Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Можно было бы, наоборот, ожидать детонации, при которой энтропия имеет максимум. (Это и привело некоторых авторов к ошибочному утверждению, что 5 имеет максимум в В.) Интересно также, что детонация Чэпмена — Жуге является самой медленной из возможных. Мы начнем доказательство этих утверждений с вывода неравенства — ~ > 0 В С, на где дифференцирование происходит вдоль кривой Гюгонио.
Это непосредственно следует нз утверждения, сделанного в конце $86, что луч, проходящий через (т„р,) с наклоном, несколько большим или меньшим, чем касательный луч через тЭ или С, соответственно пересекает кривую Гюгонио в двух точках вблизи й или С. Дифференцируя далее равенство = (р ро) (т тю) ея вр ~й и~ вдоль кривой Гюгонио [см. (87.02)), получаем 2Т вЂ” = — (т — т,) — вйи С, вгя вчр (87.09) и~з ать Ы потому что — =0 в этих точках.
Следовательно, т — )Овй, вгя еФ Ф5 — <ОвС. т 5 88. ПРАВИЛО ЖУГЕ Мы исключим теперь знак равенства нз следующих соображений. Дифференцируя соотношение р =- д(в, 5) вдоль кривой Гюгонио, мы находим, что — „, =8;+8,~, Фр —,=д;,+8,5 в Р или С, потому что в ннх 5, =О. По основному предположению д >О последнее равенство показывает, что р„и Я„ие могут одновременно обратиться в нуль в Р или С. Поэтому мы имеем ' > 0 Р нли С, (8?.10) :>О ВР, (ов С.
Л25 ввз нив Ввв (87.11) Последнее соотношение показывает, что 5 имеет минимум в Р и максимум в С. Дифференцируя равенство (87.07) вдоль кривой Гюгонио, мы получаем с помощью (87.01) нн ВВР— — — вРи С, Ввв н — нв Ввв откуда по (87.10) вв 2 вв "")О в Р, — '"(О в С. Ввв ввв (87.12) Отсюда следует, что ~ов) имеет минимум в Р и максимум в С. 14 Р. Кнннн н К. Фннннннн 8 88. Правило Жуге Мы даем теперь формулировку тех характерных свойств, по которым можно отличать сильные процессы от слабых. Эти свойства заключены в следующих утверждениях, которые мы будем называть правилом,Жуге.
Течение газа о>пносшпельно фронта реакции — сверхзвуковое впереди фронта детонации, сверхзвуковое — позади фронта слабой детонации, дозвуковое — позади фронта сильной детонации, дозвуковое — впереди фронта дефлаграции, дозвуковое — позади фронта слабой дефлаграции, сверхзвуковое — позади фронта сильной дефлаграции. Правило Жуге лучше всего выводится на основе предложенного Г. Вейлем метода рассмотрения ударных волн, 210 Гл.
!и. Одномегное течение — (О и)0 ея Ж (88.02) в первой и второй точках пересечения с детонационной ветвью соответственно. Аналогично — )О и(0 ея Ж (88.03) соответственно в первой и второй точках пересечения с дефлаграционной ветвью. Вдоль прямой линии ггр/б ч = (р ро)йт ~о)1 изложенного в $ 65 (см. также [731). Приводимые ниже факты, как будет показано, справедливы для каждого идеального газа, а поэтому и для газа, сгоревшего в процессе реакции. На каждом прямолинейном луче, проведенном в плоскости (г,р) через точку (чм р,), энтропия имеет максимум там, где ее значение стационарно. Следовательно, она не может иметь больше одного максимума.
Далее, благодаря соотношению ИНш= ТЮ, (88.01) которое по (87.02) справедливо вдоль любого луча, функция Гюгонио Н' ' имеет тоже не больше одного стационарного знао) чения на луче, и это значение — тоже максимум. Из этого непосредственно следует важное утверждение, сделанное раньше, в э 87: прямая линия, проходящая через точку (к„р,), пересекает кривую Гюгокио ке более чем в двух точках. Иначе функция Н'' имела бы по крайней мере два стационарных значения на этой линии. Рассмотрим теперь два пересечения, которые прямая линия, проходящая через точку (ты р,), имеет с какой-либо из двух ветвей кривой Гюгонио, описываемой уравнением (86.06) Н: (к Р) =Е (тв Ро) Е (го Ро) и неравенством (86.07).
„Первая' точка пересечения отвечает слабым, а „вторая" †сильн процессам. В обеих точках функция Гюгонно Нв' имеет одно и то же значение, а поэтому она имеет максимум в некоторой промежуточной точке. Следовательно, энтропия о тоже имеет максимум в этой точке, и, так как энтропия не имеет других стационарных значений вдоль луча, она возрастает в первой точке пересечения и убывает во второй точке. Если луч пересекает детонационную ветвь, г убывает вдоль него от точки (т„ р,), н поэтому последнее утверждение выражается так: а аа.
