Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 42
Текст из файла (страница 42)
92). Это принципиально новый результат, который не мог быть выведен из рассуждений $93. Однако он неприменим к процессу сгорания, происходящему при детонации, потому что последний вызывается другим способом в ударной волной. Чтобы проиллюстрировать эти утверждения, мы рассмотрим предельный случай „дефлаграции при почти постоянном давлении" (см. 9 86).
Предположим, что скорость о есть малая величина того же порядка, что и теплопроводность 1 и скорость реакции К; далее, предположим, что изменение давления и вязкое напряжение но — того же порядка, что и о', в согласии с (96.02). Введем з и Т=1трт как независимые переменные. Тогда уравнения (96.03 — 96.04) принимают вид Гл. ю. ОднОмеРнОе тачание ПРИЛОЖЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ 9 97. Среда Твердое вещество способно при одних условиях к упругим деформациям, а при других — к пластическим изменениям формы.
Свойство вещества, характеризующее его как упругое или пластическое, может быть математически выражено соотношением между напряжением и деформацией и будет определено в следующих параграфах (см. также 9 5). В таких упруго-пластических материалах волны распространяются во многих отношениях иначе, нежели в газах. Основное новое свойство (см.
библиографию по этому вопросу) состоит в том, что возможны ударные волны и непрерывные простые волны разрежения и сжатия. Интересно также, что в голове волны разрежения, входящей в область, где материал не напряжен, всегда есть звуковой разрыв.
В противоположность газу, неограниченно расширяющемуся при нулевом давлении, упруго-пластический материал, будучи свободным от напряжений, приходит во вполне определенное начальное состояние. Представление Лагранжа является наиболее естественным для описания движений в таком материале. Рассмотрим упруго- пластический цилиндрический стержень с постоянным поперечным сечением в его исходном (ненапряженном) состоянии. Если стержень деформируется в осевом направлении, то осевая координата х зависит от „начальной" абсциссы а и времени й х=х(а, 8). Тогда деформация определяется по бы!!х строте изменения х = — так: а иа я=х — 1. (97.01) Если р есть плотность массы, а р, — „начальная" плотность, то мы, очевидно, имеем р,аа=рах или ( 1 + В) Р (97.02) Напряжение есть сила, действующая на единицу площади в перпендикулярном направлении, но в дальнейших рассуждениях мы воспользуемся несколько другой величиной.
В действительности движение стержня происходит не только в осевом направлении, потому что осевое удлинение всегда связано со сжатием в перпендикулярном направлении. Поэтому для одномерной задачи имеет значение не величина напряже- е ю. спилл 229 ния, а полная сила, действующая на сечение в перпендикулярном направлении. Эта полная сила, деленная на постоянную первоначальную площадь, есть так называемое пзехничесное напряжение. В дальнейшем она обозначается буквой о и называется просто напряжением. Напряжение предполагается известной функцией деформации о=о(е), (97.03) которая зависит только от природы материала. Мы имеем всегда е 0 для е О, (97.04) т.
е. напряжение положительно в растяжении н отрицательно в сжатии (о = 0 для а=О по определению). Для большинства материалов всегда выполняется неравенство т( е ж)о, (97.05) о=Ее, (е(.<а (97.06) где постоянная Е есть модуль Юнга. Материал будет нами называться пластпинеским, если напряжение нелинейно зависит от деформации, которая превосходит критическую деформацию. Для пластической области мы предположим *1 0 < — и — <Е, )е!)е, (97.07) д2а / <0 е)е "" '()О д < — е,.
(97.08) Надо отметить, что для некоторых материалов есть известная область значений деформации, где напряжение зависит не от *1 Обычно пластическими называются необратимые деформации, остающиеся после снятия напряжений. То, что авторы называют здесь пластическими деформациями, правильнее было бы называть нелинейно-упругими. (Остаточные деформации вводятся дополнительно в й 100.) (Прим. перел.) т. е.
возрастание деформации требует возрастания напряжения. В дальнейшем мы будем предполагать, что соотношение (97.05) выполнено. Материал называется упругиле, если напряжение линейно зависит от деформации. большинство материалов упруги, если деформация не превосходит известного предела или критической деформации е„. Тогда соотношение между напряжением и деформацией такое: ГЛ.
