Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 49
Текст из файла (страница 49)
СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ В ЛВУМЕРНОМ КАНЛЛЕ 271 На рис. 128 показано течение, в котором две маховские ли-- нии перехода пересекаются внутри канала в точке Я. При этом возникают две простые волны 1Р' и И'+. Продолжения линий Маха С+ и С внутри волн %' и 1У+ соответственно являются поперечными линиями Маха для этих волн и пересекают стенки (если вообще пересекают) в точках те+ и гс, Это продолжение линии Маха ограничивает области простых волн. После них начинается процесс взаимодействия, который уже не приводит к простым волнам. Мы скажем больше о таких процессах взаимодействия в следующем параграфе. Рис.
128. Сверхзвуковое течение в канале, в котором возникают простая волна разрежения и простая волна сжатия, граничащие с постоянным течением и имеющие прямые линии Маха, наклоненные по течению. Рис. 129. Сверхзвуковое течение в канале с одной простой волной разрежения и ее .отраженной" волной. Несколько иное течение происходит в том случае, когда одна из линий Маха, скажем С+, исходящая из точки Р+ в на чале изгиба, встречает противоположную стенку в точке Я+ где эта стенка еще прямая. Тогда эта линия Маха является единственной маховской линией перехода и возникает только одна зона простой волны (рис.
129). Эта область простой волны ограничена поперечной линией Маха, т. е. „отраженной" линией перехода Маха, исходящей из точки И+, где линия перехода Маха встречает противоположную стенку. Течение ниже „отраженной" линни Маха носит удобное, но не особенно правильное название — „наложение приходящей и отраженной простых волн". Существует частный случай, когда отраженная волна исчезает и течение ниже „отраженной" маховской линии остается простой волной.
Это происходит, если в точке Я+ на пересечении линии перехода Маха с противоположной стенкой эта последняя изгибается таким образом, что совпадает с линией тока в простой волне 1Р+, продолжающейся в этом случае ниже 272 Гл !и изэнтРОпическое БезвихРевое плОскОе течение отраженной маховской линии перехода. Тогда продолжение течения является продолжением этой простой волны(рнс.130). Заметим, что это течение в простой волне, если рассматривать его с противоположной стенки, имеет линии Маха, наклоненные против течения. Чп Итак, мы видим, что такое течение возможно, но только р, при весьма особых условиях.
Руководствуясь свойствами простых волн, можно Рис. 13д. Сверхзвуковое течение в ка- пОСтРОить канал, кстОРый нале с одной простой волной разре- так изменит направление поження, для которой .Отраженная" вол- стоянного плоскопараллельна исчезает. ного потока, что он преобразуется в другой поток с такими же свойствами, но при этом сожмется в поперечном сечении. Направление плоской стенки в точке 1Т просто должно перейти в новое, нужное направление, а противоположная в. Рис.
131. Каналы, в которых сверхзвуковое параллельное течение, проходя через простые центрированные волны, становится внуковым течением с другим направлением. Рис. 132. Конструкция выходной 'секции канала, в котором спрямляется течение. стенка строится таким образом, чтобы образовывать линию тока наклоненной назад центрированной простой волны с цент- ром 1Т' (рис. 131). (Это построение играет решающую роль в сопле, предложенном Осватичем [146).) В ~м.
взхнмояанствна простых волн туз Исключительно интересно построить такой конечный участок двумерного канала, чтобы течение, входящее в него с надлежащим числом Маха, выходило в виде парпллельпого потока с постоянной скоростью. Решение этой задачи может быть найдено с помощью простых волн. Пусть канал подходит к точкам А„ и А соответственно на верхней и нижней стенках.
Число Маха на входе н форма стенок выше этих точек определяют течение в области, ограниченной линией Маха С , проходящей через А+, н линией Маха С , проходящей через А , до их пересечения в точке О, как показано на рис. 132. Построим продолжение канала за А+ и А таким образом, чтобы конечная скорость теченйя везде равнялась скорости течения и в точке О. Точнее, линии Маха С+ и С, проходящие через точку О, должны быть линиями перехода к постоянному параллельному потоку. Следовательно, этн линии Маха должны быть прямыми, и примыкающий к ним поток должен быть простой волной.