пРАВилО жугв 211 следовательно, Ир~г1 т = — р'о' по (84.04). Далее, вдоль адиабаты 5/5 = — с(р/Фс, поэтому 5,/5 =р'с' по (2.05). Следовательно, — = р' (с' — о') 5, (88.04) потому что 5 =1/р,) 0 по (2.0?). Итак, условия (88.02) и (88.03) равносильны следующему: с(!о! и с)!о) (88.05) Рис. УЗ. Кривая Гюгонио для состояния впереди фронта реакции, если задано состояние (тт, рд позади него. соответственно в первой и второй точках пересечения с детонацнонной ветвью и с)(о) и с<)о! (88.06) в точках пересечения с дефлаграционной ветвью. Этим доказана часть правила Жуге, относящаяся к состоянию позади фронта детонации и дефлаграции. Чтобы доказать правило Жуге для состояния впереди фронта реакции, мы будем считать состояние позади фронта заданным и будем менять состояние впереди него.
Тогда уравнения (86.01) или (86.06) принимают вид Н"'(т, р) =- Етн (т„р,) — Е"'(т„р,), (88.0?) где член в правой части отрицателен по предположению (85.05). Снова Н'' и 5 имеют не более одного стационарного значения на луче, и это значение — максимум. В противоположность 212 гл. нь одномггног тгчгнна кривой Гюгонио, даваемой (86.06), каждый луч, проходящий через точку (ь„р,), может пересечь кривую Гюгонио не более чем в одной точке. Действительно, предположим, что имеется более чем одна точка пересечения; тогда величина Н~1, равная <о1 нулю в точке (то р,) и принимающая то же значение в точках пересечения, должна иметь между ними минимум чего не может быть.
Из тех же соображений ясно, что Н~в уменьшается вдоль луча в точке пересечения. Это же имеет место согласно соотношению (88.01) для энтропии. В точке пересечения с детонационной ветвью мы имеем т > т„поэтому там сЮ/Ы т < О, что согласно (88.04) равносильно тому, что ог > с'. Таким образом, течение впереди детонационной волны— сверхзвуковое. Тем же способом мы находим, что течение впереди дефлаграционной волны — дозвуковое, о' ( с'. Этим полностью доказано правило Жуге. Надо подчеркнуть, что это правило просто перечисляет разные комбинации, математически совместимые с законами сохранения на фронте разрыва. Однако в действительности все зти математически возможные течения не осуществляются.
Как покажет дальнейшее рассмотрение в $93 и 94, сильная дефлаграция никогда не может осуществиться, а слабая детонация возможна только при исключительных обстоятельствах. Откладывая пока этот более глубокий анализ, выведем сначала некоторые следствия из наших математических построений. й 89. Определенность течения газа, включающего фронт реакции Предположим, что в начальный момент времени, 1=0, цилиндрическая труба, простирающаяся от х = 0 до х = со, наполнена горючей газовой смесью и что в этот момент в сечении х=О началась реакция распространяющаяся вперед. Обычно рассматриваются случаи, когда конец х=О закрыт или совершенно открыт. Мы, однако, проанализируем несколько более общий случай, когда в конце х = 0 в момент 1= 0 начинает двигаться поршень с постоянной скоростью ир.
Рассмотрение этого случая поможет не только выяснению вопроса об определенности течения, но будет полезно и для понимания более сложных явлений. Нашей целью является решение следующей задачи: насколько течение газа определено начальным состоянием и движением поршня, если имеется резкий фронт реакции, движущийся с постоянной скоростью в горячей смеси газов? Конечно, разрыв должен удовлетворять законам сохранения (84.01 — 84.03). В 89.
ТЕЧЕНИЕ ГАЗА, ВКЛЮЧАЮЩЕЕ ФРОНТ РВАКЦНИ 213 Учитывая это условие, мы можем рассмотреть существование и единственность решения для течения. Если нет химической реакции, то задача о течении имеет однозначно определенное решение. Это решение содержит однозначно определенную ударную волну для положительной скорости поршня н центрированиую простую волну разрежения для отрицательной скорости поршня. Возникает вопрос, такова ли степень определенности, если имеет место химическая реакция? Другими словами, дано состояние покоя при х ) О, реакция, начинающаяся при 1=-О в х=О, и постоянная скорость поршня и=-ир. Спрашивается, существует ли одно и только одно решение задачи о течении в трубеГ Как мы увидим, это не обязательно так.
Различие объясняется правилом Жуге. Согласно принципам, сформулированным в $ 36, определенность течения зависит от того, являются ли кривые в (х, 1)-плоскости, на которых заданы исходные значения, пространственно- илн временно-подобными. Когда рассматриваются такие кривые, временной характер отвечает дозвуковой, а пространственный характер — сверхзвуковой скорости относительно течения газа. Временно- или пространственно-подобный характер в представлении (х, 1) означает, что два характеристических направления с И > О указывают соответственно в разные или в одну сторону от кривой.
Предположим для простоты, что течение несгоревшего и сгоревшего газов изэнтропично, так что имеются только два характеристических направления. Тогда из утверждений $ 36 следует, что решение задачи о течении в области между двумя кривыми единственно определено в двух случаях: !. Обе кривые временно-подобны и на каждой из них задана одна величина, а в точке пересечения заданы две величины. 11.
Одна кривая пространственно-подобна и на ней заданы две величины, а другая — временно-подобна и на ней задана одна величина. Мы утверждаем далее без доказательства: Если в случае 1 данные непрерывны на пересечении двух линий и здесь эти линии временно-подобны, то решение существует, пока эти линии временно-подобны. В случае 11 решение существует, если допускаются, как часть его, ударные волны. В нашем настоящем случае путь поршня всегда временно- подобен, потому что он тождественен с путем прилегающих к нему частиц; на нем известна одна величина — скорость ир.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