Ш. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 230 РР 11 1 а)т его график представлен на рис. 102. Мы видим, что для, растяжений а) 0 общий ход обеих кривых (а, о) одинаков, Рис. 702. Графий соотношения „напряжение — деформация" для газа, е = — р. Рис. 707. График соотношений между напряжением и деформацией для упруго-пластического материала. так как с7о/с7е уменьшается с возрастанием а; для сжатий, де однако, я < О, наклон †„ — у пластических материалов уменьшается вместе с уменьшением а, а у газов он увеличивается, когда а уменьшается. Значение этого факта выяснится в следующих параграфах. й 98. Уравнения движения Движение частицы с начальной абсциссой а дается функцией х = х1а, 7); поэтому ее скорость равна дх дг (98.01) Тогда уравнение движения риг=о,77с, по (97.01) и (97.02) приобретает вид (98.02) и =8ла, деформации, а от скорости деформирования.
Некоторые авторы такие материалы называют „пластическими". Мы исключили их согласно условию (97.05). Типичный вид функции о=о1а) представлен на графике рис. 10!. Интересно сравнить соотношение между напряжением и деформацией для упруго-пластического материала с адиабатическим уравнением для политропического газа. Для этого мы сопоставим давление с напряжением, взятым с обратным знаком (что не совсем точно, так как а есть „техническое напряжение"). Тогда адиабатическое уравнение для газа получит вид: а м.
Рпдвннния движнния 231 где .а тг и' а (98.03) В качестве второго уравнения мы имеем из (97.01) и (98,01) а = и, (98.04) Разница между этими уравнениями и тем видом уравнений Лагранжа, которым мы пользовались для газов (см. $ 18), 1 состоит в том, что вместо т = — применено е и вместо й = р, ив Р просто а. Рис, 104. График соотношения между „скоростью смещения' и .деформацией" для газа. Рпс.
УОЗ. График соотношения между скоростью смещения е и деформацией а для упруго-пластического материала. й р Р= — = — С, Ра Ро (98.05) где с определено как (98.06) Скорость смещения в упругой области „=,(' .(98.07) постоянна, тогда как скорость звука с= — йа не постоянна. Ниже Ра приводится график характеристической скорости смещения я (е). оа Величина й есть, очевидно, скорость „ , с которой возмущение передается от частицы к частице. Мы назовем скорость гта изменения — „и скоростью смещения и, в частности, я(а) будет называться характеристической скоростью смещения. Скорость смещения д связана со скоростью звука с и с импеданцем й = рс, определенным выше для газов, соотношениями 232 гл, пп одномв нов твчвннн Согласно предположению (97.08), 8.(е) уменьшается во время растяжения, когда а становится больше, чем е„и также во время сжатия, когда е меньше, чем — а .
9 99. Ударная нагрузка Основная задача о распространении волн в упруго-пластическом материале — это задача о движении стержня под влиянием ударной нагрузки, когда скорость внезапно сообщается одному концу стержня и там поддерживается постоянной. Толкающая или тянущая нагрузки, приложенные к стержню, отвечают вдвиганию или выдвиганию поршня в трубе, напол- пенной газом. От выдвигаемого поршня в трубе распространяется центрированная волна разрежения.
Мы будем рассматривать движение, которое возникает, когда один из концов стержня начинают тянуть. Сообщение постоянной скорости иа концевому сечению равносильно, как мы увидим, постоянной деформации еа. Если эта деформация е, мень- уаы, у,й а ше, чем критическая деформация е „, то деформация, возникающая 'н'Рнрп""нан в стержне при распространении волн упруго-пластическом ма- ны~ тоже остается меньше критичетериале. Кривая в плоскости Ской.
РаспрОстранение вОлны управ(а, е) показывает распреле- ляется при этом линейным диффеление леформапнй в упру ренциальным уравнением с постоянго-пластическом материале в момент тт после прило- нымн коэффициентами. В таком жения растягиаающего им- случае начальный разрыв будет распульса. пространяться как разрыв с постоян- ной скоростью смещения.
Как только начальная деформация станет больше, чем критическая, дифференциальные уравнения распространения станут нелинейными, а из нелинейности следует, что распространение начального разрыва в виде ударного скачка или его сглаживание в виде волны разрежения зависит от того, воз- . растает или уменьшается скоростьу(а) смещения с а. Согласно сделанным нами предположениям (см. (97.08)], я'(а) уменьшается, когда е возрастает, при а> а,. Поэтому влияние больших значений а распространяется с меньшей скоростью.
Отсюда следует, что сообщенная внезапно начальная деформация а„ 6 ОО. УЛАРНАЯ НАГРУЗКА 233 превосходящая критическую, распространяется как волна разрежения. Для того чтобы определить результирующее движение, полезно записать уравнения движения в характеристической форме по методам 5 32: аа=+ дсЫ, (99.01) ди+ ФА =О. (99.02) Вводя функцию е ;() =~К() д, о (99.03) мы можем переписать уравнение (99.02) в виде д(и+ р)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