Две поперечные линии Маха этих простых волн С известны вместе с распределением скорости течения, скорости звука, плотности и давления на них. Как было показано выше, в $ 110, эти данные определяют простую волну. В частности, определяются линии тока, проходящие через точки А+ и А . Вдоль них следует расположить стенки выходной части канала до точек В+ или В, где они пересекают прямые линии Маха С+ и С исходящие из точки О. Отсюда канал продолжается прямо, в направлении конечной скорости, Направление рассмотренного течения может быть обращено; и тем самым конструкция, служащая для спрямления двумерного потока, может служить для того, чтобы постепенно превратить плоско-параллельный поток в поток другой формы без разрывов (см.
также $150). й 114. Взаимодействие простых волн. Отражение от твердой стенки Всли взаимодействуют две простые волны 1 и П, например такие, которые исходят от противоположных стенок канала, то по аналогии с взаимодействием двух нестационарных волн разрежения следует ожидать положения, подобного тому, которое' показано на рис. 133 (см. 5 82 гл.!П). Здесь должна существовать область взаимодействия П1, ограниченная характеристическим четырехугольником. Пусть две стороны канала имеют два коротких изгиба и потом продолжаются прямолинейно; тогда нз зоны 18 в курант и к.
Фрнлрихс 274 Гл.щ изэнтРОпическОе БезпихРеВОе плОскОе течение проникновения исходят опять две простые волны: 1' и П'. Если известны две взаимодействующие волны 1 и П, то исходящие волны 1' н П' могут быть легко найдены без решения дифференциальных уравнений в зоне проникновения, т. е. мы можем Рис. IЗЗ. Взаинодействие двух неитрированных простых волн, показывающее область проникновения тп. ределнть волны 1' и П' по рис.
133 (или по соответствующим определить аналитическим соотношениям), найдя характеристические ду ги Г или и и о как функции угла З направления прямых линий Маха. Пусть в области 0 мы имеем постоянную сверхзвуковую скооость и„о„напРимеР па =~уз ) сз, оа = О. Тогда волны 1 и 11 представляются в плоскости годографа дугами эпициклоид 0 — 1 и 0 — 2. Волны 1' и П' тоже представляются дугами эпи- э иа. стРуи 275 циклоид, 1 — 3 и 2 — 3, пересечение которых определяет точку 3, представляющую конечное состояние газа после того, как частицы прошли через обе волны.
Результат отражения от твердой с!пении просто отвечает взаимодействию двух симметричных волн, и стенка заменяется линией симметрии. В предыдущих рассуждениях мы не касались ширины прошедших волн, распределения прямых характеристик в них и состояния в зоне проникновения 1П. Чтобы получить эти сведения, мы должны обратиться к общим дифференциальным уравнениям течения (102.03) и (102.06). Значения и и и известны вдоль характеристических дуг А,А, и А,А, (рис. 133!, ограничивающих приходящие простые волны, соответственно 'двум заданным дугам 1', представляющим 1 и 11. С этими начальными данными мы должны решить уравнения (102.03) и (102.06). Другими словами, надо решить задачу о начальных значениях, заданных на характеристиках, как это описано в 5 24 гл.
11. Решение определит оба семейства характеристик С, покрывающих 1И, н, в частности, характеристические дуги А,А, и АтА,. Эти дуги суть поперечные линии Маха для простых волй!' и 11', которые можно затем построить по способу, изложенному в $110. О методе решения характеристической задачи начальных значений см. замечания в 5 24 и указанную там литературу. Численное или графическое интегрирование на основе этой теории произвести не трудно, что и было сделано для многих случаев, см., например, [103). Метод подобен методу, разъясненному в гл. П, 5 24, и в гл.
1!1, с 83. й 115, Струи В качестве примера взаимодействия простых волн мы укажем явление истечения струи газа, вытекаюшей в атмосферу через отверстие, в виде плоско-параллельного сверхзвукового потока (рис. 134)'!. Наблюдения показывают, что струя вытекающего газа будет отделена от покоящегося атмосферного воздуха границей, на которой происходит разрыв (в действительности вихревым слоем, который утолщается вдоль струи н может в конце концов поглотить ее целиком).
