— — Ь' < О, то мы имеем два характеристических направления у,:х, в каждой точке; такая система называется гиперболической. В задачах о течении, рассматриваемых в втой книге, большинство диффереьщнальных уравнений — гиперболические.
Теперь мы будем предполагать, что уравнения (21.01) гиперболические') и что, следовательно, ас — Ь' < О. (22.08) Это предположение исключает особый случай, когда все три коэффициента равны нулю. Больше того, мы предположим для удобства, что а = [А С[ ~ О. (22.09) ') Можно трактовать подобным образом и аллниьиические уравнения, чего мы здесь, однако, делать не будем. См. К у рант и Г па ь бе р т, 1321. стр.
381 †3. а м. КАРАктеРисп1ческие кРиВые и уРАВнения Последнему условию всегда можно удовлетворить, введя в случае необходимости вместо х и у новые координаты. Следовательно, х,Ф 0 для характеристического направления (х„ у,), как это видно из (22.05). Таким образом, мы располагаем свободой в выборе наклона ".=у,.х,. (22.10) Уравнение (22.06) превращается в квадратное уравнение для ".: а Я вЂ” 2Ь:+ с = О.
(22.11) Это уравнение имеет два действительных решения, ~„ и ". (22.12) согласно (22.08). Следовательно, в точке (х, у) мы имеем два различных характеристических направления: Фу/ах = "-, и с(у,Их=1 . Так как корни ",„и 1 (22.11), вообще говоря,— функции х, у, и, о, то следует отметить, что гиперболический характер системы (21.01) зависит от самих рассматриваемых функций и (х, у), о(х, у). Когда в уравнения ау,'с1х=1+(х, у, и, о) и Иудах=". (х, у, и, о) подставлено определенное фиксированное решение системы (21.01), онп являются двумя раздельными обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, которые определяют два однопараметрических семейства характеристик (или характеристических кривых) С, и С, в плоскости (х,у), относящихся к решению (21.01) и(х,у), о(х, у).
Эти два семейства могут быть представлены в виде а(х,у)=сопз1 и 3(х, у) =-сопз1, соответственно, и определяют криволинейную сетку. Естественно ввести новые параметры а, р вместо х, у, такие, что р — постоянно вдоль С+ кривых и а— постоянно вдоль С .
Чтобы выбрать такие характеристические иаралсетрм, мы можем, например, взять любую кривую 1, заданную уравнениями х=х(з), у=у(з), нигде не имеющую характеристического направления, т. е. таку1о, что на 1 ау~ — 2Ьх,у, + сх,' -'- О. (22.13) Через каждые две точки з=-а и Е= 3 на 1 мы проводим две кривые С и С+ до точки (х,у), где они пересекаются. (Такое пересечение существует, если ~и†~~ достаточно мало, потому что направления С„ н С различны согласно (22.12).) Тогда криволинейные координаты а,,' точки (х, у) суть характеристические параметры. 56 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
