Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 55
Текст из файла (страница 55)
С помощью с„р, и р, определяется нормальная ае ав аг йа аз оч аз ог аг ор.ф, Рис. Тб/. Углы падении ао и отногненнд давлений рю/Р1 в падакпдей волне, для которых возможно и невозможно правильное отражение. составляющая скорости впереди ударного фронта Л', по условиям на фронте, и, следовательно, По = Лго~е1п но н с = р'д'+ +(1 — р')с. Таким образом, отраженная ударная волна может быть найдена приведением к состоянию покоя. Чтобы описать совокупность возможных правильных отражений, рассмотрим прямоугольник в плоскости (п„ро), для которого 0<по<90". О< Рю <1 Рь На рис. !61 этот прямоугольник разделяется кривой Е: и,= п„~„ в зависимости от ро~рт на две области.
Для каждой точки в области 0 < ао < а„„сушествуют два возможных правильных отражения, слабое и сильное, определенные выше. Точкам в другой области не отвечают никакие правильные отражения. Картину, представляющую полную совокупность правильных отражений, можно получить, рассматривая последовательность падающих ударных волн одинаковой силы, например> имеющих одинаковое отношение давлений р,/роз но с различ- а ~ж пвАвильнов отбавив гдлгных волн Зпг ными углами падения ам Если угол в, стремится к нулю, то для слабых отражений состояния (О), (7) и (2) стремятся к тем, которые получаются при нормальном падении ударной волны иа стенку. Поэтому в пределе а, 0 отношение отраженного давления к давлению в волне равно (2 ф + 1) Рз Ро (125.0! ) эФ +1 Ро согласно (70.04).
Когда и, увеличивается, мы достигаем „крайнего положения", представляемого точкой иа кривой Е. В этом положении слабое и сильное отражения совпадают. Как отмечалось выше, для больших углов а, правильного отражения ие существует. Рис. 161 показывает, что в пределе р,=р„когда ударная линия становится линией Маха, крайний угол равен 90', для бесконечно сильных ударных волн, т.
е. для — ' — о, крайРо 1 ний угол стремится к значению агсгйп —, что для воздуха 1 ' с т =-1,4 приблизительно равно 39,970', за подробностями отсылаем к !114). ф 126. Правильное отражение ударных волн. Продолжение Нейман и Зигер [51,114] рассмотрели весьма подробно правильное отражение для различных значений т, ио в качестве параметров оии брали р,~р, и ам Из их результатов особенно интересно отношение давления в отраженной волне к давлению в падающей волне Р,/р, и угол в, между отраженной ударной волной и стенкой. Мы дадим сводку результатов для слабого отражения.
Для малых значений угла падения ав справедливо неравенство а, (а,. Когда ав увеличивается от и,=Π— значения при „лобЬвом падении", отношение давлений сначала делается меньше, чем при лобовом падении в формуле (125.01), а затем снова увеличивается, достигая того же значения при некотором определенном ив= а,.
Особенно замечательно то, что йиачеиие к' ие зависит от отношения давлений в падающей волне и что углы а и в, становятся равными при а =а'. Для политропических газов соз 2 вв*= (т — 1)/2, и поэтому для воздуха в,=39,23'. После того как вв проходит значение в"„отношение 20" 308 гл. пг. нззнтеопическое везвихеевое плоское течение отраженного давления к падающему еще увеличивается и поэтому превосходит то, которое получается при лобовом падении. Однако только для слабых и умеренно сильных ударных волн, с Р' < 7,02 для воздуха, ае и и, становятся равными раньше, Ра чем будет достигнут предельный угол для правильного 90 70 90' 90' д' Ке аг~ 20' 90' 00' бд' бд' ' Ж Вд' бп' Риг. 1б2 Соотношение между углом падения еа и углом отражения пуи правильном отражении для различных отношении 8 = р„/рт давления позади и впереди падающего ударного фронта для 7 — 1,4.
отражения. Поэтому для сильных ударных волн косое отражение никогда не может привести к таким высоким давлениям, какие получаются по формуле П25.0!). Эти замечания о повышении давления при отражении, очевидно, имеют практическое значение; поэтому надо подчеркнуть, что для воды и подобных ей сред положение существенно отлично от описанного, поскольку отношение отраженного давления к падающему р,/р, начинает возрастать непосредственно от случая лобового столкновения а, = О, тзк что и, всегда больше, чем и,. Значит, отражение косой волны в воде всегда дает большее давление, чем отражение прямой волны, если давления в падающих волнах одинаковы.
а 121, АндлитическОе РАссмОРРение НРАВилънОГО ОтРАлоеиия щэ Явление правильного отражения можно иллюстрировать графиками, показывающими соотношение между ао и ао для заданной амплитУды (Р, — Ро)/Ро падаюЩей волны (см. Рис. 162, где Г=Ро(Р). Е 127. Аналитическое рассмотрение правильного отражения в политропических газах Можно независимо от полярных диаграмм рассмотреть задачу отражения алгебраически, пользуясь соотношениями для ударных волн, и, как мы увидим, изучить при этом и некоторые другие конфигурации ударных волн.
