Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Поэтому без ограничения общности можно положить, что составляющая скорости, параллельная 5 в приходящем потоке, равна нулю и считать, что течение приходит к поверхности разрыва с постоянной скоростью и встречает ее под прямым углом. Если скорость !18 не равна нулю, т. е. поток массы, переносимой через 5, отличен от нуля, то закон сохранения импульса требует, чтобы касательная составляющая потока импульса оставалась на фронте непрерывной. Действительно, каждый скачок этой составляющей должен уравновешиваться касательной силой, приложенной к поверхности, но таких касательных снл нет, т.
к. предполагается, что все силы в жидкости перпендикулярны к поверхности, на которую они действуют. Непрерывность касательной составляющей потока импульса требует непрерывности касательной составляющей скорости, потому что поток массы через поверхность непрерывен. Следовательно, если скорость приходящего потока перпендикулярна к фронту, то и скорость газа в состоянии (1) тоже перпендикулярна к нему. Другими словами, 284 Гл.
гч, ПзэитРОпическое БезвихРсаое плОскОе течн!ие косой ударный фронт, рассматриваемый в надлежагцей координатной системе, всегда эквивпленпген спгпционпрному одномерному ударному фрон>пу. Если, однако, в этой координатной системе оа = О„то по закону сохранения импульса в состоянии (1) должна исчезать нормальная составляющая скорости Ф, тогда как касательная составляющая скорости произвольна. В этом случае мы имеем контактный разрыв, который для произвольной поверхности описывается следующим образом. Контактный разрыв Й есть поверхность, через которую нет потока массы (так что течение карт, сательное по обе стороны), но плотность, температура и энтропия терпят на ней разрыв. Однако, как мы далее гг увидим, давление одинаково по обе сто- роны т'.т, Такую контактную поверхность | У можно рассматривать как „вихревой слой", в котором скользят друг подругу два слоя вещества (или два различных Рис.
1М. Нормальная и ВЕЩЕСтна). касательная составляю- для настоящего ударного фронта, чешие скорости течения рез который проходит поток лгассы, мы впереди ударного фронта. ' будем делать различие, как и в случае одномерного течения, между передней н задней сторонами, говоря, что поток проходит через ударный фронт от передней стороны к задней. Чтобы получить соотношения на ударном фронте, мы обозначим буквой гтг' нормальную и буквой А — касательную составляющуго скорости с1, а буквой У вЂ нормальн составляющую скорости ударного фронта (рис. 138). Тогда соотношения для ударного фронта будут иметь следующий вид: Сохранение массы: (118.01) р,(л,— (.г)=р.(йг,— (.г)= .
Сохранение импульса: р, Ы, (ж,— и)+р, = р, ж,(К, — и)+р,. (118.О2) Сохранение касательной составляющей Скорости: (118.ОЗ) ЕО— - Ег, т. е. разность г1,— С1! векторов скорости перпендикулярна к ударной лггнии. я но, соотношения для косого эоонтх волны 2В5 Сохранение энергии: Ро Ро — С') чо+Ро(а!о — У) со+ к~ 1 Ро Рго ЮЧ, +Р, (Ю, — У) е, + НРо (!18 04) 2 где В дополнение мы требуем, чтобы в тот момент, когда частица проходит через ударный фронт, ее энтропии возрастала, 5,— Б,) О. Для стационарного ударного фрон1па, у которого 1/--=О, этн соотношения упрощаются и принимают впд эоРо =Д1~Ро =="'* (118.05) Рогчо, р Р~гч ! р Г', йо 7о (118.06) (118.07) (118.08) 1 о 1 ', 1 — а --го — — — 7 — '-1 = — ао, о ~ о э ~ о л где до=-Мо+Ео есть квадрат скорости течения, а д — предельная скорость. Последнее соотношение выражает тот важный факт, что в стационарном ударном фронте постоянная Бернулли — цо-1-г остается без изменения.
Или, другими сло- 1 2 вами, закон Бернулли справедлив для стационарного течения, если далее оно проходит через ударный фронгп. Конечно, условия (118.05 — 118.06) остаются в силе, если заменить Ж на Х вЂ” (/ и ввести тем самым движущийся фронт ударной волны. 1Те же условия (118.05 — 1!8.06) действуют н для контактного разрыва, если т=О; тогда р,=р, н Хо==И,=О следУют из них, тогда как 1., и Ео так же, как и Р, н Р, могУт остаться различными.3 В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать стационарные ударные волны. Несколько иная и более симметричная запись первых двух условий для стационарных разрывов, выражающих сохранение механических величин, масс и импульсов, может быть получена следующим образом.
Подставляем (118.05) в (118.06) и пользуемся (118.07), тогда находим (р, — ро) =Ро ~~'о(1~'о — %) = Ро (~'о Р'о — ~~'~)+~о(7.о — 7 о)! 288 Гл. 1ч. иззнтРОпическОЕ БезВихРеВОе плОскОе течение ИЛИ 'о (Р1 Ро) Чо (Чо Ч1) и аналогично т1 (Ро Р1) = Ч1 (Ч1 Чо) ~ откуда следуют (Р1 Ро) (Ть Т1) = (Чо Ч1)' (Р1 — Ро) (ТО+ Т1) = Чо Ч1.