Далее, мы рассмотрим двумерное, изэнтропическое, установившееся течение н предположим, что давление Р, в выходящем потоке газа больше атмосферного давления Р„. Тогда '! В гл. 'т' теченне а струе будет рассмотрено подробнее. 276 Гл 1Ч изэнтРОпическое БВЭВикРГВОе плОскОВ течение возможпо следующее упрощенное описание явления (поскольку струя не разрушена вихревым слоем); см. также 5 148. На краях отверстия сжатый газ расширяется в двух симметричных центрнрованных простых волнах до тех пор, пока его давление не сравняется с атмосферным.
Простые волны взаимодействуют и из зоны проникновения выходят снова как простые волны; затем они отражаются от поверхности разрыва, ограничивающей струю, снова как простые волны проникают друг в друга н продолжаются как простые волны. Эти последние суть волны сжатия, поскольку плотность проходящего через них газа увеличивается. Поэтому они ведут к ударным волнам, если только Рл каждая из них не центрирована по противоположным сторонам рм поверхности, как это было принято Прандтлем. Такое предположение приближенно оправдывается, если мала разность давлений р„— рл. Каки на рис. 134,мы и предполагаем, что эта картина г. г повторяется периодически, пока е дл вихревой слой на поверхности д:с.
не уничтожит явление. Скорость вытекающего газа л определяет соответствующую точку О в плоскости (и, о). Так чавтщеесят когда паралл~тьилмй как известно давление газа на поток попадает в область мень- выхпдн Струн, р =рв» то ОпредеГпесо давлеиия. лено и давление в зависимости от скорости т7 в двух простых волнах, исходящих от края. Поэтому известны точки А и А' на Г,- и Г -характеристиках, проходящих через точку О, где давление соответствует атмосферному р = р„. Этим определена амплитуда обеих простых волн.
Простые волны, получающиеся после проникновения, отвечиот дугам Г - нли 1'+-характеристик, исходящих из точек А н А', до их пересечения в АА. Этим определена амплитуда н двух выходящих после взаимодействия волн. Если разность давлений р, — рл превосходит некоторое значение, то дуги Г или 1'+, выходящие из А или А', не пере- д секаются, а приходят к кругу д= — д. В этом случае процесс взаимодействия продолжается неограниченно, и зона проникновения простирается до бесконечности. О по, мнмхлы пвовходх в поогпых волпхх 277 и критическая скорость со согласно (102.02) с~ = г~6~ ~+ (1 — ~Р) ~~с . (!16.02) Тогда углы ыо и ,, определяются нз равенств о|о =зо Ао+ 90 для Г+ ~во = 6о+ Ао — 90' для Г (116.03) [см. (108.02) н (!08,14)), [ ойдо — ы ! = Н ' аГСС1П И '1И А .
(116.04) И, наконец, угол о как функция 6 определяется решением уравнения !!=м+А+90'=е+агс1дйс1ди(ю — о> ), (!1605) где верхний знак относится к Г+-волне, а нижний знак— к Г -волне. На основании полученных соотношений для полной простой волны удобно составить таблицу в зависимости от; и р, которой можно было бы пользоваться обычным путем, прибегая, если это необходимо, к интерполированию (см. табл. 1). Чтобы пользоваться ею в частных случаях, надо найти нужную часть простой волны из отношения до/с, илн по числу Маха приходящего течения, Мо до,'с„где 0=0,.
Тогда таблица даст соответствующий угол 0о-оо! затем могут быть прочитаны остальные величины, относящиеся к волне. В конце $109 мы виделй, что концы полной дуги 1', где она подходит к предельному кругу, даются равенством о — ~, =+ ~. Тогда нз уравнения (109.02) или из наших 2в й 116. Формулы перехода в простых волнах для политропических газов Для многих целей желательно выразить изменения величин в простой волне в зависимости от изменения угла 6, под которым направлено течение. Для этого достаточно выразить угол м через угол 6, см. 9 109. Пусть на прямой линии Маха заданы угол 0= — 0„скорость течения 17=до и скорость звука с=с,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
