Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Одним примером, весьма отличным от только что упоминавшихся, является катастрофическое нарастание давки в охваченной паникой толпе, протискнвающейся через узкий выход или другое препятствие. Если скорость толпы больше, чем скорость передачи предостережения назад, то возникает волна давления, во многом подобная той, которая получается в отраженной от стенки ударной волне. Родственные явления, такие, как затор на транспорте, вызываются сходными причинами.
В этой книге, однако, мы будем заниматься прежде всего теорией сжимаемых жидкостей. Важность изучения нелинейных волновых движений совершенно очевидна. В течение периода, начавшегося почти сто лет назад, Стокс, Ирншоу, Риман, Рэнкин, Гюгонио, Рэлей и позднее АдамаР соввщщьяввквхвмаые тРУды, относЯщиесЯ гл.
и сжимаемые жидкости к этой области исследований ю. Ею занималась в основном небольшая группа талантливых людей: инженеров и механиков. В течение последних немногих лет, однако, когда барьер между чистым и прикладным знаннем был преодолен, возник широкий интерес к нелинейным волновым движениям, в частности к ударным волнам и волнам расширения, Цель настоящей книги — сделать более доступной математическую теорию нелинейных волн, уделяя особое внимание некоторым современным достижениям ~.
й !. Качественные различия между линейными и нелинейными волнами Свойства нелинейного волнового движения характеризуются несколькими отличительными чертами. В линейном волновом движении, как, например, в распространении звука, возмущения всегда передаются с определенной скоростью (относительно среды), которая может меняться внутри среды. Эта скорость звука является локальным свойством самой среды н остается одинаковой для любого возможного линейного волнового движения в среде. Такая скорость звука имеет значение и для нелинейного волнового движения. Слабые возмущения или „небольшие волны", слегка изменяющие данное первичное волновое движение, распространяются с определенной скоростью, которая тоже называется скоростью звука, хотя в этом случае скорость звука зависит не только от положения в среде, но и от состояния, в которое среда приведена первичным движением. Отличительной чертой нелинейных волн, однако, являются возмущения и разрывы, которые не обязательно малы.
В линейном волновом движении каждая начальная поверхность разрыва сохраняется как разрыв и распространяется со скоростью звука. Нелинейное волновое движение выглядит иначе. Предположим, что имеется начальный разрыв между двумя областями различного давления, плотности и скорости течения. Тогда имеются две взаимно исключающиеся возможности: или начальный разрыв немедленно распадается н возмущение, распространяясь, станет непрерывным, или начальный разрыв будет распространяться в виде одной или двух ударных волы, ] Материал, изложенный в книге, гораздо шире тех вопросов, которыми занимались указываемые авторы.
В втой связи следует указать, что Курант н Фридрихе обходят имя С. А. Чаплыгина, который своим классическим трудом „О газовых струях" заложил основы целому ряду разделов газовой диналгики. (Прнлг. ред.) П Теория движения сжимаемых >книйкостей изложена в [3, 4, 5Ь другой подход дан у Заузра ~б] и Липчайа и ПзккетаД7). $ к сРедА 19 движущихся не со звуковой, а со сверхзвуковой скоростью относительно среды, расположенной впереди ннх. Как уже упоминалось, ударные волны суть наиболее замечательные явления, возникающие при нелинейном распространении волн; онн могут возникнуть и распространяться даже не будучи вызваны начальным разрывом. Это отвечает тому математическому факту, что в отличие от линейных дифференциальных уравнений нелинейные часто не допускают решений, которые могут быть непрерывно продолжены в те области, где сами уравнения остаются регулярными.
Другое резкое различие между линейными и нелинейными волнами состоит в явлении взаимодействия: принцип супер- позиции справедлив для линейных волн н несправедлив для нелинейных. Например, избыточные давления при интерференции звуковых волн получаются путем сложения, в противоположность этому взаимодействие и отражение нелинейных волн может повести к огромному возрастанию давления. А. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ й 2.
Среда Вначале мы будем заниматься движущейся жидкостью, хотя многое из того, что получится, относится и к другим движущимся средам (например, к твердой пластинке в продольном волновом движении). В этом параграфе мы охарактернзуем те свойства, которые будут приписываться среде во всей книге, и опишем некоторые идеализированные среды, представляющие особый интерес. Кроме того, так как газовая дннамнна тесно переплетается с термодинамическими понятиями, естественно привести здесь основные термодинамические обозначения в соответствующей математической форме '>.
