Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Существует определенная аналогия между такими дискретными средами н сплошными средамн, являющимися непосредственным объектом нашего изучения. Эту аналогию можно использовать двояко: в некоторых вычислениях выгодно приближенно заменять сплошную среду дискретной и наоборот, см., например, [58). 4 7. Дифференциальные уравнения движения т' Вопрос, который изучается в этой кинге, тесно связан с общей системой дифференциальных уравнений динамики жидкостей, которым подчиняется движение среды везде, кроме точек разрыва.
Эта система уравнений выражает: а) закон сохранения массы; '! По этому параграфу см, !!7! и [!3!. гл. к сжимлгмма жидкости б) закон сохранения импульса; в) условие, что состояние изменяется адиабатически; г) частный вид уравнения состояния. Дифференциальные уравнения вместе с соответствующими начальными н граничными условиями определяют данное явление.
В дальнейших разделах этой главы классические результаты, получаемые нз уравнений гидродннамнкн, представлены в удобной для нас форме. Уравнения динамики жидкостей могут быть выражены в двух различных формах — лагранэтсеаой н эйлеровой. Уравнения в форме Лагранжа описывают движение индивидуальной частицы газа, т. е. координаты х, у, г частицы считаются функциями времени и трех параметров а, Ь, с, которые характеризуют индивидуальную .астицу; в качестве а, Ь, с часто выбираются координаты частицы при 1=0. В лагранжевом представлении дифференцирование по времени будет обозначаться точкой ( ).
В большинстве случаев, однако, и с физической, и с математической точки зрения предпочтительнее представление Эйлера. Здесь мы следим за тем, что происходит в некоторой определенной точке (х, у, г) в течение некоторого отрезка времени. Движение описывается составляющими скорости и, и, пт в точке х, у, я в момент времени Ь в зависимости от х„у, г и 1. В представлении Эйлера дифференцирование по независимым переменным х, у, я, Ь будет обозначаться индексами, поставленными снизу. Переход от представления Эйлера к представлению Лагранжа достигается путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений х= и(х, у, г, 1), у=о(х,у,я г) я=те(х, у, г, Ь), (7.01) (рз) —.— 0 (7.02) (сохранение массы), причем в качестве постоянных интегрирования можно взять параметры а, Ь, с. Исключив а, Ь, с нз уравнений (7.01) и из тех, которые получаются из них после дифференцирования, можно выполнить обратное преобразование.
Уравнения динамики жидкости в форме Лагранжа таковы; а х днаэаяянцнлльньж лчанання лянжгння 29 где Сл — — д ' ' ) означает якобнан функций х (а, Ь, с, Г), д(х, у, с) д(а, Ь, с) у(а, Ь, с, Ь), з(а, Ь, с, Ь), рх+р„=О, ру+ря=О )'7.03) р'= р;+ р;гл+ ру (7.06) которое применимо к любой функции Г, определенной для частиц среды. Отметим далее тождество з =(~„+~я+ та ).1, (7.07) которое легко проверить.
При отсутствии внешних сил уравнения Эйлера таковы: р,+ир +~ря+тср„+р(и,+о,-л-п,)=0 (708а) рз+ра=О ~сохранение импульса). (Предполагается, что нет другой силы, кроме градиента давления. Точнее говоря, внешняя сила тяжести всегда присутствует, но в большинстве приложений ею либо можно вообще пренебречь, либо рассмотреть ее отдельно, см. Милн-Томсон 118).) 5=0 (7.04) (состояние меняется адиабатически), р=г)р о) 17.05) (калорическое уравнение состояния).
За независимые переменные при нахождении производных давления в уравнениях (7.03) принимаются х, у, з, Ь. Явное выражение в переменных а, Ь, с, Ь, прн рх= — р,а„+р,Ь,'-р,с„и т. д. приводит к нелинейным членам, так как ах, Ь,... должны выражаться через производные обратных функций х (а, Ь, с, Ь),... Поэтому обычно представление Лагранжа слишком громоздко. Этот недостаток не имеет места для движений столь симметричных, что их можно характеризовать только одной пространственной координатой; мы увидим, что в этих случаях представление Лагранжа часто бывает удобнее. Если участвуют больше чем одна пространственная координата, то вообще выгоднее писать уравнения в форме Эйлера.
Каждое из уравнений Эйлера выводится из соответствующего уравнения Лагранжа с помощью тождества ГЛ. Ь СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ ИЛИ р, 1-(о и),+(оп) +(рта),=0 (7.08б) (сохранение массы), и,+ии +пи +тип,+ 1 р =О, о,+ив„+ оп„+тио,+ — р =О, (7.09а) с,-г-и~,+он!у+и~~,+ — р,= О, 1 илн по (7.086) (ри)с+(рио),+(р )у+(ряои),+р =О, (рв),+(рио) +(рво) +(ртго),+и =О, (7.09б) (р т!Л) + (о итс) + (р оп!) + (р тэ!) +р О (сохранение импульса), Р = 7' (Р, 5) (7.10) (калорическое уравнение состояния), 5;+ и5„-1- о5 + тэ5, = 0 (7.11) (состояние меняется адиабатически). Отметим, что число уравнений (шесть) как в эйлеровом, так и в лагранжевом представлении равно числу неизвестных.
