Главная » Просмотр файлов » Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны

Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 6

Файл №1161649 Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны) 6 страницаГ. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649) страница 62019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Существует определенная аналогия между такими дискретными средами н сплошными средамн, являющимися непосредственным объектом нашего изучения. Эту аналогию можно использовать двояко: в некоторых вычислениях выгодно приближенно заменять сплошную среду дискретной и наоборот, см., например, [58). 4 7. Дифференциальные уравнения движения т' Вопрос, который изучается в этой кинге, тесно связан с общей системой дифференциальных уравнений динамики жидкостей, которым подчиняется движение среды везде, кроме точек разрыва.

Эта система уравнений выражает: а) закон сохранения массы; '! По этому параграфу см, !!7! и [!3!. гл. к сжимлгмма жидкости б) закон сохранения импульса; в) условие, что состояние изменяется адиабатически; г) частный вид уравнения состояния. Дифференциальные уравнения вместе с соответствующими начальными н граничными условиями определяют данное явление.

В дальнейших разделах этой главы классические результаты, получаемые нз уравнений гидродннамнкн, представлены в удобной для нас форме. Уравнения динамики жидкостей могут быть выражены в двух различных формах — лагранэтсеаой н эйлеровой. Уравнения в форме Лагранжа описывают движение индивидуальной частицы газа, т. е. координаты х, у, г частицы считаются функциями времени и трех параметров а, Ь, с, которые характеризуют индивидуальную .астицу; в качестве а, Ь, с часто выбираются координаты частицы при 1=0. В лагранжевом представлении дифференцирование по времени будет обозначаться точкой ( ).

В большинстве случаев, однако, и с физической, и с математической точки зрения предпочтительнее представление Эйлера. Здесь мы следим за тем, что происходит в некоторой определенной точке (х, у, г) в течение некоторого отрезка времени. Движение описывается составляющими скорости и, и, пт в точке х, у, я в момент времени Ь в зависимости от х„у, г и 1. В представлении Эйлера дифференцирование по независимым переменным х, у, я, Ь будет обозначаться индексами, поставленными снизу. Переход от представления Эйлера к представлению Лагранжа достигается путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений х= и(х, у, г, 1), у=о(х,у,я г) я=те(х, у, г, Ь), (7.01) (рз) —.— 0 (7.02) (сохранение массы), причем в качестве постоянных интегрирования можно взять параметры а, Ь, с. Исключив а, Ь, с нз уравнений (7.01) и из тех, которые получаются из них после дифференцирования, можно выполнить обратное преобразование.

Уравнения динамики жидкости в форме Лагранжа таковы; а х днаэаяянцнлльньж лчанання лянжгння 29 где Сл — — д ' ' ) означает якобнан функций х (а, Ь, с, Г), д(х, у, с) д(а, Ь, с) у(а, Ь, с, Ь), з(а, Ь, с, Ь), рх+р„=О, ру+ря=О )'7.03) р'= р;+ р;гл+ ру (7.06) которое применимо к любой функции Г, определенной для частиц среды. Отметим далее тождество з =(~„+~я+ та ).1, (7.07) которое легко проверить.

При отсутствии внешних сил уравнения Эйлера таковы: р,+ир +~ря+тср„+р(и,+о,-л-п,)=0 (708а) рз+ра=О ~сохранение импульса). (Предполагается, что нет другой силы, кроме градиента давления. Точнее говоря, внешняя сила тяжести всегда присутствует, но в большинстве приложений ею либо можно вообще пренебречь, либо рассмотреть ее отдельно, см. Милн-Томсон 118).) 5=0 (7.04) (состояние меняется адиабатически), р=г)р о) 17.05) (калорическое уравнение состояния).

За независимые переменные при нахождении производных давления в уравнениях (7.03) принимаются х, у, з, Ь. Явное выражение в переменных а, Ь, с, Ь, прн рх= — р,а„+р,Ь,'-р,с„и т. д. приводит к нелинейным членам, так как ах, Ь,... должны выражаться через производные обратных функций х (а, Ь, с, Ь),... Поэтому обычно представление Лагранжа слишком громоздко. Этот недостаток не имеет места для движений столь симметричных, что их можно характеризовать только одной пространственной координатой; мы увидим, что в этих случаях представление Лагранжа часто бывает удобнее. Если участвуют больше чем одна пространственная координата, то вообще выгоднее писать уравнения в форме Эйлера.

Каждое из уравнений Эйлера выводится из соответствующего уравнения Лагранжа с помощью тождества ГЛ. Ь СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ ИЛИ р, 1-(о и),+(оп) +(рта),=0 (7.08б) (сохранение массы), и,+ии +пи +тип,+ 1 р =О, о,+ив„+ оп„+тио,+ — р =О, (7.09а) с,-г-и~,+он!у+и~~,+ — р,= О, 1 илн по (7.086) (ри)с+(рио),+(р )у+(ряои),+р =О, (рв),+(рио) +(рво) +(ртго),+и =О, (7.09б) (р т!Л) + (о итс) + (р оп!) + (р тэ!) +р О (сохранение импульса), Р = 7' (Р, 5) (7.10) (калорическое уравнение состояния), 5;+ и5„-1- о5 + тэ5, = 0 (7.11) (состояние меняется адиабатически). Отметим, что число уравнений (шесть) как в эйлеровом, так и в лагранжевом представлении равно числу неизвестных.