За исключением тех случаев, когда движение разрыало, вязкостью, теплопроводностью и отклонением среды от термодннамического равновесия (в каждый момент и в каждой точке) можно пренебречь. В последующих главах будут сделаны некоторые критические замечания по этому поводу. В частности, будет показано, что вязкость н теплопроводность играют важную роль в образовании и поддержании ударных разрывов. В каждый момент и в каждой точке жидкость находится в некотором состоянии термодинамического равновесия, опрееляемого давлением р, температурой Т, удельным объе- В Иа руководств по териодпнамике см. 3е панс кий )2!) и Эп. т е й н )20). 20 гл.
>. сжимапмыв жидкости мом т (т. е. объемом единицы массы), плотностью р, причем рт = 1, удельной энтропией 5, удельной (внутренней) внергией е и удельной энтальпией з", определяемой как 1=е+рт. Из термодинамики известно, что для каждой данной среды независимы только два из параметров р, Т, е, е я 5. Величнны р, Т и е можно рассматривать как функции т и 5.
Внутренняя энергия, приобретенная средой при переходе из одного состояния в другое, равна сумме переданного ей количества тепла н работы, пройзведенной над ней силами давления. Таким образом, при переходе в бесконечно близкое состояние имеет место соотношение с1е= ТсБ — рсЬ. (2.01) Прн обратимом процессе ТН5 есть тепло, сообщенное теплопроводностью; при необратимом процессе ТЮ5 больше, чем переданное таким путем тепло. Еслп необратимый процесс можно рассматривать как действие вязкости, то избыток Тсз5 над количеством тепла, переданным теплопроводностью, удобно интерпретировать как тепло, произведенное вязкими силами.
Предположим, что для некоторой среды нам известно, как удельная энергия е зависит от т и 5. Тогда давление р и температура Т могут быть непосредственно найдены из соотношения (2.01). Именно р= — е„Т=е, (2.02) где индексы означают частные производные з>. Функции, дающие р в зависимости от р нли т и 5, часто встречающиеся в теории течения жидкостей, соответственно будут обозначаться: р =у (р, 5); р = >г (;, 5). Несколько обобщая принятую терминологию, мы назовем каждое нз этих уравнений калор>зческим уравнением состояния среды. Пренебречь вязкостью н теплопроводностью — все равно, что предположить удельную энтропию частицы жидкости постоянной при движении, т.
е. считать изменение состояния жидкости адиабатическим. Поэтому нас часто будут интересовать функции Т"(р, 5) и п(т, 5), рассматриваемые в зависимости только от р н -. соответственно, при фиксированной удельной этропни; в некоторых случаях мы будем их обозначать сокращенно '> Поня~не энтааьпии будет обсуждено в з 9. > Почти везде в этой книге частные производные будут обозначаться пндексои. а ь сРедА 21 7(р) и 8(2).
Уравнение р=у(р) =я (2) будет тогда называться адиабатическим уравнением. Слово изэнтропическое, быть может, точнее, чем адиабатическое. Если, например, нет теплопроводности, но есть вязкость, изменение состояния будет адиабатическим, так как частица не обменивается теплом, но не изэнтропнческим, так как энтропия частицы, вообще говоря, возрастает.
Но мы будем употреблять термин изэктропический в другом смысле, считая энтропию постоянной по всей среде. Фундаментальным свойством всех действительно существующих сред является то, что при постоянной энтропии давление возрастает при возрастании плотности (или уменьшении удельь ного объема), т. е. ~,(р, 5) ) 0; 8;(2, 5) <О, (2.04) кроме предельного случая р=О, когда и 7.=0. Благодаря неравенствам (2.04) мы можем определить положительную ве-.
личину с, имеющую размерность скорости, как с'= — „~=7;(р, Я); р'с'= — 8„(-., о). (2.05) Величина с называется скоростью звука; смысл этого названия будет ясен из $35, гл. П; величина рс часто называется. акустическим иипедакцем. Для каждого заданного значения о функция й (2, 5) вообще выпукла книзу.
Поэтому мы примем во всей этой книге, если не оговорено противоположное, что д„(-, Я) ) О. (2.06) Полезно заметить, что вместе с (2.04) неравенство 7' (р, 5) ) 0 22 заключает в себе (2.06). Мы сделаем дополнительное предположение, что при постоянном удельном объеме давление возрастает с энтропией, так что (2.07) Из уравнения (2.02) видно, что это предположение равнозначно тому, что при постоянной энтропии температура возрастает при возрастании плотности. Для газов, плотность которых может приблизиться к нулю, Ыы сделаем дополнительное предположение е -+ О, тр — О, Т- О, с — 0 при р -Р О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
