Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Этн волны разделены теперь новой средней зоной (тв) с постоянной скоростью и" и постоянным давлением р" (рнс. 79). Мы должны найти только состояние (ти) н волны, связывающие (г) и (1) с (т*). Если известны состояния (1) и (г), мы должны только провести через них кривые 6. Тогда точка пересечения нх определит состояние (т*) и волны, связывающие (ия) с (1) н (~). Рис.
В7. Столкновение двух волн разрежения. Рис. Вх Одна ударная волна перегоняет другую. На практике графическое построение часто не дает достаточной точности, но оно показывает, как надо вести численные расчеты. Для иллюстрации этого метода рассмотрим несколько случаев более подробно. Чтобы изучить столкновение двух ударных волн 5 и 5 мы заметим, что наши состояния (1) н (г) должны быть представлены на диаграмме (и, р) так, как на рис. 80, потому что они связаны с (т) соответственно волнами, обращенными вперед и назад (и поэтому не вполне независимы, что не существенно для нашего метода).
Кривые 6, и 6, согласно нашей диаграмме должны пересекаться в точке т*, и пгв лежит в верхней части как 6и так и 6,. Поэтому оба перехода, как мы и утверждали, являются ударными (рис. 66). В состоянии (т") мы имеем постоянные значения р и и. Но ударный переход из (г) в (тв) определяет в общем случае значение р , отличающееся от значения р , получаемого ударным переходом из (1). Поэтому в зоне (тв) плоскости (х, 1) есть линия контактного разрыва, совпадающая с путем частицы, выходящим из точки столкновения.
Столкновение двух волн разрежения приводит к конечному состоянию, которое может быть определено так же легко. 1ВВ ГЛ. Щ. ОДНОЫЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Здесь относительные положения (и), (1) н (г) и, следовательно, (лев) непосредственно видны на рис. 8! (см. также рнс. 69). Мы убеждаемся, что (ив) лежит на тех частях О, и О„которым отвечают волны разрежения.
Это подтвержлает, что й й, — й й, как и указывалось ранее. (Контактные разрывы конечно, не возникают, потому что энтропия не меняется.) Бывают случаи, когда кривые не пересекаются. Тогда процесс проникновения длится неопределенно долго (см. 1521). Несколько тоньше задача об одной ударной волне, перегоняющей другую. Здесь все начальные состояния (1), (и), (г) разделены ударными фронтами, обращенными вправо; мы имеем Р~)Р >Р, и,) и„,) и,. Точка тл на диаграмме (и, р) лежит, очевидно, на О„потому что и связано с г ударной волной; на той же кривой О, должна лежать и точка шв. С другой стороны, шв лежит на О„связывающей ее с 1, « так что возникает картина, представленная ~'«с.
33. диаграмма на рнс. 82, если О, проходит справа от 1. Р) а'Я Ул'Рио" Можно показать, что это имеет место, волны и волн, получа- б ющился в трубе со если т < —, воспользовавшись формулами внезапно убирав- 3 щейся заслонкой. кривых о н (~ (см. [51 и 52, АЗ)).
Поэтому наша диаграмма показывает, что возникает усиленная ударная волна 5, бегущая вперед (между г и тв), и слабая волна разрежения, бегущая назад. По тем же причинам, как и для встречных волн, здесь можно ожидать контактного разрыва в зоне (тв). Если, однако,; ) --, то возможны положения, когда О, 3 проходит слева от 1, так что получается (слабая) ударная волна вместо слабой отраженной волны разрежения.
Развитый здесь метод рассмотрения элементарных взаимодействий, очевидно, применим и к общей задаче Римана (см. $80). В задаче о разрыве в начальных условиях, поставленной в э 80, начальные состояния (1) и (г) представляются двумя точками (О, р,), (О, р,) на диаграмме (и, р), показанной на а 82. пРОцесс В3АимнОГО пРОникнОВения Волн 1Вй рис.
83, где непосредственно видно, как возника2от промежуточное состояние (тв) н другие величины, относящиеся к этой задаче. $82. Процесс взаимного проникновения волн разрежения Как уже подчеркивалось, приведенный в $ 81 анализ относится только к элементарным волнам, возникающим в результате элементарных взаимодействий. Ио если во взанмбдействие включаются волны разрежения или контактные поверхности, то создается более сложное течение, прежде чем Рис.
84. Взаимодействие двух волн разрежения. отойдут элементарные волны. (Иногда конечное состояние такого движения вообще не достигается.) Этот процесс проникновения требует решения задачи с краевыми условиями для дифференциальных уравнений течения. Как было указано выше, в общем случае мы должны рассматривать уравнения (17.01 — 17.03) с непостоянными разрывами и поэтому непостоянной энтропией.
К счастью, в случае столкновения двух простых волн задача проникновения содержит только дифференциальные уравнения' изэнтропического течения и может быть явно решена для политропических газов на основе теории Римана (см. % 38). Пусть сталкиваются две волны разрежения, й = 1с, и й =тсз (см. 5 68). После первой встречи в точке Р(х„~,) обе волны тхз, и тх22, состоящие из семейств прямолинейных характеристик С и С+ соответственно, вдоль которых постоянны и и с, вступают во взаимодействие н образуют область проник- гл.
