Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Соотношения (63.09 — 63.11), не содержащие точки х=О, остаются при этом предельном переходе справедливыми. Поэтому мы получаем для предельного течения [В с) =-О, (63.12) [й пв + р|, =-- О, [р е ( — ог+ г)1 = О. (63.13) (63.14) Устремляя теперь =- к нулю, мы получаем те же условия для предельного течения, которые были найдены раньше. Четвертое условие возрастания энтропии на фронте ударной волны тоже получается из нашего предельного процесса. Полагая рэ=т=сопз! в согласии с (63.05) и интегрируя уравнение (63.08) между — В н В, мы находим т[О'!',=) Н вЂ” ' — дх-1- ~ >.— хггх+[ ] . (6315) -)' 1' что является четвертым условием на разрыве.
(Мы только что видели, что для действительного разрыва знак равенства исключается.) Замечательно то, что это четверпгое условие на разрыве, не завггсягцее от трех законов сохранения, получается пз пгеплового баланса, как предельное следствие уравнений Для заданного значения е последний член справа стремится к нулю вместе с р - О, 1 — О, но это не обязательно для двух других членов. Действительно, этн члены являются интегралами в таком интервале, в котором Т и о сильно возрастают. Поэтому положительные слагаемые в правой части могут только преобладать, и мы имеем в пределе [3]*,) О, 142 Гл.
Пь Олноыееноа течение непрерывного тегенггя, выгггекающее пз трех законов сохранения. Надо еще раз подчеркнуть, что приближенное описание течения жидкостей почти без вязкости и теплопроводности с помощью идеализированного течения, содержащего ударный фронт, но не обладающего ни вязкостью, ни теплопроводностью, очевидно, не пригодно в области вблизи ударного фронта, где становятся большими производные о, р и Т. Поэтому желателен более подробный анализ резкого перехода для очень малых, но не исчезающих значений > и и.
В частности, при помощи такого анализа следует определить ширину ударного фронта. Рассмотрим величины ры вм р, и ом х„рг по обеим сторонам ударной зоны — в:-х<в, считая их постоянными и равными тому, чему онн равны в предельном случае для ударной волны. Требуется найти решения (р, -., р) трех уравнений (63.05 — 63.07), принимающие эти предельные значения. Ширина 2в ударной зоны определяется из того условия, чтосуществуют такие решения, у которых производные 1г„, р,, о, обращаются в нуль на обоих концах, х= -г.в. Сомнительно, существуют ли такие решения.
Вместо этого можно применить иной способ, которым успешно пользуются в других случаях, например в теории Прандтля пограничного слоя течения вязкой жидкости [16). Тогда пограничные условия налагаются на х= — о:г н х= вместо х= — в и х= — в. Ударная зона при этом определяется несколько произвольно, как интервал, в котором происходит заметное изменение р, р и о. Эта задача с граничными значениями рассматривалась различными авторами (см. [4, 17, 451) в предположении о постоянстве коэффициентов 1 и >., а также Томсоном [46), принявшим во внимание изменение и и Х с температурой.
Результаты этой теории таковы: ударная зона так узка, что ее ширина соизмерима с длиной пробега газовой молекулы. Это показывает, что для изучения переходной зоны теория, рассматривающая газ как континуум, становится непригодной и необходимо обращаться к понятиям кинетической теории газов.
й 64. Соотношение Гюгонио. Определенность условий на ударной волне Для дальнейших рассмотрений оказывается удобным ввести - и р как независимые переменные вместо в и 5 и рассматривать энергию как функцию е(-, р) от ". и р. Это возможно, так как мы предположили, что ~,) 0 [см. (2.07)] для функции р = д (-, 5). Пользуясь функг1ггей Гюгонио, равной нулю при О ОС, СООПЮШЕНИЕ ПОГОННО. УСЛОВИЯ НХ УЛАРНОЙ ВОЛНЕ 143.
