Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Величины р, р, О'тоже рассматриваются как функции Ь и 1. Число Ь можно выбрать разными способами, так как в нашем распоряжении всегда имеется произвольная функция. Обычно Ь отождествляют с абсциссой частицы в некоторый начальный момент, например при 1= 0. Но начальное положение для всех частиц задается не всегда. Напрашивается другой естественный выбор Ь, основанный на законе сохранения массы. Без всякой потери общности можно рассматривать течение происходящим в трубе единичного сечения, направленной вдоль оси х, Дадим теперь значение Ь = 0 некоторому определенному „нулевому сечению" (движущемуся, конечно, вместе со средой) и пусть для каждого другого сечения Ь равно массе вещества между этим сечением и нулевым, причем знак Ь выбирается положительным нли отрицательным, смотря по тому, находится ли сечение справа или слева от нулевого.
Аналитически Ь удовлетворяет соотношению к(8, В Ь= — -) рЫх, (18.01) км, в где р — плотность в точке х в момент ~; другими словами, здесь плотность рассматривается с эйлеровской точки зрения как функция независимых переменных х и 1. Дифференцирование (!8.01) по Ь приводит к соотношению р(Ь ~)х8(Ь 1) 1 (18.02а) или х„(Ь, 8) =т(Ь, 1), (18.02б) где р (Ь, 1) и т !Ь, ~) — соответственно плотность и удельный объем и Ь вЂ” функция времени. Уравнения движения Лагранжа (7.02 — 7.05) для одномерного потока получают вид (рх„) = 0 (18.03) (сохранение массы), ГЛ. Ь СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ д хи= — Р,= — Р„,'х„ (18.04) (сохранение импульса), 5, 0 (!8.05) (изменения состояния — адиабатические), р=у(р, 5) =я(т, 5) (калорическое уравнение состояния).
(Мы здесь не пользовались точкой, как знаком дифференциро- вания, применяя, как обычно, нижний индекс 1, чтобы избе- жать путаницы между эйлеровым и лагранжевым представле- ниями.) Уравнения Лагранжа (18.03 — 18.06) можно заметно упро- стить. Во-первых, из (18.02) следует, что (18.03) излишне и что (18.04) можно заменить на х = — р,. Согласно (18.05) 5 зависит только от л; в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что 5=5(й).
Функция 5(л) рассматривается как заданная начальными условиями задачи. С помощью (18.02) и (18.04 — 18.06) можно исключить р, т и р и вся система сведется к одному дифференциальному уравнению в частных производных относительно х: (18.08) в которое мы ввели величину и= рс=~/ — д,(т, 5), (18.09) где йа и д,— функции от т и 5(Й). Если движение изэнтропично, т. е. если 5(Ь) =5О есть постоянная, то уравнения (18.08) и (18.10) упростятся и примут внд х„= нТх, (18.11) ТТА = Тд иГ = и "ь (18.12) так называемый акустический имнедант1 среды. Рассматривая уравнение (18.08), надо, конечно, помнить, что йа и я, суть заданные функции т = х„и 5(Ь). Если скорость и удельный объем и = — хн т = хА взять за зависимые переменные, то одно уравнение второго порядка заменится на два уравнения первого порядка: ил=та и,=й тА — 8,,5А(й), (18.10) З 19.
ТЕОРИЯ «МЕЛКОН ВОДЫ Отметим, что если й'= — р, постоянно, как это имеет место у твердых тел, подчиняющихся закону Гука, то уравнения (18.11) и (18.12) линейны. Формулировки этого раздела можно распространить на сферическое и цилиндрическое течение (см. 9 17). Пусть 4ей означает массу, заключенную в сферу радиуса у(Ь, 1) относительно центра сферического течения.
Тогда имеем Уи=у [к (Ууи)В ь«ОВт Для плоского течения с цилиндрической симметрией в соответствующих обозначениях получим у =у [к (уу )„— а,Я. ПРИЛОЖЕНИЕ ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ В МЕЛКОМ ВОДОЕМЕ 9 19. Теория „мелкой воды" и закон Ньютона ло Р = Р« «Ттс р р «тр (19 О21 г Аналогией нелинейного волнового движения газов является движение воды или другой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, если расстояние от поверхности до дна водоема (глубина) достаточно мало. В этом случае говорят о „мелкой воде'. Точнее это выражается условием, что глубина мала по сравнению с определенной характеристической длиной, такой, например, как максимальный радиус кривизны поверхности. Дифференциальные уравнения, управляющие движением этой мелкой воды, можно заменить уравнениями, вполне эквивалентными уравнениям движения политропического газа с показателем т=-2.
