Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Фонты тс 322 Гл пс изэнтРОпическОе БезВихРБВОе устАнОВиВшееся течение контактная линия разрыва, а угловая зона 1.А, внутри которой скорость равна нулю, тогда как скорости в соседних зонах параллельны не друг другу, а сторонам угла; давления в угловой зоне и в соседних областях должны быть равны. Все эти и другие математически возможные образцы течения с особым центром у. находятся в нашем распоряжении при истолковании данных опыта.
Однако, при наличии столь большой неопределенности, теория не может решить, какая из этих возможностей осуществится. Здесь мы имеем типичный пример теории, неполной и слишком упрощенной в ее основных допущениях; только углубляя физические основы теории, т.
е. учитывая теплопроводность и вязкость, мы можем надеяться полностью разъяснить явление тройной ударной волны. Весьма возможно, что граничный слой, развивающийся на постоянном контактном разрыве, изменяет течение настолько, что этого достаточно для учета всех наблюдаемых отклонений; основанное на этом объяснение было недавно выдвинуто Липманом 195]. Влияние пограничного слоя на линии разрыва в некотором смысле сравнимо с действием угловой зоны О, о которой говорилось выше. Относительно более глубокого значения неопределенности теории см.
также общие замечания в гл. 1Ч, разделе Е. й 135. Математический анализ тройной ударной конфигурации Несмотря на неопределенность задачи в ее настоящей формулировке, важно придать результатам предыдущих параграфов математическую форму. Мы покажем, по крайней мере, каким способом можно построить тройную ударную конфигурацию. Чтобы построить алгебраически решение задачи о маховском отражении, можно исходить из соотношений между давлениями и скоростями в соседних областях, выражаемых шестью уравнениями (см. (118.07 — 118.10)): то (Р1 Ро) = ЧА'(Чо — Ч1)~ "1(РА Р~) = Ч|'(Ч1 — ЧА)> 1(РТ Р1) = Ч1'(Ч1 Чт)~ тз(Р1 Рз) = ЧВ'(Чз Ч1)э (135.01) то (Рз Ро) = Чо'(Чо Чз).
з (Ро Рз) = Чз (Ча Чо). Эти соотношения дополняются условием параллельности Ч, и Ч,: ЧВХЧ3=0. (135.02) Каждая система четырех векторов, удовлетворяющих семи уравнениям, дает возможную маховскую конфигурацию. После 323 з 136. ГРАФическия метод того как известны скорости, ударные линии непосредственно определяются. Как мы видели раньше, в $ 127, можно рассматривать давления и плотности в этих уравнениях как заданные параметры, подчиненные соотношениям (119.02).
Одно направление, например Ч„должно быть задано произвольно; тогда надо определить семь величин из семи уравнений (135.01— 135.02). Стационарное маховское отражение характеризуется еще одним условием в дополнение к (135.01 — 135.02), а именно: Чо Х Ча =0. (135.03) Исключив скорости, можно получить условие для стационарного эффекта Маха, заключающее только давления и плотности. Но мы не пойдем по этому пути, а выберем более наглядный метод, основанный на геометрическом анализе, с применением одной нли нескольких введенных выше ударных поляр.
Надо отметить, что, в отличие от алгебраического, такой анализ пригоден для рассмотрения неполитропических сред. (1+ И2) (М2 1) ( Р 1) Ро (136 01) — +и Р Ро — — 1 Р 16 В = — Рз— тМ вЂ” — +1 2 Р о Маховские конфигурации могут быть получены из этой поляры (В, р) так, чтобы затем уже было легко выполнить численный расчет. Чтобы найти маховскую конфигурацию из ударной поляры Л„проходящей через точку 0 дважды, рассмотрим ударный переход из состояния (О) в состояние (1) с более высоким давлением и ударные переходы, переводящие из состояния 21* й 136.
Графический метод Вместо поляры в плоскости (и, в) мы применим поляру в плоскости (3, р) (см. в 121), позволяющую прямо учесть то условие, что векторы Ч, и Ч,, а в стационарном случае н векторы Ч, и Ч„параллельны и что давления в соответствующих зонах равны.