— р=р, мы можем записать соотношение Гюгонио в простом виде сс (2 Р) е(т Р) Е(то Р )+(' "о) — —, (64 О1) гг("* Р) =" О. (64.02) Оно характеризует все возможные состояния (т, р) по одну сторону ударного фронта, которые совместны с тремя условиями на разрыве (54.08 — 54.10), если заданы значения (-„р,) на другой стороне. График соотношения Гюгонио на плоскости (-,, р) называется кривой Гюгонссо (рис. 52). Для политропических газов, у которых 1 1 — ив е= Р.=.— — — —. Рт — СВ2 (64.03) [см. (3. 04) н (14. 06)], функция Гюгонио имеет вид йн О(2 Р) =(т 1с .о) Р ('о И т)ро (6404) т.
е. кривая Гюгонио — равнобочная гипербола. функция Гюгонио очень полезна для выяснения вопроса о том, какие данные определяют ударный переход. Три соотношения на ударной волне (54. 08 — 54.10)' представляют три уравнения между семью величинами т„т„ро, р„и„и, и К потому что е можно считать заданной функцией -. и р. Поэтому, если трн нз этих величин заданы, остается только одно- параметрическое семейство разрывов. Ударные соотношения между семью величинами нелинейны и поэтому, в том случае, когда, кроме начального состояния, задана еще одна величина, не обязательно описывают разрыв; но все же при довольно общих условиях справедливы сле. дующие теоремы: (А) Состояние (О) на однои стороне фронпса и скорость фронта Сс полностью определяют состояние (1) на другой стороне фронта.
(Б) Состояние (О) и давление р, определяют скорость ударного фронпса и все соссгсояние (1). (В) Состояние (О) сс скорость и, определяют скоросспь фронта и состояние (1), если указайо, находиспся ли состояние(0) впереди или позади фронта. Отметим, что в случаях (А) и (Б) данные полностью определяют, находится ли (О) позади или впереди фронта.
Условие для последнего, как мы увидим, есть , 'и, — сс'~ ) с, в случае (А) н р, > по в случае (Б). С другой стороны, в случае (В) данные определяют, какое состояние находится справа и какое гл. ш. ОднОмеанОе течение Ри < РООО(сион,. СО) ДЛЯ (А), (и, — ио)е < Ро (т„„„, — та) длн (В).
(64.05) (64.06) Эти условия относятся, однако, только к тому случаю, когда состояние (0) находится позади фронта. 1) ) Другой способ будет дан д:и подптроппчеснпд газов в й 68. слева от ударного фронта согласно тому, что и , и„ „„ -[см. (57.01)1. Условия, прн которых эти теоремы могут быть доказаны можно выразить по отношению к адиабате Гюгонно Н(т, р) = 0 с началом в точке (то, Р,). Этн условия таковы: 1. Давление меняется вдоль кривой Гюгонио от нуля до .бесконечности.
Значения - могут меняться между конечными пределами т „, и с Это имеет место, например, для политропических газон, у которых т меняется вдоль кривой Гюгонио между с„,н„ вЂ вЂ и т„ и -„„, = и с„ как это ! Р видно из (64. 04). 1С,-т) )р-р,) и Гоп и,)Е 2. Вдоль кривой Гю- гонно др)де < О. Состояние оа еоронюе, 3. Каждый луч, про' имеющее )В) поаори веденный из центра (т„ с сюояние поооаи Ра), пересекает кривую ссастоянием ГВ) оавронюе ГЮГОНИО В ОДНОЙ тоЧКЕ, если он пересекает ось -. в точке т < ти„, . ~ Гюоонио Условие 3 удовлетво1 ряется в весьма общем )т-т,) )р;р)иги,-и„)е случае, как будет показано в ближайшем параграфе.
