Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(2.08) гл. ь сжимлвмыа жидкости Теорию нелинейных волновых движений можно продолжить без дальнейших предположений о среде. Есть, однако, различные среды, представляющие специальный физический интерес, которые будут описаны в й 3 — 6 (несколько более детально, чем это необходимо для дальнейшей математической трактовки). и 3.
Идеальные газы, политропическне газы н среды с разделяемой энергией Практически во всех приложениях' теории к газам можно считать, что наша среда есть идеальный газ, подчиняющийся законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, т. е. имеет место следующее уравнение состояния: рт=ЙТ. (3.01) Постоянная )г здесь равна универсальной газовой постоянной Йь, деленной на эффективный молекулярный вес данного газа. Внутренняя энергия идеального газа зависит только огп тенггературы (см. 3 4).
Если, в частности, внутренняя энергия просто пропорциональна температуре Т, то газ называется политропичесним. Для таких газов можно написать (3.02) е= с,Т, где постоянная с„ есть удельная теплоемкость при постоянном объеме. Предположение, что газ политропнчен, делается в боль- шинстве приложений теории; вместе с (3.01) оио приводит к энтропическому уравнению состояния А (т — 1)е рс,, '( — 5,) с надлежащей ппстпиниой 5,. (3.05) р=УЬ, ~) =-Аг', (3.03) где коэффициент А зависит от энтропии 5, а показатель адиабаты т — постоянная, заключенная между 1 и '/ь для наи66- лее часто встречающихся сред. Прн умеренных темперивурах воздух можно считать полнтропнческим с т=!,4. Равнозначность (3.02) и (3.03) будет показана и'5 4-. Здесь мы упомянем, что с, равно —, так чтр Р т — 1 (3.04) т — 1 аз, политгопичяския глзы и сиялы о яязаяляямои зиеггиап ЗЗ Для дальнейших ссылок мы отметим, что для политропическнх газов имеют место равенства: л — П-з1 'А Н-П е= — -.
= — о т — ! т — !' (3.07) = Ар" р=Ар'=Ат '. (3.09) Из (3.09) непосредственно следует, что политропический газ удовлетворяет условиям монотонности и выпуклости (2.04) и (2.06). Выраженная через р и т энергия дается равенством (3.04), температура — (3.0!), а энтропия находится нз равенства 5 — 5,=с„1п (3.10) которое следует из (3.06) и (3.09). Следует отметить зависимость давления газов от удельной энтропии. Однако в некоторых случаях, в частности, если среда жидкая, влиянием изменений энтропии можно пренебречь, рассматривая р только как функцию объема (или плотности). Тогда энтропическое уравнение состояния принимает вид р =у (р) или р =я (т) (3.11) н, как следствие (2.01) и (2.02), е = е" ~ (т) + еал (5).
(3.12) И наоборот, если энергия разделяется на сумму двух таких функций, как в уравнении (3.12), то выполняется (3.11). Следовательно, условие, что Т зависит только от 5, равнозначно разделяемости энергии. Важнейшим примером сред с разделяемой в первом приближении энергией является вода. Калорическое уравнение состояния воды имеет сходство с уравнением для идеального газа; (3.13) Согласно (2.05) и (3.03) скорость звука в политропическом Фазе удовлетворяет простым соотношениям с' =; А р' ' = трт = т й У. (3.06) Гл.!. сжимАел!ъ|е жидкости где р, — плотность при 0' С, а А, В и т практически не зави- сят от энтропии.
Значения основных величин для воды: т =7, В ==-3000 атм, А =3001 атм. й 4. Математическое рассмотрение идеальных газов (4.01) общее решение которого есть е=й(1Н), (4.02) где й — произвольная функция, а (4.03) Н = ехр( — 5/Тс). Поэтому энтропическое уравнение состояния имеет вид р = — е,= — Ь'(тН)Н= — й'( р 'Н) Н, (4.04) где й' — производная от Ь. Из (4.04) следует, что условия монотонности и выпуклости (2.04) и (2.06) для идеального газа соответственно эквивалентны условиям, что вторая производная й положительна и третья производная /г отрицательна: й"(СН))О; й'"«Н)<О.
(4.05) Температура идеального газа дается равенством Т=ез= — — й'(т Н)". Н. (4.06) й Уравнение (4.06) показывает, что Т, как и е, зависит только от тН. Для каждой действительной среды Т есть монотонно убывающая функция этой переменной. Поэтому из (4.06) можно выразить КН через Т однозначно и согласно (4.02) определить е как функцию Т. Другими словами, удельная энергия идеального газа зависит только от температуры.
Имеет смысл показать в общем виде, хотя это не существенно для дальнейших разделов, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, и установить соотношение между этой функцией и энтропическим уравнением состояния. Подставив из (3.01) значение Т=— р~ Р в (2.02), мы получим для любого идеального газа уравнение в частных производных для е )се +те,=О, а к мАтемАтическОе РАссмотРениВ идеАльных ГА30В Согласно (2.05) и (4.04) скорость звука в идеальном газе выражается через с и 5 как с'(, я)=йя(ТН) 'Н', (4.07) (4.08г в котором безразмерная величина т(Т) введена как удобное сокращенное обозначение для 1+тс —.
Уравнение (4.08) легко лг пе' вывести из (4.07), заметив из (4.04) и (4.06), что е,+ТСТ = = — йп (т Н) т Н' и тч Т = — - се, . Отметим, что ол Ат Л' 1(т) — 1 (4.09) есть „удельная теплоемкость при постоянном объеме" (см. $9). У иолитропического газа, т, е. такого газа, у которого с просто пропорциональна Т, как это видно из формулы (3.02), функция т(Т) постоянна. Действительно, по (4.08) и (3.02) , =1+Яс,' (4.10) или с,= Й[(7 — 1), как упоминалось выше. Так как с, и Й положительны, то 1 1) (4.11) а там, где применима элементарная кинетическая теория газов„ т< 5 з' (4.12) Подставив (4.02) и (4.06) в (3.02), мы получим по (4.10) (4.13) '1 Часто, например в теории дозвукового потока (см.
[121), адвабатнческое уравненне р = д (т) апрокснмнруется уравнением р = — йт(т — тя) + Л (т.). которое не удовлетворяет условию (2.06). Помнмо адднтнвной постоянной, ято соотношение между р и т отвечало бы полнтропнческому газу с Т == — 1. так что скорость звука, как н удельная энергия, зависит только от температуры. Связь скорости звука с энергией и температурой дается уравнением са(Т) = (1+Я вЂ” ) КТ=;(Т) КТ, гл.
с сжнн.ильяс жиакосп~ Следовательно, (4.! 4) присутствие в (4.14) постоянной Н, связано с тем, что удельная энтропия определена с точностью до произвольной постоянной. Тогда из уравнения (4.04) имеем — т (4.15) где А(5) дается выражением А = — А (Я) =- (; — 1) ( — ) = (, — 1) ехр [с, ' (5 — Я,)~ ыв в согласии с (4.02) и (3.05). Соотношение (4.15) эквивалентно (3.03). Таким образом, эта форма калорического уравнения состояния выведена из основного предположения (3.02).
й 5. Твердые тела, не подчиняющиеся закону Гука В противоположность жидкостям, твердые тела сопротивляются сдвигу, так что термодинамическое описание твердого тела (включающее многочисленные компоненты напрягкений н давления) гораздо сложнее, чем описание жидкости. Но в продольных волнах, движущихся нормально к поверхности пластинки, скалывающие напряжения не возникают.
Здесь мы имеем достаточно хорошую аналогию между упругим телом и жидкостью. Если пренебречь влиянием изменений энтропии, то состояние в некотором сечении пластинки характеризуется двумя переменными р и -., аналогичными давлению и удельному объему жидкости. Здесь р означает взятое с обратным знаком „техническое напряжение", т. е. проекцию силы на отрицательное направление нормали к сечению пластинки, деленную на начальную площадь сечения недеформированнон пластинки, и — 1 ) где -,— удельный объем нерастянутой пластинки и в — отно- сительное всестороннее растяжение. Для твердых пластинок обычно употребляется энтропическое уравнение состояния, выра- жаемое законом Гука, который в наших обозначениях выгля- дит так: р = (тя — т) —, Е (5.01 ) 'о где Š— модуль Юнга.
Если применйм закон Гука, то движение линейно, или, забегая вперед, в терминах гл. П, можно сказать, что это движение линейно в лагранжевых координатах и нелинейно а 7. диФФеРенциАльные 'уРАВнения даижент!я 27 в эйлеровых. Но мы будем специально заниматься твердыми телами, к которым закон Гука неприменйм, т. е. телами, подчинягощимися более общему калорическому уравнению состояния, чем уравнение (5.01): = 8'(т) (5.02) Так же как н для жидкостей, мы предположим, что р уменьшается при возрастании -..
Предположим, что р как функция т никогда не бывает выпукла в сторону от оси р и что р обращается в нуль при ".=*,. Эти предположения выражаются формулами а'Ст) <О, К(то) =0 й'а(т) .= 0 для -..' т„(5.03) а' ( ) )~ 0 для т .а Согласно этим условиям, твердое тело подчиняется закону Гука вблизи точки та с точностью до членов второго порядка. Заметим также различие между последним равенством (5.03) и (2.06).
Не будучи сами пластичными, твердые тела, к которым неприменим закон Гука, сыграли известную роль в изучении пластичности. Это изложено более подробно в приложении к гл. 1Ц, часть которого посвящена типичному „негуковскому" уравнению состояния. ф 6. Дискретные среды Можно изучать волновое движение в средах, ко~орые состоят из цепочек масс, соединенных связями, не подчиняющимися, воабгце говоря, закону Гука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
