Г. Курант, К. Фридрихс - Сверхзвуковое течение и ударные волны (1161649), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Форма ударного фронта определится, если мы зададим г, абсциссу вдоль прямой линии Маха, как функцию а. Для этого мы выразим угол р, который ударный фронт образует с положительным направлением осн х, через угол 0 направления течения позади фронта, как это дается соотношениями (121.08) и (121.02) для политропических газов. Угол 0 снова может быть выражен через ю(а) по формуле (116.05), что справедливо для простой волны.
Функция р= р (а), полученная таким способом, удовлетворяет вдоль ударного фронта соотношению з!и рс!х — соз р ау = О. Дифференцируя уравнения (139.01), мы находим соз(Р— м) — +3!п(Р— ю) "- — г= з!и ~- — соз 3 —, (139.02) ег а аз аа аь аа Ва аа , Ва 6 ЫО. ОБТЕКАНИЕ ВЫСТУПА ИЛИ КРЫЛА ЗЗ1 где о = о, и г= г, отвечают точке, где ударная волна встречает простую волну, Подстановка (139.05) в (139.01) дает параметрическое представление ударной кривой. й 140. Обтекание выступа или крыла То обстоятельство, что влияние ударной волны на расположенную сзади простую волну есть величина третьего порядка малости относительно силы ударной волны, находит себе важное применение в следующем расчете сверхзвукового течения около крыла или сходного препятствия (рис. 183).
Рис. 183. Течение вдоль прямой стенки с выступом. Показаны получающаяся ударная волна и обращенные вперед линии Маха. Рассмотрим сверхзвуковое течение, приходящее со скоростью де вдоль стенки по осн х и встречающее выступ, начало которого образует острый угол а1 со стенкой, и предположим, что Э, меньше, чем Э„~„(см. 5 !22 и 123), так что течение может быть повернуто на угол Эт в ударной волне Я. Продолжающаяся ударная волна меняет свой наклон и силу (если выступ не прямой); следовательно, течение позади выступа вихревое и несет непостоянную энтропию. Но еще во втором приближении это течение есть как раз простая волна, которая получилась бы, если бы течение повернулось на тот же угол ат в простой волне сжатия.
Эта простая волна отвечает в плоскости 1и, ю) эпициклоиде, которая начинается в точке (д„ О) и несет ту же энтропию, что и течение перед фронтом. Этого достаточно для того, чтобы определить простую волну, вокруг выступа, а затем приближенно определить, например давление газа на препятствие без учета ударной линии 5. Чтобы определить форму ударной линии, в которой происходит переход из зоны приходящего постоянного течения к простой волне, начинающейся на препятствии, мы можем следовать $139. 332 Гл Рл изэнтРОпическое БезВихРеВОе установившееся течение В результате оказывается, что в рассматриваемом приближении ударная линия О' не может проникнуть за прямую линию Маха С+, исходящую нз самой высокой точки выступа.
Действительно, на этой линии Маха а=О и после нее 0(О, поэтому ударная линия не может произвести никакого поворота течения на этой линии, а после нее течение должно будет поворачиваться от 0 =0 в направлении отрицательных о, в противоречии с тем фактом, что ударный фронт всегда поворачивает течение в свою сторону. й 141. Обтекание крыла, рассмотренное методом возмущений (линеаризация) Предположим, что крыло является бесконечно длинным цилиндром; его сечение называется .профилем".
Когда крыло встречает воздушный поток, перпендикулярный к оси цилиндра, создается установившееся двумерное течение. Рис. 184. Сверхзвуковое обтекание крыла с тупой носовой частью Перед профилем того типа, который применяется при полетах с дозвуковой скоростью (с тупей лобовой частью и острым хвостовым краем), возникает искривленный ударный фронт. Позади фронта течение — дозвуковое (за исключением, быть может, участка на верхней части контура), обтекание крыла будет таким же, как при дозвуковом течении с точкой оста-' новки где-то в передней части и конечной скоростью на остром хвостовом краю (рис. 184). В сверхзвуковом течении можно применять профиль, состоящий нз двух дуг с острыми передней и задней кромками без опасения, что течение будет отрываться на передней кромке, потому что в ударной волне направление сверхзвукового течения может меняться мгновенно.
Поэтому при остром ведущем крае получаются два ударных фронта (рис. 185), если 5 Ыь МЕТОД ВОЗМУЩЕНИИ ДЛЯ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА 333 углы, образуемые дугами в месте пересечения, меньше предельного угла ал,„. Если углы в вершине превосходят предельный угол, то создается картина, похожая на картину обтекания тупого носа; впереди образуется кривой ударный фронт Рис. 18й Сверхзвуковое обтекание крыла с острой ведущей кромкой. Ударные фрон~ы привя- заны к кромкам.
(рис. 18б). Если на ведущем крае одна из дуг образует с направлением течения отрицательный угол, то вместо ударной волны получается центрированная волна разрежения (рис. 187). На хвостовом крае в зависимости от величины углов тоже образуются два ударных фронта или две волны разрежения. Рпс, об. Сверхзвуковое обтекание крыла с тупым углом на ведущей кромке. Ударный фронт начи- нается впереди крыла Однако иногда в какой-либо точке профиля возникает ударный фронт, приводящий к отрыву течения.
(Повидимому, это вызывается вязким пограничным слоем, даже если угол на заднем крае допускает образование ударного фронта.) В этом параграфе мы рассмотрим приолижениый метод расчета обтекания профилей, настолько плоских, что у них можно ожидать образования ударных волн на переднем и заднем краях. Согласно $ 140, мы получим хорошее приближение для 334 Гл ш. изэитРОпическое БезВихРеВОе устАнОВиВшееся течение обтекания профиля, если предположим, что течение по обеим сторонам профиля состоит из простых волн, связанных с состоянием впереди профиля соответствующими простым волнам соотношениями. Тогда дуги профиля будут заданными лнниямн тока для этих простых волн.