Для политропичеРис. ай Крпвая Г1огоппо и решение скнх газов все три услозадачи (С). вия следуют из выраже- ния (64.04). Если даны состояние (0) и Р„ то условия 1 и 2 обеспечивают единственность значения т„удовлетворяющего Н(тн р,) = =О. Тогда значения аз = тес и О)= те) находятся из (59.02). Знак т зависит от того, обращен ли фронт вправо, рл< 0, или влево, и иО. Скорость разрыва тогда равна 17=на — Оа. Этим доказана теорема (Б). Для справедливости теорем (А) н (В) надо наложить даль- нейшие условия, а именно: р м. основныв своиствв удврното ртврвходА 145 Чтобы доказать теорему (Л), мы заметим, что величина — ир — в,п,, определяемая по исходным данным, равна отношению (р, — рр)Ят, — -.,) по (59.02).
Поэтому, чтобы найти -., н р„мы должны только пересечь кривую Гюгонио лучом, пРоходЯщим чеРез (-.„Рр) и имеющим наклон — тт. По Условию 3 и согласно соотношению (64.05) существует только одна точка пересечения. Значение ют тогда находится из вт = т т,. Чтобы доказать теорему (В), мы применим соотношение (59.05), пользуясь которым найдем член (и, — ир)'. Таким образом, чтобы определить -., и р„мы должны только пересечь гиперболу (т — -.,)(р — р,) = — (и,— и,)' кривой Гюгонио. Так как наклон гиперболы положителен, то из условия 2 и неравенства (64.06) следует, что есть два таких пересечения, отвечающих двум возможным случаям, когда состояние (О) находится позади и впереди фронта. Величина и находится потом из (59.02); она положительна, если фронт обращен налево, и отрицательна, если фронт обращен направо.
Скорость фронта определится из (7=-п,— трт=и, —;,т. 9 65. Основные свойства ударного перехода В настоящем разделе мы установим четыре основных свойства газа по обе стороны от ударного фронта. Силой разрыва мы будем называть лробую нз разностей р, — р„р, — р, нлн ~о ~. 1. Возрастание энтропии в ударном фронте является величиной третьего порядка по сравнению с силой разрыва. 11.
Возрастание давления, плотности и температуры в ударном фронте отличается от обратимого, адиабатического возрастания этих величин, начиная с членов третьего порядка, по сравнению с силой разрыва. При этом предполагается, что начальное состояние и одна нз величин конечного состояния одинаковы для обоих процессов. И!.
Ударные волны ведут только к сжатию. Точнее, плотность н давление на ударном фронте возрастают. 1Ч. Скорость течения относительно ударного фронта сверхзвуковая перед фронтом и дозвуковая за фронтом. Для политропических газов эти свойства легко усмотреть из формул для переходов, которые мы обсудим в 9 67.
Замечательно, что в общем случае идеальных газов эти свойства существенно зависят только от основных предположений (2.04 — 2.07) о функции р — -- л'(-., 5), а именно: д <О, д. =- — р"-г-", (65.01) д <0, (65.02) д;'.0. (65.03) 1О Р, кнрарт и к. ррярричс 146 гт ш одноатеяноп тю!ениг! Прежде чем установить эти факты с полной общностью ", мы отметим, что первая часть свойства !Ч непосредственно следует из П!, если предположить вместо неравенства (65.02) несколько более строгое условие — „, ) О. Ибо, так как 5! > За взр н й;)О, из уравнения (50.03) следует соотношение Р(Р! 8!) — Р(М Зо) Р(аь! ~а) — Р(ра,зя) гг! — га г! Бм где р есть надлежащим образом выбранное значение, проме- жуточное между оа и о,.
Поэтому (65.04) ОО~! > са' 1!з того, что рзюа=рго„р!)ра и по утверждению П1, получается [юа, '> [о! [. Тогда из (65.04) мы имеем желаемое соотношение юа[) с,. Заметим, что в этом доказательстве не использовалось третье термодинамическое соотношение для ударных волн. Докажем теперь наши четыре утверждения в общем случае -"'. Мы очень просто установим то важное обстоятельство, что различие между ударным и адиабатическим переходами имеет место только в членах третьего порядка относительно силы разрыва и поэтому становится заметным только для „сильных" разрывов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