ш. Олноменное течение ч 1 1 новения Я, ограниченную характеристиками С, С+, С н С . Попадая в 9 прямолинейные характеристики искривляются, и и и с изменяются вдоль них. Но рзи+(! — Рл) с и рзи— — (! — из)с остаются постоянными вдоль С+- и С -характеристик соответственно. Наконец, после выхода из Я характеристики снова становятся прямыми линиями и представляют две „прошедшие" волны разрежения: Дт н Яз.
а, г г Рис. Вб. Взаимодействие двух пентрироваиных волн разрежения. Рис. Юо. Область су в плоскости ииварнантов Римана, отвечающая обтасти проникновении 0 (см. фиг. З4). Если инварианты Римана г и з введены как характеристические параметры с помощью уравнения (37.05), то задача сводится к решению дифференциального уравнения Г„,+г+ (~,+У,)=0, (82.0!) ! / 2 с=ге= — ~и + — С) т ! о о (82.02) 1 1 2 с) (82.03) ! где ) =-,;, . Эту задачу следует решить в прямоугольнике, так как область Я взаимно однозначно отображается на прямоугольник й, стороны которого параллельны осям на (г, е)- плоскости. Здесь линии С'„н С представляются следующим образом: з оо.
нооцасс взлимиого пооннкноввния волн соответственно, тогда как характеристики С+ и С изобра- 1 о жаются так (рнс. 85): 1 / 2 г = г, = — ~ио+ - с,) о (82.04) 1 ! 2 я=я,= — — ~и — — с ). 2'1 т — 1 1 (82.05) Далее, так как характеристики С' и С, так же .как и распределение и и с вдоль них, даны явно, поскольку известны волны й, и )со, то можно вычислить 8(г, я,) и 8(г„я). Итак, задача определения области проникновения Я двух простых волн равносильна задаче о „характеристической задаче начальных значений" для уравнения (82.01). Она может быть решена в явном виде для некоторых частных случаев. Для примера.мы рассмотрим тот частный случай, когда волны й, и осо центрированы в точках (ло О) и (х„О), так что они встречаются в (О, 1о) (рис.
86). Далее, мы можем предположить, что и, = 0; тогда формулы (82.02 — 82.03) можно привести к более простому виду 1 го=за= со. ; — 1 (82,06) Распределение х и 1 вдоль г = г„ определяется подстановкой (82.01) в (38.02) (82.07) а из уравнения прямолинейных характеристик, покрывающих И„. получаем Х вЂ” Ха (т — 3, т+1 го 1 Я) г 2 2 Подобным же образом для я= я, = о. г о за (82.09) Если исключить из этих двух уравнений х„то для г=г„ будем иметь (82.08) (92 ГЛ. НО ОЛНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Итак, мы получаем начальные условия о(» ЕО)=оО~ )»О « » .--»» /г,+оо !' ~.+..) ' (82.10) ( го + оо ~ л г(го е) =- го —, ° ео 4 з4 ее ! Го+о» (82.11) Как показал Риман 1381, решение (82.01), удовлетворяющее начальным условиям (82.08 — 82.11), может быть записано прн помощи гипергеометрической функции Р(а, Ь, с, г) в виде »(» е) — » ( о+ "1 р'~1 ) ) 1 (»о г)(оо о) !»+е» 1 ' (го+оо)(г+о] l (го+ а») г, » )» 1 (»'о — г) (оо — о) ! (82 12) (»о+о)" (г+ оо)» ! ' ' (»'о+ о) (г+оо) / Из (82.12) можно вывести интересные формулы.
Например, продолжительность взаимодействия двух волн равна л »(г, з) ф) Л 1 (оо — од('о--о)) сс 1 о В согласии с нашими предыдущими замечаниями (см. 5 38) функция Р(1 — Л, Л, 1, г) приводится к конечному многочлену степени Л вЂ” 1, если Л= --- — равна целому положительному ! т+! 2 т †! 2 О»+1 числу»!» или если; = -; в таких случаях решение за- 2Ф вЂ” 1 дачи дается в конечном виде. Для произвольных значений Л представляет математический интерес следующее замечание, принадлежащее де Прима (в небпубликованной заметке).
Как известно из теории гиперболических дифференциальных уравнений (см., например, [32], гл. 5), решение задачи о начальных значениях всегда может быть выражено посредством функции Римана»с(г, з; г, з) от г и з и двух параметров г, з, удовлетворяющей как функция от г и е дифференциальному уравнению (82.01) и как функция от г и е— ~опряженному дифференциальному уравнению »т — = (»Г,— +»т,— ) + = 0 (82.14) Л 2Лй г о»+о Г ~ (г+о) 9 ВЗ. ПРОЦЕСС ВЗАИМНОГО ПРОНИКНОВЕНИЯ ВОЛН и дополнительным условиям для з=з, Х )Аа- — —, Я=О для г=г, +З (82. 1,5) для г=г, з=з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
