Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Нормальный ударный фронт представляется, в частности, пересечением ударной поляры с осью и [см. (121.05)[, с 2 '7= — "= и. чо Точка Р с координатами (и, в) вблизи двойной точки (ЧРО) петли поляры представляет слабую ударную волну с малым изменением скорости и давления. Когда Р стремится к двойной точке, ударная волна становится звуковой, вектор Ч вЂ” Ч, становится касательным, и поэтому ударная линия стремится к линии Маха.
Этот факт, отвечающий утверждению, сделанному в Э 1!8, может быть выведен непосредственно из уравнений (121.02). Следовательно, касательные к петле в двойной точке являются нормалями к линиям Маха, так как они перпендикулярны к предельной ударной линии. вектор Ч вЂ” Ч, перпендикулярен к ударной линии. Составляющие 1.2=1, Ау„ук' векторов скорости Ч, и Ч относительно ударной линии могут быть прочитаны по диаграмме, как показано. Ударная поляра в плоскости (и, ю) дает непосредственно соотношения только между скоростями.
Давление позади ударного фронта определяется потом по (121.07), а плотность по (119.02). Из диаграммы можно вывести следующее заключение, которое потом легко проверить вычислениями: угол р между ЛО гл. нд изэнтропнческое еезвнхревое плоское течение Полярная диаграмма показывает, как определить ударную линию между заданным состоянием (О) перед фронтом, если дано либо направление фронта р, либо угол поворота О. Из нее также следует, что есть предельный угол 0= 0, „, такой что для 0) О„„не существует переходов (рис.
150), тогда как для О ( О„„возможны две ударные волны, сильная и слабая, с большим и малым изменениями скорости. Когда О становится малой, мы имеем в пределе либо бесконечно слабое Рис. 1Я. Крайнее возмоленые л углы а на Рис. 1о1. Предельный угол Н. пред. пред.. звуковое возмущение, либо сильную нормальную волну. Для 0=0„,д обе возможные волны совпадают. Ударный угол р становится равным либо маховскому углу А для звукового разрыва, Либо 90' для нормальной ударной волны. Между этими значениями он проходит значение ~„„„отвечающее крайнему значению О,д угла О.
д Дла пРедельного слУчаЯ ~7е=е7 мы имеем совпадение з!и 0 „,„= — . д (122.01) У воздуха 7 приблизительно равно 1,4, и мы находим, что д л 0„„, = 45,5'. Соответствующий угол р „„есть (122.02) что составляет для воздуха примерно 67,75' (рнс. !53). В другом предельном случае, е7е=с, р„ , приближается к 90'. О„,д =90', ~=90' для е7е=с, (122.03) как это видно из (121.07). 5 !ЕЛ. УДАРНЫЕ ПОЛЯРЫ И КООЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 297 Рис.
157. Ударная поляра л для предельного случая се = 4. Рис. 152. Ударная поляра для предельного случая че = с,. сила ударной волны бесконечно велика. По (121.04) ударная поляра сводится здесь к окружности оя = (д — и11и — рад1 (рис. 153). Надо отметить, что для слабых ударных переходов и достаточно малых 0 состояние сзади фронта сверхзвуковое, а для достаточно сильных переходов оно дозвуковое. Как показывает простое вычисление, для крайнего угла 0„,„ заднее состояние дозвуковое. Та же ударная поляра может служить для определении состояния впереди фронта, если состояние (0) задано позади фронта (рис.
143 и 144). В этом случае, однако, неизвестное состояние определяется по двум „передним ветвям" с д ) с7„ асимптотнчески стремящимся к линии и = сг. Эти две ветви представляют возможные ударные переходы внутри предельл л ного круга ил+ за = па, и снова имеется предельный угол 0 = 0, отвечающий пересечению передних ветвей с предельным кругом Еще несколько слов надо сказать о предельных случаях, которые получаются, когда де приближается либо к с, либо л > е к д.
В первом случае (рис. 152) петля стягивается в точку, а две выступающие ветви образуют в этой точке угол. л В предельном случае, д =д= с (р, либо перед ударным фронтом находится кавитация р, = О, ре = О, либо давление позади фронта бесконечно, р= . В каждом из этих случаев 998 ГЛ.ЮК ИЗЭИТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕИИЕ В предыдущих рассуждениях мы предположили, что состояние (О) сверхзвуковое. Рис.
144 показывает ударную поляру для дозвукового состояния (О), т. е. для дВ(с . В этом слу. чае поляра состоит из единственной ветви без петли, определение ударной линии производится так же, как раньше, и дает всегда только такой ударный фронт, для которого заданное состояние (О) является задним.