Мы можем ожидать поэтому, что при соответствующих гра- ничных и начальных условиях поведение систе!Мы определится однозначно (в области непрерывного движения) без привлече- ния каких-либо дополнительных физических принципов. Обычно более удобно рассматривать другую систему с пятью неизве- стными, потому что с помощью (2.05) легко исключить из уравнений сохранения импульса р, так как со(о, Я)=7' (р, 5), (7.12) и =со(р, 5)р,; р,==со(р, Я)ру; р,=со(о, 5)р,.

й 8. Сохранение энергии Условие (7,11) адиабатичности может быть выведено из предположения, что изменение полной энергии частицы газа производится только за счет сил давления путем сжатия илн а 8. сохРАнениГ энеРГии З1 ускорения (см. Э 2) при отсутствии внешних си.т. Полная ЭНЕрГИя На ЕдИНИцу МаССЫ раВНа Е„о„„= — (Х'-,-у'+ Зо)+ Е: 2 ~ 2 2 работа, производимая силами давления за единицу времени над единицей массы, есть — [(рх)„+(ру)„+(ре) 1. итак, наше предположение приводит к равенству о е„„„„+ (рх)„+ (ру), + (рг), = 0 (8.01) (сохранение энергии). Выполняя дифференцирования и пользуясь соотношением (2.01) в виде пе = ро88+ Т<Б и соотношениями (7.01) н (7.07), приводам (8.01) к виду о [хх+уу+ее —' ,ооро+ Т5]+р,х+р у+рг+рЬ '.2 =0; согласно (7.02) и (7.03) это равенство приводится к соотношению(7.04),5=0, которое выражает тот факт, что состояние меняется адиабатически.

В представлении Эйлера закон сохранения энергии можно записать в сжатом виде с помощью скорости течения 87=)/ио+оо+те2 и удельной энтальпии 1=е+рГИ о которой будет сказано подробнее в $9. С помощью (7.08) равенство (8.01) приводится к виду о[ — ~72~ +о Т5,+йн[ — до+1~ + + р о [ — до+ 1~ + о те [ — ф + 1~ =- 0 (8 02а) или по (7.086) ( о [ — ф + е) + [р и [ — д -,'— 11) + + (о о [ — <уо+ ф + о еа [ — ф+ 11) = О. (8.02б г ни полная энергия на единппу массы е„„„= — (и2+з-+ 1 + тео)+е, ни работа„совершаемая над единицей объема за единицу времени (ри),+(рп) +(рХв).

не инвариантны относительно переноса, т. е. их выражения меняются, если рассматривать их в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью. (ио оо, тео). Однако левая часть равенства (8.02) при переходс- гл. е сжимаемые жидкости 9 9. Энтальпия Основное уравнение (2.0!), записанное через энтальпию, определенную равенством г=с+р-., (9.01) выглядит так: дг = т йр+ Тсй, (9.02) Прн адиабатнческих процессах сг5=- 0 мы имеем (по 2.05) лг сее л,, (9.03) Наше предположение (2,08) о газах приводит к соотношению г- 0 при р- О.

( ) В идеальном газе г, очевидно, есть функция температуры. Из (4.09), (3.01) и (9.01) получается ггг .(й ат т — (' (9.05) Эта величина называется „удельной теплоемкостью при постоянном давлении". Сравнивая формулы (9.05) и (4.09), мы видим, что; есть отношение удельнагх лгсгглосмностей. Специально для политропического газа нз (3.07), (3.08), (3.09) н (9.01) получается = — А (5) ' ' = — (- )тгТ= — ( р -.

= — ' . (9.08) ; — 1 т — 1 т †т †( Введение удельной энтальпии оказывается полезным, например, тогда, когда энтропия остается постоянной для данной частицы или вдоль линии установившегося потока, или повсюду в среде с нззнтропическнм потоком (см. 9 14). В других случаях энтальпню вводят потому что приращение энтальпии гггг = Т~Ю равно количеству тепла, переданному частице при постоянном давлении.

Этим объясняется, почему энтальпня часто называется тегглосодержанггем нг. Иногда знтааыгня называетея также тепловой функцией. (Прим. оед.) к подвижным осям отличается от исходного выражения только членами, пропорциональными левой части (7.09), и поэтому система уравнений (7.08), (7.09), (8.02) остается инварнантной. а н. Акустическое пРиБлижение зз й 10. Изэнтропическое течение. Установившееся течение. Дозвуковое и сверхзвуковое течение Часто можно сделать следующее важное упроща1ощее допущение: в начале процесса удельная энтропия постоянна по всей среде.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
11,56 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее