Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда, если нет разрывов, на которых нарушается равенство (7.04), из него непосредственно следует, что удельная энтропия остается постоянной по всей среде в течение всего времени движения. Предполагая энтропию о заданной постоянной, мы можем опустить уравнение (7.04) или соответственно (7.11) и оставить пять уравнений с пятью неизвестными или, исключая давление, четыре уравнения с четырьмя неизвестными.
Такой поток, в котором удельная энтропия повсюду одинакова, называется изэнтропическим. Хотя утверждение, что изэнтропическое течение встречается часто и является правильным, однако во многих важных случаях течение носит неизэнтропический характер. Очень интересен другой специальный вид течения †установившееся течение, в котором скорость, давление, плотность и удельная энтропия в каждой точке не меняются со временем, т. е. зависят только от х, у, г, но не от При таком течении члены в дифференциальных уравнениях Эйлера, содержащие и„ о„ твр, р1 и Я„ выпадают.
В установившемся течении все частицы, проходящие через данную точку, имеют одинаковые скорость, давление, плотность и энтропию и следуют по одному и тому же пути, называемому линией тока. Поэтому среда заполнена не меняющимися со временем линиями тока. Установившееся течение называется дозвуковым, звуковым или сверхзвуковым, если скорость течения д = )Гав+а'+ю'-' в данной точке соответственно меньше, равна или больше, чем скорость звука в ней (см. (2.05) и ~ 3), или, если число Маха М в (10.0! ) меньше, равно или больше единицы. й 11. Акустическое приближение Система линейных дифференциальных уравнений, применяемая для описания обычных акустических возмущений, следует из общих эйлеровских уравнений движения жидкости (7.08 — 7.11), как предельный случай.
Рассмотрим небольшое изэнтропическое возмущение, т. е. изэнтропическое движение 3 Р. 1Ртраит и К. Фрииритт ГЛ. Ь СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ среды с 5 = 5, и р = р, + Ор, такое, чтобы можно было пренебречь членами порядка выше первого в величинах ар, и, о, те и их производных. Пренебрегая этими членами высшего порядка и исключая р, приводим уравнения Эйлера к виду йр,+р (и + о +те,) = — О, (!1.01) и,+~ ~„'Зр =О, о,+~ с Зр =О, те~+~,с'йр,=О, (11.02) где с'=с'(р, 5„). Легко видеть, что система (11.01 — !1.02) равносильна одному уравнению второго порядка, зрн — — са!Вр„А+зрГГ+Ьр.~), (11.03) обычному волковому уравнению для малых возмущений др.
9 12. Векторная форма уравнений течения Иногда бывает удобно переписать дифференциальные уравнения (7.09) в векторной форме, обозначая вектор скорости буквой г!. Тогда г)+ тягай р = 0 (12.01) или, применяя (9.02), г!+ягай ю'= Такай 5. (12.02) Раскрывая и перегруппировывая члены, получаем г1,+ — огай(д') — г! р,'го!С!+ ягай1= Тцгай5, (12.03) где д есть абсолютная величина скорости течения д = ~с! != Рси'+ о'+ е-'. (12,04) Символ Х означает векторное умножение.
Если течение изэнтропическое, правые части уравнений (12.02) и (!2.03) обращаются в нуль. 9 13. Сохранение циркуляции. Безвихревое течение. Потенциал При различных весьма общих допущениях уравнения газовой динамики допускают важные „интегралы" или законы сохранения, которые легко выводятся. Рассмотрим сначала сохранение циркуляции. Е Рх сОМРАнение циРКуляции.
ВезВихРеВОе течение з5 Пусть А — произвольная замкнутая кривая, движущаяся вместе с жидкостью („жидкий контур"). Рассмотрим циркуляцию С вокруг А как функцию времени. Для различных важных случаев движения циркуляция остается постоянной, т. е. С=О, когда замкнутая кривая движется. Чтобы получить условия сохранения циркуляции, мы вычислим С, что легко сделать, если задать А переменным радиусом-вектором х (с, 1), где с — параметр лля А такой, что А определено для 0<а=! и х(0, г) = — х(1, 1). Тогда имеем (13.02) По (12.02) н учтя, что х,=-с)„мы найдем С= ~Т5,— 1,+ — (цЯ), сХс. (13.03) Наконец, интегрируя последние два члена в (13.03), приходим к (13.04) А А Поэтому, по теореме Стокса, С равна нулю для всех кривых если вектор го! (Т йтас1 5) = цгас! Т Х вегас( О (13.05) тождественно обращается в нуль.
Это может случиться, если: А) течение изэнтропично, и угас( О обращается в. нуль; Б) энергия разделима, тогда Т зависит только от О и дюрас) Т поэтому параллелен дгас(О; В) течение столь симметрично, что Т и О зависят только от одной пространственной координаты (наиболее важные случаи, когда это имеет место — одномерное течение, двумерное течение с цилиндрической симметрией и центрально симметричное течение), при этом атас( Т и ятас1О должны иметь одно направление в каждой точке. Течение, у которого циркуляция вдоль каждой кривой все время остается равной нулю, т.
е. тождественно равен нулю го! с1, называется безвихревым течением. Безвихревое течение 36 ГЛ. 1. СЖИМЛЕП!ЫЕ ЖИЙКОСТН встречается часто, потому что многие течения начинаются из состояния покоя и происходят при перечисленных выше условиях. Относительная математическая простота изучения безвихревого течения заключается в том (и этим часто пользуются), что уравнениям Ф вЂ” те„=о тд„п =О, и — в =0 (1306) или го111=0 можно удовлетворить с помощью потенциала скорости, т.
е. такой функции 1п(х, у, г, 1), для которой (13.0?) или с) =агасси ?. Из (13.05) следует, что поле Тдгаб5 имеет потенциал 12, Тягай 5 = игад Я, (13.08) если сохраняется циркуляция, в частности для безвихревого течения. Если течение изэнтропическое, ы можно взять равным нулю. Если удельная энергия среды разделима, то 11 можно отождествить с энтропическим слагаемым удельной энергии (см. (3.12)), 12(х, у, г) =е1г115(х, у, г)). й 14. Закон Бернулли В этом разделе мы выведем три закона сохранения, тесно связанные между собой.
Каждый из них иногда называют законом Бернулли. Первая форма этого закона относится к установившемуся потоку (см. э 10). Из дифференциальных уравнений (12.02) н из векторной формы уравнения (?.04), выражающего адиабатический характер изменений состояния, следует, что Я,+11 атад5= — О. Отсюда мы можем немедленно заключить, что на каждой линии тока в случае установившегося течения в' ! т 2 — — 1?'+Й=-Ч 11+1) игаб1=11 Тигад5=0, +' )=- откуда 1 л — 1?е+ 1= — (1сг+ ог+те')+1= — 1?', (14.02) 2 2 2 6 4Ь ЗАКОН БЕРНУЛЛИ 37 А где 47 постоянно вдоль каждой линии тока. Соотношение (14.02) есть закон Бернулли для установившегося течения.
А 42 Постоянная Бернулли — может, конечно, иметь различное 4! ! 1 г. +' Ц2+г О 472, 'А2 ) 2 (14.04) А где величина 4г, могу!цап зависеть от времени, одна и та же по всей жидкости. Это соотношение непосредственно следует из уравнений движения в форме (12.03) с помощью (13.07) и (13.08). В важном случае иззнтропического течения !2, конечно, выпадает. Для установившегося безвихревого, иззнтропического течения соотношение (14.04) приводится к сильной форме закона Бернулли.
Иногда применяется еще и другой вариант закона Бернулли, играющий фундаментальную роль в теории ударных разрывов (см. гл. 111, $55). При установившемся течении политропического газа закон Бернулли принимает согласно (9.06) и (14.02) особо простую форму 2 Л о2+ — с' =- 472. 1 †(14.05) значение для различных ливий тока. То же относится н к энтропии Я, которая тоже постоянна вдоль линии тока согласно (14.01).
Скорость изменения постоянной Бернулли и энтропии поперек линий тока связана с вихревым характером движения. Действительно, из уравнения (12.03) можно с помощью (14.02) получить равенство 1 ата41 — ц' — Тягай Б = ц Х го1 ц. (14.03) 2 Отсюда непосредственно следует, что в стационарном безвихревом течении, т.
е. при го!41=0, н при постоянной Л энтропии, т. е. ягабБ= О, постоянная Бернулли — д2 одна и 2 та же для всех линий тока. Это — сильная форма закона Бернулли. Замечательно, что для безвихревого, даже неустановившегося, потока справедлива другая форма закона Бернулли. Если воспользоваться потенциалом скорости 42 и потенциалом 44 величины Тяга41 Б, введенными в конце $13, то закон Бернулли для безвихревого течения выразится соотношением ГЛ. Е СЖИМЛЕМЫЕ ЖИДКОСТИ Вводя вместо т постоянную и=в (14.06) т -1- 1 и величину сь с размерностью скорости Л с„= !и7, мы можем переписать закон Бернулли в форме н'д'+ (1 — иь) с' = с'.
(14.08) Величина с„которая играет важную роль в теории установившегося течения политропических газов, называется критической скоростью; ее значение будет выяснено в следующем разделе. (14.07) й 15. Предельная и критическаи скорости В этом разделе мы рассмотрим установившееся течение газа. Соотношения (9.03) и (9.04) действуют вдоль каждой линии тока; входящая в них удельная энтальпня с всегда положительна и стремится к нулю, когда стремится к нулю плотность вдоль линии тока. Из закона Бернулли (14.02) в форме Л 1< — ф, 2 (15.03) причем равенство имеет место только в том случае, если газ покоится, д =О. Смысл названия критическая скорость, которое дается величине, определяемой для полнтропических газов соотношением (14.07), станет ясным, если записать уравнение Бернулли (14.08) в виде ~7 — с = (1 — !ь ) ( д — с ).
Л ф+2ь'(т, 5) =(уь (15.01) (справедливой также вдоль каждой линии тока) следует, что Л скорость д не может превзойти значения д и приближается к нему, когда р стремится к нулю. Итак, Л (7-~ Д (!5.02 ', причем равенство имеет место только в предельном случае плотности, равной нулю, р=О.
Поэтому естественно назвать Л величину д предельной скоростью. Подобно этому из (15.01) следует, что В ЬЕ ПРЕДЕЛЬНАЯ И КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ (15.06) пользуясь (2.05) и (2.02) получаем, что св = — р = — -. р =тте; следовательно, согласно (9.01) УЛ---с'=е — те + — Те . 1, 1 (15.07) 2 ' 2 Дифференцируя это по т, получаем У + — с' = — ".'е = — — ттр 2 ) 2 "" 2 (15.08) Так как р положительно по основному предположению (2.06), то мы заключаем согласно (15.08) и (15.06), что разность св — двозрастает монотонно при уменьшении -..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