Все волновые движения, которые мы будем рассматривать в последующих главах, подобны движению мелкой воды. Поместим прямоугольную координатную систему в пространстве, наполненном водой, так, чтобы дно было плоскостью а = О, а поверхность будем считать функцией е = Л (х, у, 1). Обозначим составляющие скорости в направлениях х, у, е через и, э, те; соответственно они зависят от х, у, е.
В этом случае справедливы уравнение неразрывности и„+ О + те« = О (! 9,01) Гл, ь сжимАемые жидкости где д — ускорение силы тяжести, р — плотность воды и р — избыток давления над атмосферным, так что р =0 на поверхности, е=х.. (19.03) Граничные условия для скорости .суть те =0 на дне, а= О (19.04) и У,+их,„+ох, =те на поверхности, а=У. (19.05) Эти уравнения с достаточной степенью точности можно заменить другими, содержащими только высоту е и скорости и и е на поверхности.
Для этого проинтегрируем сначала уравнение неразрывности (19.01) от г = 0 до г = У; в результате будем иметь г:-г г тв~ +) (и,+о,)де=О, --о о отсюда с помощью граничных условий (19.04) и (19.05) получим (19.06) Далее введем основное предположение, что давление лгеняется вдоль вертикального столба гидростатически р=й'р(~- ) (19.07) Согласно (19.02) и (19.03) это предположение эквивалентно ии! условию, что вертикальная составляющая — исчезает. Допут щение (19.07) не произвольно; можно показать с помощью разложения в ряд по степеням глубины, что оно верно с точностью до членов первого порядка малости.
(См. Стокер 127], Приложение.) Отметим, что предположение (19.07) равносильно тому, что градиент давления (р„, р, р,) не зависит от г; согласно (19.02) Ыи сЬ й!в Х то же верно и для ускорения 1 —, —, — ). Отсюда следует, ~иг ' в ' вг)' что и скорость (и, о, гв) не будет зависеть от г, если только это имело место в какой-либо момент времени. Предположим теперь, что в некоторый момент времени скорость была постоянна в каждом вертикальном столбе.
Это предположение, видимо, не является серьезным ограничением„оно выполняется, например, в случае, если вода в начальный момент покоилась. Сле- а ы. таооия «мслкон лолы 4И довательно, и и э зависят только от х, у и г; в дальнейшем вертикальной составляющей ти мы будем пренебрегать. Тогда уравнения (19.0б) и (19.02) принимают простую форму; У,+(Ък)„.+(Ло) =О, 8(и,+ни„+ои ) = — до2„, р(о,+ио,+си ) =- — ура . (19.08) (19.09) Чтобы показать, что эти уравнения таковы же, как н для политропического газа с; =2, введем „плотность" р '= р 2 (19.
10) которая является, очевидно, массой на единицу площади, и „давление" р=--1-д~Л =) р (. (19.1! ) о Тогда уравнения (19.08 — 19.09) приобретут форму уравнений для газов [см. (7.08 — 7.09)) р,+(о и) +(р э)л = О, (19.12) и (и, + ии, + ои ) = — р„, й(о,+ио„+оэо) =,— р, (19.13) Соотношение (19.14) 4 Р.
кчоант н К. Фондов о между „давлением" р и „плотностью" р, которое следует нз (19.10) и (19.11), очевидно, соответствует зависимости реального давления от плотности для политропического газа с; = 2. Глава П МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТЕЧЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ й 20. Уравнения течения для двух функций с двумя переменными Перечислим прежде всего специальные виды, течений, ко- торые управляются системой из двух уравнений для двух функ- ций с двумя переменными; а) одномерное изэнтропическое течение— р>+ио,+ри =О, !>(и,+ пи,)+ с'о> = О, см.
(17.01)> (17.02), (!7.04); б) сферическое изэнтропическое течение— р>+ и о „+ й и„+ 2р и~х = О, о(и>+ ии„) +с'-о, = О, см. (17.04), (17.07), (17.08); (20.01) (20.02) В предыдущих параграфах мы показали, что во многих частных случаях дифференциальные уравнения течения сводятся к системе квазилинейных уравнений в састных производных первого порядка для функций двух независимых переменных. Для такой системы можно развить довольно полную математическую теорию, если уравнения принадлежат к гиперболическому типу.
В этом случае основную роль играет понятие характеристик. Теория особенно упрощается, если число функций и уравнений равно двум. Чтобы подготовить читателя к более глубокому пониманию специальных задач о течении, которые будут рассматриваться в последующих главах, мы даем здесь детальную теорию системы двух дифференциальных уравнений; в дополнение будут приведены также сведения о системах, состоящих более чем из двух уравнений, которые встречаются, например, в теории неизэнтропнческого течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