Очевидно, что если ударная поляра для заданной точки Р, проходит через точку Р„ то и ударная поляра для точки Р, проходит через точку Р,. Ясно также, что ударные поляры для точек Р, с д ) с охватывают все возможные положения. Для практических целей удобно изготовить семейство таких поляр с различными значениями !уВ)с, нанесенное иа прозрачную бумагу. Другие методы рассмотрения косых ударных волн состоят в использовании иных ударных поляр.
Для многих целей особенно подходит поляра (р, О) (рис. 145). Пересекая ее вертикальными линиями 0 =сопз1, мы ясно видим два возможных перехода, сильный и слабый, производящие один и тот же поворот на угол О, из этой же диаграммы видны и крайние возможности. То же справедливо и относительно поляры (р, О) (рис.
146). й 123. Течение внутри угла и обтекание клина Изучение косых ударных волн в предыдущих параграфах позволяет количественно определить течение внутри угла или обтекание клина, на которые указывалось в Э 117. Если О,.— угол дополнительный до 180' к данному, в котором происходит течение (рис. 136), меньше, чем предельный угол 0„ „, связанный с состоянием (р„р„дБ) приходящего течения, то возможны два косых ударньГх фронта, в которых течение поворачивается на угол О,— сильный и слабый. Возникает вопрос, какой нз них осуществляется в действительности. Часто утверждают, что сильный фронт неустойчив, и поэтому осуществляется только слабый. Убедительного доказательства этой неустойчивости, повидимому, никогда не было дано.
Но даже не говоря об устойчивости, вопрос о том, какой из двух возможных ударных разрывов будет иметь место на самом деле, не может быть поставлен и решен без учета гранич-. ных условий на бесконечности. Течение может рассматриваться как предельный случай течения в канале, когда последний становится бесконечно широким, а наклонный участок неограниченно длинным (рис. 154).
Как будет разъяснено в з 143, течение зависит от условий, налагаемых на выходном а гаь нзлнмодвиствня ынждк кдляньгын волнлын 299 конце канала. Если заданное там давление меньше некоторого предела, то на углу возникнет слабая ударная волна. Если же на выходном конце давление достаточно высоко, то для выполнения этого условия нужна сильная ударная волна.
При соответствующих обстоятельствах эта сильная волна начнется как раз в углу, и поэтому из двух указанных возможностей осушествится именно сильная волна. Подобные же рассуждения позволяют ответить на следующий вопрос: что произойдет, если угол йк в вершине больше, чем предельный угол з„„л ? В этом случае, независимо от Рис.
154..Течение в углу как предельный случай течения в канале. давления на выходном конце, ударный фронт установится впереди угла. Течение позади этого фронта дозвуковое, а дозвуковое течение всегда возможно в углу, где мгновенное изменение направления происходит при нулевой скорости. Итак, угол является точкой остановки. расстояние от угла, на котором устанавливается ударная воляа, существенно зависит от длины наклонной части стенки. Когда эта длина увеличивается и в той же степени увеличивается поперечный размер канала, то ударный фронт неограниченно удаляется вверх по течению, что можно показать из соображений подобия.
Приведенные здесь утверждения являются догадками, но можно думать, что они в общем правильны; тем не менее их необходимо подтвердить подробным теоретическим исследованием. Г. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ОТРАЖЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН й 124. Взаимодействия между ударными волнами Отражение ударной волны В этом параграфе мы будем рассматривать взаимодействия между несколькими ударными волнами, предмет, который в связи с отражением ударных волн возбудил в последние ГЛ.Ш. ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ годы столь большой интерес, что мы ему отводим непропорционально много места.
Мы опустим„однако, родственный вопрос об отражении и преломлении ударных волн на границах раздела различных сред, который также можно рассмотреть прн помощи вышеизложенных методов (см. Тауб [101)). Предположим, что рассматриваемые поверхности ударных фронтов разделяют либо постоянные течения, либо, самое большее, области простых волн (предположение, оправдывающееся по крайней мере в достаточно малых областях). Тогда при решении дифференциальных уравнений в соответствующих областях не возникает никаких трудностей, н проблема построения решений является алгебраической, содержащей только соотношения для перехода между соседними областями.
Основное преимущество такого метода заключается в выяснении картины, возникающей при отражении косой ударной волны от твердой стенки. Подобным же образом может быть рассмотрено отражение от нежесткой границы раздела двух сред. й 125. Правильное отражение ударной волны от жесткой стенки Проблема отражения возникает в связи с физическим явлением следующего типа'>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