Мы можем ожидать поэтому, что при соответствующих гра- ничных и начальных условиях поведение систе!Мы определится однозначно (в области непрерывного движения) без привлече- ния каких-либо дополнительных физических принципов. Обычно более удобно рассматривать другую систему с пятью неизве- стными, потому что с помощью (2.05) легко исключить из уравнений сохранения импульса р, так как со(о, Я)=7' (р, 5), (7.12) и =со(р, 5)р,; р,==со(р, Я)ру; р,=со(о, 5)р,.
й 8. Сохранение энергии Условие (7,11) адиабатичности может быть выведено из предположения, что изменение полной энергии частицы газа производится только за счет сил давления путем сжатия илн а 8. сохРАнениГ энеРГии З1 ускорения (см. Э 2) при отсутствии внешних си.т. Полная ЭНЕрГИя На ЕдИНИцу МаССЫ раВНа Е„о„„= — (Х'-,-у'+ Зо)+ Е: 2 ~ 2 2 работа, производимая силами давления за единицу времени над единицей массы, есть — [(рх)„+(ру)„+(ре) 1. итак, наше предположение приводит к равенству о е„„„„+ (рх)„+ (ру), + (рг), = 0 (8.01) (сохранение энергии). Выполняя дифференцирования и пользуясь соотношением (2.01) в виде пе = ро88+ Т<Б и соотношениями (7.01) н (7.07), приводам (8.01) к виду о [хх+уу+ее —' ,ооро+ Т5]+р,х+р у+рг+рЬ '.2 =0; согласно (7.02) и (7.03) это равенство приводится к соотношению(7.04),5=0, которое выражает тот факт, что состояние меняется адиабатически.
В представлении Эйлера закон сохранения энергии можно записать в сжатом виде с помощью скорости течения 87=)/ио+оо+те2 и удельной энтальпии 1=е+рГИ о которой будет сказано подробнее в $9. С помощью (7.08) равенство (8.01) приводится к виду о[ — ~72~ +о Т5,+йн[ — до+1~ + + р о [ — до+ 1~ + о те [ — ф + 1~ =- 0 (8 02а) или по (7.086) ( о [ — ф + е) + [р и [ — д -,'— 11) + + (о о [ — <уо+ ф + о еа [ — ф+ 11) = О. (8.02б г ни полная энергия на единппу массы е„„„= — (и2+з-+ 1 + тео)+е, ни работа„совершаемая над единицей объема за единицу времени (ри),+(рп) +(рХв).
не инвариантны относительно переноса, т. е. их выражения меняются, если рассматривать их в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью. (ио оо, тео). Однако левая часть равенства (8.02) при переходс- гл. е сжимаемые жидкости 9 9. Энтальпия Основное уравнение (2.0!), записанное через энтальпию, определенную равенством г=с+р-., (9.01) выглядит так: дг = т йр+ Тсй, (9.02) Прн адиабатнческих процессах сг5=- 0 мы имеем (по 2.05) лг сее л,, (9.03) Наше предположение (2,08) о газах приводит к соотношению г- 0 при р- О.
( ) В идеальном газе г, очевидно, есть функция температуры. Из (4.09), (3.01) и (9.01) получается ггг .(й ат т — (' (9.05) Эта величина называется „удельной теплоемкостью при постоянном давлении". Сравнивая формулы (9.05) и (4.09), мы видим, что; есть отношение удельнагх лгсгглосмностей. Специально для политропического газа нз (3.07), (3.08), (3.09) н (9.01) получается = — А (5) ' ' = — (- )тгТ= — ( р -.
= — ' . (9.08) ; — 1 т — 1 т †т †( Введение удельной энтальпии оказывается полезным, например, тогда, когда энтропия остается постоянной для данной частицы или вдоль линии установившегося потока, или повсюду в среде с нззнтропическнм потоком (см. 9 14). В других случаях энтальпню вводят потому что приращение энтальпии гггг = Т~Ю равно количеству тепла, переданному частице при постоянном давлении.
Этим объясняется, почему энтальпня часто называется тегглосодержанггем нг. Иногда знтааыгня называетея также тепловой функцией. (Прим. оед.) к подвижным осям отличается от исходного выражения только членами, пропорциональными левой части (7.09), и поэтому система уравнений (7.08), (7.09), (8.02) остается инварнантной. а н. Акустическое пРиБлижение зз й 10. Изэнтропическое течение. Установившееся течение. Дозвуковое и сверхзвуковое течение Часто можно сделать следующее важное упроща1ощее допущение: в начале процесса удельная энтропия постоянна по всей среде.