Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Или, точнее, направления С+ и Г и С и Г+, проведенные через соответствующие точки (х, у) и (и, о), взаимно перпендикулярны. Мы истолкуем уравнения (106.03 — 106.04) геометрически, введя угол А между направлением скорости течения (и, о) и С-характеристикой (дх, ду) в точке (х, у) и угол А' между направлением течения и соответствующей Г-характеристикой (аи, Фо) в точке (и, о). Тогда, имея в виду, что о'=и'+ ю', мы можем переписать (106.01) в виде ст = ое з)пт А (106.06) (106.07) (106.08) и (106.02) в виде с' = о'сое'А', следовательно, А' = 90' — А. и = о соз О, о = о з)п О. (106.09) Соотношение (106.06) справедливо для обеих характеристик, проходящих через точку.
Следовательно, обе характеристики образуют одинаковый угол, угол Маха с линиями тока. Из равенства (106.06 — 106.08) получается также, что составляющая скорости течения, перпендикулярная к направлению С-характеристик, и ее составляющая в направлении Г-характеристик равны скорости звука. Пусть С+ есть та С-характеристика, которая образует с направлением течения положительный угол А, тогда соответствующая Г-характеристика Г„ образует с направлением течения угол А' = 90' — А, потому что ее направление перпендикулярно к С . Конечно, С образует тогда угол — А с направлением течения и à — угол — А' = А — 90' (рис. 112).
Наиболее удобно записать уравнения характеристик, введя угол 0 между направлением течения и положительной осью х, тогда 252 Гл.!ж иззнтРОпичесКОе БезВихРеВОе плОсКОе течение Корни ч+ и ч , будучи наклонами характеристических направ- лений, даются тогда соотношениями Г =1д(О+А), С =1д(Π— А), где знак перед А соответствует только что принятому нами условию для характеристик. В этих обозначениях характери- стические уравнения «06.03 — 106.04) принимают вид у соз(О+А) .=х„з1п(О+А), «06.11) «06.10) уе соз (Π— А) = ха з1п (Π— А), х и Рис. УТ2.
Углы между иаираилеиием течения и характеристиками С и Г. о„з1П (Π— А) =- — и„соз (Π— А), «06.12) о з!п(О+А) =- — и соз(О+А). Надо отметить, что в этих уравнениях как О=-агс16з/и, так и угол Маха А известны как функции и и о по «06.06) и закону Бернулли «02.01). Для политропического газа мы имеем из «02.02) соотношение «06.13) л где д = се1р есть предельная скорость (см. гл. 1, О 15). Величина М= фс=-— «06.14) 5!я А называется числом Маха для течения.
Для сверхзвукового течения оно больше единицы. Для звукового течения, когда а юу. хАРАктеРистики е плОскости ГОЛОГРАФА д= с или М=1, мы имеем А =90', тогда маховские направления совпадают с перпендикулярами к направлению течения. Когда М вЂ” О, мы имеем А- О, т. е.
направления Маха приближаются к направлению течения. В частности, это имеет место А при стремлении к кавитации, с — 0 и д д. Характеристики С часто называются линиями Маха. й 107. Характеристики в плоскости годографа как эпициклоиды Если газ политропический, то дифференциальные уравнения (106.02) для Г-характеристик могут быть решены в явном виде.
В геометрическом выражении Г-характеристики для политропических газов 'в плоскости (и, о) суть зпициклоиды, описываемые точкой окружности диаметра с. ~ — — 1) =. /1 в А =д — с, которая катится по „звуковой окружности" и'+ +о'=с'. Простое доказательство этого утверждения вытекает из предыдущей геометрической интерпретации. Во-первых, пользуясь уравнением Бернулли в виде (102.02), мы запишем уравнение (106.06) в форме дт ),.т+(1 — Вт) з1п' А) = ст . (107.01) Во-вторых, мы отметим, что Г-характеристика есть кривая, образующая угол А' = 90' — А с направлением вектора ц = = (и, о).
Рассмотрим теперь ~1ис. 113, на котором изобра- /1 жена окружность радиуса г= — ( — — 111 с которая касается 2 Р ) в точке Т „звуковой" окружности, описанной вокруг центра О радиусом св. ОЯ представляет вектор Г). Если внешний круг катится по звуковому кругу, то точка Т является мгновенным центром вращения; поэтому траектория Я перпендикулярна к отрезку ТО,. Чтобы отождествить Г с траекторией Я, т. е. с описанной здесь гипоциклоидой, достаточно показать, что угол ОЯТ, который мы временно назовем О, равен углу Маха А. Обозначая угол ОЯЯ через Ч", так что < ОТО~=90'+ —, мы 2 ' получим из треугольника ОГКЯ соотношение цт=(г+с )'+г' — 2г(г+ с„)созц' или —, = — ( — + 1) + — ( — — 1) — — ( —, — 1) сов %', 254 гл.