Предположим, что в областях (О), (1) и (2) известны термодинамические величины р и Р, подчиненные условию (119.02) для соседних областей. Тогда мы имеем четыре квадратных уравнения: Р Чо (Чо Ч1) "„'=Ч (Ч вЂ” Ч), (127.01) '„'=Ч'(Ч вЂ” Ч), — Ч1 (Ч1 Чо) ~сГ) Хо> (,, ) =Хо 1=) =Х,„ (127.03) 1э ео = го 1Й ео = 1,. Ро Ро из которых можно определить три вектора скоростей ЧГ (с точностью до произвольного поворота координатной системы), если только наложено одно дополнительное условие.
Преимущество этой схемы состоит в том, что соотношения (127.01) не зависят от термодннамнческого уравнения состояния, и поэтому можно ясно разграничить такие свойства отражения, которые являются совершенно общими, и такие, которые зависят от свойств среды. Дополнительно налагаемое условие есть Ч ХЧЕ=О (127.02) или Ч, и Чо паРаллельны (и напРавлены по стенке). Если стенка задается тем, что на ней у = 0 или во = ео = О, то мы должны опРеделить йо, Ри з„и, из четыРех квадРатных УРавнений (127.01). Мы не воспроизводим здесь все вычисления, а укажем только некоторые получающиеся формулы. Предполагая газ политропическнм, мы введем, помимо скоРостей звУка с„с„с„с, и скоРостей д„д„и д,=1 ~Чо, сле дующие величины: 310 Гл.ж.
изэнтРОпическОе БВЭВихРеВОе плОскОе течение Тогда, после некоторых алгебраических преобразований, мы получим из ударных соотношений следующий набор формул, симметричных относительно состояний (О) и (2), применяемых при различных численных вычислениях в практических вопросах: (1 — 1) 'о (' — 1) '2 л( (127 04) 1-)-р21+(5 ~-р2) 222 1+ р2С+(С+ р2) 222 (1 — 1)2 (127.05) (р +1)(1+'о) (р +1)(1+22) 2 2 2 х = р' х, + (1 — ро) 2 1+р2$ ро+ 1 (!27.06) 1+ р2Г = р' х, + (1 — Р')" р2+ Г (1 — 4)2 ]' р'+1 1 (С вЂ” 1)' ] ро+ С 1= ))— 1, (!2?.07) р~+1 [ (1 + ро) хо] ро+ Г ! (1+ р~)хо! "21 (1 Р ) (42 42)+ "Р4 Н1 р ) (42 42) (127.08) — (ро + г,го)2] — (г, — к,) = 0, х'(!+ ') 11+.
' — К вЂ” '(1+~))+ -]-х (2(р4 — 2 1) — р4 (2- — 2) (1-!.") ] 2(1 — 4) ~" + (127.09) +Р'(Р+ Г)+Р'К(4+"-)1+ „)(1+р 1)(1+р ~)(! — К)= — 0, 72 (1+р2) (1 ро) 2 (1+К+ро(Е+Г)] + + 7. (1 р2)2 (2 (2 2р2 р4) ($+~)+2(2 р2 р4) $," — Р2 (Ро+ ГР) — К (Е+ ~)]+ (1 — '.)' (" — 1)' = О. (127.10) Чтобы показать, как применяются эти формулы, мы рассмотрим задачу определения правильного отражения, при заданных угле падения а, и силе падающей ударной волны 4 ' — 1. Здесь надо определить величину М из (127.04), 42 из (127.08), ( нз (127.04), х, из (127.09), х, и х, из (127.06) и, наконец, уравнение (127.07) может быть использовано для проверки. Свойства, указанные в предыдущем параграфе, видны непосредственно из этих формул.
Например, согласно уравнению (127.05) мы заключаем, что из равенства а,=ао следует соотношение между "и 4, не зависящее от значения а2 —— а,. Отсюда З 1ха конйигхввпия сходящихся хдлвных волн зн ясно, что сила отраженной волны à — 1 для заданной силы падающей волны à — 1 одинакова для а,=О при й. 0 и для йв=йв при йя= йх . Значение предельного угла й„„может быть определено из условия, что уравнение (127.08) должно иметь один действительный корень 1, для заданных 1, и 1. Для 1= 1 это уравнение сводится к 1я=~в; поэтому при 1=1, а„„=90.
Все предыдущие равенства и графики говорят о том, что правильное отражение может иметь место только в том случае, когда заданные величины находятся в известных пределах. Наше аналитическое рассмотрение основано на предположении, что газ политропический. Надо подчеркнуть, что качественные результаты, полученные для правильного отражения, так же как и для более сложного явления „маховского отражения", которое будет сейчас рассмотрено, остаются неизменными для гораздо более широкой совокупности сред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