Мы видели, что если заданное состояние (О) связано с другим состоянием стационарной ударной волной, то второе состояние может быть характернзовано углом 6, на который ударный фронт поворачивает течение, и давлением р в новом состоянии. Поэтому все состояния, могущие получиться из (О) путем ударного перехода, представляются на плоскости (3, р) ударной полярой, форма которой показана на рис. 160, удовлетворяющей уравнениям (!21.07 †1.08), или, в явном виде, так: 324 ГЛ !У. ИЗЗНТРОПИЧЕСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ 1) в (2) и из состояния (О) в (3) (рис.
164). На диаграмме О, р) (рис„177) состояния (2) н (3) по обе стороны вихревой линии 1.) представляются одной н той же точкой, так как в ннх давления и направления течения одинаковы. Это упрощение и оправдывает пользование диаграммой (0, р). Мы проводим через точку О петлю ударной поляры Л, и аналогично через точку 1 на Ла петлю Л,. Так как состояние (3) связано с состоянием (О) ударным переходом, точка 3 лежит на Л,. Но, с другой стороны, и состояние (2) достигается из состояния )эис. 777. Ударная поляра (0,р) для прямого маховского отражения. Точка 2 3 представляет состояния (2) и (3) по обеим сторонам контактной линии О. Рис.
773. Ударные поляры (0, р): ЛО для прямого, Лг для обращенного н Л для стационарного махов- ского отражения. В каждом случае пересечения этих петель с петлей Ла представляют состояния с каждой стороны линии разрыва. (7) ударным переходом, поэтому точка 2 нашей диаграммы должна лежать на Л„а так как в этом представлении точки 2 и 3 тождественны, то мы получаем их на пересечении петель Л, и Л,.
Если для точек пересечения 2 и 3 0 ) 0 (см. петлю ЛО на рис. !78), то мы получаем прямое нли обычное маховское отражение, а стационарное маховское отражение отвечает тому случаю, когда точка пересечения находится как раз в вершине петли при 0=0 (см. петлю Л, на рис. 178). Зная точки 2 и 3, мы получаем ударные линии 3, 3' и М непосредственно, а затем определяем плотности по соотношению (119.02), а векторы скорости — из предыдущих равенств (185.01).
Таким способом различие между состояниями (2) и (3) получается автоматически, потому что мы получаем величины, относящиеся к (2), исходя из (1), а относящиеся к (3) — из (О). Таким образом, разыскание маховской конфигурации заменяется построением ударных поляр н нахождением их пересечений. Относительно детального анализа возможных пересе- а 1ат. слАВВ!Е УдАРНые ВОлны и ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 325 ч ений и различных предельных случаев мы отсылаем к 11!б— 118]; см. также [114]. Возможность введения простой волны при указанных выше условиях тоже может быть определена по диаграмме (0, р). Кривые рис. 179 понятны сами собой. Через точку 2' на петле А, надо провести изображение Г-характеристики; ее пересечение с петлей Ае дает точку 2", 3.
Это возможно только, если состояние (2') сверхзвуковое. Рассмотрение возможных положений ударных и маховских линий показывает, что течение возможно, если Оо < О, < а, (а,; другими словами, все элементарные волны, через которые проходит одна часть течения, повара- м чивают течение в одном и том же направлении.
Таким же образом воз- г",а можно, что часть течения, вместо того чтобы проходить через одну падающую и одну отражен- Аа '~а ную волну, проходит че- Са. рез последовательность ударных волн. Подробное -цв -аа -аа -аг в ег ае еа аа в,.а.- Рис. 17Д Представление видоианеиенрассмотрение и здесь йоказывает, что такая ной тройной ударной конфигурации конфигурация возможна в плоскости (0, р). только тогда, когда во всей последовательности ударных фронтов течение поворачивается в одну и ту же сторону; тогда остальная часть течения может пересекать только один ударный фронт.
Теперь не трудно проанализировать все другие предлагавшиеся ранее возможности. Д. ПРИБЛИЖЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ. ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА й 137. Задачи, связанные со слабыми ударными волнами, и простые волны Результаты предыдущей части, относящиеся к взаимодействию ударных волн, получались алгебраически и притом с помощью довольно громоздкой процедуры. Но подобное рассмотрение невозможно, если в процессах взаимодействия принимают участие простые волны. Тогда неизбежны аналитические труд- 32О Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