и. иззнттопичяскоя вязвихяявоя плоскоя тячяния или — = — — 1~ —, — 1) соз' — . е Э~ ~Р' ) 2 По' соотношению соз — =- — з!и с, %" с 2 с„ получаемому из треугольника ОЯТ, мы находим, что да ~ р + (1 — р') э1 и' а) = с . Рис. 1И. Г-характеристики как зпицикаоиды. Сравнение этого результата с (107.01) дает а=А, Через каждую точку кольца с ( и +о ( ~ус= — —,с в пло- 2 2 2 а 1 т скости (и, о) проходят две эпициклоиды, так что кольцо покрыто сетью нз двух семейств Г-характеристик, в соответствии с общей теорией гл. П, $22.
(108.01 ) й 108. Характеристики в плоскости (и, о). Продолжение Определим теперь Г-характеристики аналитически, как интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений (106.02). Естественно ввести для этой цели полярные координаты д и Э вместо и и о, пользуясь формулами (103.10), и попытаться проинтегрировать дифференциальное уравнение — ч =+ дс18А'=+ д1яА, лс са 255 равносильное (106.12).
Проще, однако, установить систему дифференциальных уравнений для составляющих с и д вектора (и, ю) в направлении Г-характеристики и перпендикулярно к ней. Угол, который образует направление Г-характеристики с положительной осью и, очевидно, равен = О + А' = 0 — А + 90' для Г+, (108.02) (108.03) получаем Будем теперь рассматривать а как параметр вдоль Г и определим с и д как функции а. Дифференцируя уравнение (108.06) по а, мы получаем уравнения гГн -„— = с сова — д„я!па — (с в!па+я'сов а), (108.07) В не, хлнлктн нстикн в плоскости !л,а а = а — А' = а+А — 90' для Г . В согласии с этим див1па — г(юсова=0 Рис.
Ые. Соотношение межнуугламн я, а, А н А'. вдоль Г. Из (106.07) и (108.02) мы имеем с=пеона+юв!па; вводя составляющую д по формуле д= юсов а — и я1п а, и=ссова — дя!па, ю=ся!па+д сова. но = с„в1п а+8„сова+(с соя а — яв!п а), (108.04) (108.05) (108.06) 25Г Гл. ж. изэнтРОпическое ВезВихРеВОВ плОскОе течение которые дают при подстановке в (108.03) (!08.08) Из уравнения Бернулли для политропических газов мы имеем с' — с = !2' (д' — с ) = н'йд, (108.09) откуда, дифференцируя по в и пользуясь (108.08), имеем = !22Д' (108.10) Решение уравнений (108.08) и (108.10), очевидно, есть 8 = — Н свз!и!2(в — в ), (108.11) с= с„,созе(в — в ) с произвольной постоянной а .
Подставляя этот результат в (108.06), мы находим параметрическое представление составляющих скорости — = соз !2 (в — а ) соз в + !2 ~ э!И р (в — в„) 2!и а, СВ (108.12) — = СОВ !2 (в — вВ) З!П в — !2 ~ З!П !2(а — вв) СОЗ а, П В угол в — в, изменяется от — — до —, так как с > О. Из 2Р 2Р (108.02) и (108.05) мы имеем я' = — <у з!и А' = — ~у соз А для Г, (108.13) й =~уз!ПА'=~усозА для Г . СЛЕдОВатЕЛЬНО, а С, О дЛя Г+ И я ) 0 дЛя Г, ИЛИ в) ва Отвечает Г+-ветви и в<в, отвечает Г -ветви.
Из нашего построения очевидно, что все кривые, представляемые уравнениями (108.12), получаются путем, вращения одной нз них вокруг начала О. Характеристики Г снова легко отождествляются с эпицнклондами между окружностями и +о =с и и +о = —,с д'.
2 2 2 2 2 ! 2 Рис. 115 показывает различные геометрические величины, входившие в построение. я 109. ппостык ВОлны 257 Для дальнейших приложений мы отметим равенство 19А =р'с1др(в — в ) 3, (108.!4) которое по уравнению (106.06) следует из (108.11) и соотношения 1ф= р'дт — с', вытекающего из (108.06). ф 109. Простые волны Теория простых волн имеет основное значение для нахождения решений задач о течении, получающихся нз элементарных решений.
В $29 простая волна была определена математи- Рис. 11Д Построение пары эпицикаоикааь- ных характеристик. чески как течение в плоскости (х, у), изображение которого в плоскости (и, е) является отрезком одной Г-характеристики. Было показано, что область простой волны покрыта однопараметрическим семейством С-характеристик, линий Маха, вдоль каждой из которых и, е и соответственно с, р, р, т остаются постоянными. Простые волны (см.
$29) обладают следующим важным свойством: непостоянное течение, граничащее с постоянным течением, есть всегда простая волна. Установившиеся двумерные простые волны были открыты Прандтлем, а их теория была развита Майером (100]. Непрямые линии Маха в простой волне могут быть названы поперечными линиями Маха. Изображение каждой из ннх в плоскости (и, о) есть одна и та же Г-характеристика. 17 Р. Ктааат а К. аа катите рза гл, пс нзэнтпопнчвское пкзвнхппвов плоское твчкння (Иногда мы будем называть простую волну Г+-волной или Г -волной в зависимости от того, отображается ли она на Г+- или на Г -характеристику.) Каждая прямая линия Маха отображается на одну точку этой Г-характеристики, и ее направление перпендикулярно к направлению этой Г-характеристики в соответствующей точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