(118.09) (118.10) (118.11) (118.12) или — т1'ч'а1 р+ р Фр = О, Уравнения (118.07) и (118.09 — 1!8.10), вместе взятые, равно. сильны уравнениям (118.05 — 118.07), Как и в случае одномерных ударных волн, важно отметить, что условия (118.05 — 118.07) и (118.09 — 118.10) получены иа основании одних только механических законов. Термодинамическая природа среды входит только через условие (118.08). Как указывалось в $ 61, гл. 111, есть много случаев, когда решение задачи облегчается тем, что можно определить течение, не пользуясь термодинамическим условием на разрыве. Для стационарных процессов условия на разрыве показывают, что заданному состоянию (0) впереди ударного фронта отвечает однопараметрическое семейство состояний (1) позади ' фронта, удовлетворяющее условиям на разрыве.
Опуская индекс (1), мы можем рассматривать состояние позади фронта как заданное функциями р и Ч от т, или от т — т„или от любой другой величины, измеряющей силу разрыва. Изменение энтропии в ударном фронте есть величина п1ретьего порядка малоспги относительно силы разрыва. Это утверждение вытекает из аналогичного утверждения для одномерных ударных волн, потому что косой ударный фронт равносилен одномерному, если рассматривать его в надлежащей равномерно движущейся координатной системе, и потому что энтропия, плотность и давление не зависят от системы отсчета.
Если ударная волна — слабая, то механические условия (118.11 — 1!8.12) дают в пределе т — ть-+01 бесконечно слабая ударная волна есть звуковое возмущение, или для бесконечно слабых ударных волн направление волны становится характеристическим. Доказательство — простое: опуская индекс, мы получаем для семейства ударных волн дифференциальные соотношения из (118.05 — 118.06). Д!1( р+ р а1М = — О, т1(!У+ Ыр = — О 5 212, СООТНОШЕНИЕ НВ УЛАРНОЙ ВОЛНЕ 28Т но, так как 2Н= Хр, — ЛЧ р+ 1р = О. ИЯ Вследствие того, что — =0 для -.= — 2,, мы имеем др ал ==с ДЛЯ '=- 'В.
др Поэтому нормальная составляющая скорости течения относительно предельного положения ударной линии при т тр всегда равна скорости звука. Согласно равенству (106.06) это обеспечивает переход в пределе линии 5 к характеристическому направлению. ф 119. Соотношение на ударной волне для политропических газов. Формула Прандтля Термодинамическое условие на стационарном ударном разрыве в политропическом газе (который будет интересовать нас прежде всего), как и в случае одномерного течения, согласно- (118.08) и (9.06) имеет внд 1 2 272+ (1 — ВВ) Е', ==-.
В2 д, + (! — 122) С, '= СВ; (119.01) Л здесь с2 есть скорость звука, еВ=.= р27 — критическая скорость. — ! н 12 =- — '- —. Как и в случае нормальных ударных волн, мы можем заменить (119.01) соотношенпем Р2 Р2 —— РВ Р'22 — Р (119.02) ЯР 122 РВ связывающим только давления и плотности и инварнантным относительно переносного движения 1см. (67.0! )]. Обобщение соотношения Прандтля 27В272=с, полученного 2 ранее для стационарных ударных волн в 5 66, весьма важно для изучения общего случая ударных разрывов в полнтропическом газе.
Чтобы применить это соотношение к косому разрыву, мы запишем ч=-Я+~, (119.03) где 1. есть векторная составляющая, параллельная ударной линии 5, а Я вЂ” перпендикулярная составляющая, так что Я ! = О.. При подстановке в уравнение Бернулли (119.01) н 27+(1 — н)с =с 2ВВ ! л !у. изэнтРОпическОе везвихРЕВОЕ плОскОе течеиис мы находим рМ+р Л -';(1 — р)с =с илн М +(1 — р )с = — с — !т~Е ==с", (119.04) ГДЕ Св — КРИтИЧЕСКаЯ СКОРОСТЬ В НОВОЙ КООРДИНатНОй СИСТЕМЕ с прямым ударным фронтом. Следовательно, пользуясь соотношением Прандтля для этого случая (см.
и 66), мы имеем М,М, ==с' (119.05) нлн! (119.06) МРМ!--с Р й Рис. 139. Поворот теченнл в сторону ударной волны. Этим равенством можно пользоваться вместо термодинамнческих условий в прежней форме. Из предыдущего можно сделать некоторые важные заключения. Уравнение (119.06) показывает, что д,д, ==1/Ма+ЕЕ ~рУМ';+)а> ММ,+А' == — --Се+(! ра)у.'~С'-, потому что рт < 1. Значит, если состояние (О) — впереди фронта и поэтому Мо) М„то М,> се; но мы не можем заключить отсюда, как для нормальных разрывов, что М,(св. ф 120.
Общие свойства ударных переходов Из формул ударного перехода для политропических газов выводятся следующие заключения, имеющие также и общее значение (кроме того, что относится к критической скорости с,) в аих овщиа своиствл Рдлрных пврвходов 289 Скорость течения впереди ударного фронта (если рассматривать течение в системе, связанной с фронтом) — сверхзвуковаяу позади фронта она может бить и сверхзвуковой и дозвуковой.
Первая возможность станет очевидной, если вспомнить, что касательная составляющая 1. совершенно произвольна и может быть выбрана большей, чем с, после чего и а1„и е1, становятся больше с, Еще очевиднее следующее замечание: в косой ударной волне в газе направление течения всегда поворачивает в сторону ударной линии 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