Из 5 111 мы знаем, что простые волны однозначно определяются линиями тока (предполагая снова, что углы поворота линий тока не настолько велики, чтобы образовывалась кавитация). Четыре ударных фронта могут быть построены после нахождения простых волн методом, описанным в 5 139. Этот метод расчета сверхзвукового обтекания крыла достаточно прост. Дальнейшее уточнение достигается методом воз- Рис. 187.
Сверхзвуковое обтекание крыла с острым углом нл ведущей кромке. На ней начинаются ударный фронт и волна разрежения. мущенитт, часто дающем удовлетворительные и точные резуль- таты. Пусть дуги, образующие профиль, заданы следующим образом: у= У+(х) и у=у (х), У' (х) < т'+(х) для 0 <х <а, 'Т"+ (а) = 1' (а) = Ь. (141.01) (141.02) Рассмотрим тогда совокупность профилей у=-В1'+(х), у= в 1' (х), 0 <х <а, (141.03) зависящих от параметра е. Следовательно, мы получаем ряд задач, зависящих от частного значения В. Предположим, что решения этих задач могут быть разложены по степеням е, и определим последовательные коэффициенты этого разложения, ограничиваясь членами первого порядка.
С самого начала предположим, что течение изэнтропическое и что энтропия такая же, как у течения до встречи с крылом. Можно произвести разложение каждой величины в заданной точке (х, у); 0 ыь мнтод возмлптннии лля оитнклния кпылл ЗЗЬ этот метод будет изложен в $142. Но вычисления будут гораздо проще, если считать все величины зависяшими от двух других параметров.
Характеристика, проходящая через точку наклонно к профилю, пересекает профиль в точке с координатами 0 и е 1'е ($) (рис. 188). В качестве параметров мы выберем х и 0 вместо у. Этот способ удобен для нахождения членов первого и второго порядка.
Чтобы получить члены более высокого порядка, лучше ввести в качестве параметров абсциссы 1 и Г У обеих точек, в которых Ф,У) характеристики, проходящие через точку (х, у), мака пересекают профиль. Мы знаем, что всех для членов до второго порядка включительно течение является простой се ф волной и что поэтому все величины постоянны на рис. 188, Параметр Ь, характеризукпиий каждой характеристике, положение точки (х, у) при обтекании 1=-сопз1, и зависят только профиля. от параметра $. Угол 0 направления течения дается соотношением 1п0 = е)' (1). Так как 1п 0=0 с точностью до членов второго порядка, то с точностью до членов второго порядка 0=а)' (Е). (141.04) Поэтому, чтобы выразить величины и, в, с, р, р через 0, мы должны только определить их через (й Это можно сделать сразу же с помощью разложений величин в простой волне по углу поворота течения, данному в э 116.
Мы предполагаем, что в приходящем течении скорость звука с, постоянна, как и число Маха тт(а= де/с„давление р„плотность р, и скорость (чо 0) с Чо ) О. Обозначая ~е = (141.05) '~/ 1(2 мы получаем согласно формулам, приведенным в конце э 116 в первом приближении =-Ч [1+~ 0+ 1, (141.06) ~=уо1'+ 0 ° ) с = се ~1 + т ((е '+ (е) О+...1, (141.07) 336 Гл. !у. изэнтРОпическОе еезВихРВВОе устлнОВНВшееся течение р=р,[1+ (~ —,'+г,)е! ( Р=РВ+РВ!7о [~ то а+ (141.08) (141.09) Здесь наклон 1п(+ А+0) линии Маха есть известная функция угла В направления течения на ней. Разложение 1и(+ А+3) по степеням 3=ВТ'*($) есть по (108.02) и (108.14) 18(+ А+3) =+ ~о+'— (1+~о) 3 В ..
(141.11) Поэтому линии Маха в нулевом порядке суть + г В ( Т 1 ) (141.12) Этим. равенством, выражающим у через х и 1, можно восполь- зоваться для нахождения течения через х и у с точностью до членов первого порядка. Подставляя соотношение 1=х+1, у (141.18) в члены первого порядка (141.06 — 141.09) и выражая а через наклон профиля рх(т), мы получаем и=!7о [1+ Го В 1 ° (х — 'р ~о у)+...), (141.14) О=у [В У*(х —,г У)+...1, =,[~ ~'=,(!-,'-!-!,).т„-'1 тс!!.!-...). <!!!.!ь> р = рВ [1 + ( ~о + ~о ) В ух (х + 1о ' у) +...1, (141.16) Р=РВ ' РВ!)ВГВВ1 ° (х+ ГВ У)+ .1, (141.17) где использован тот факт, что рВС'=трВ или рВ!7'=тМ Р (см.
(8.06)]. Верхний и нижний знаки соответствуют верхней и нижней сторонам профиля. Чтобы выразить у через х и $, мы заметим, что прямая линия Маха„проходящая через точку (1, В, У (1)), дается уравнением у = В у- (1) +1п (+ А+ 3) (х — ~). (141.10) а !4), метОд Возмушенин для ОБтекАния кРылА ззт Так как сила ударной волны стремится к нулю, когда о — ~0 то ударная линия в нулевом порядке есть линия Маха у = -(- Ьох, (141. 18) исходящая из угла. В следующем, т.
е. в первом приближении, линии Маха даются формулами о- т'О)4-~=А4-'~'(1~41* т;(О~( — и, (14о.|о) как это видно из (141.10 — 141.11) и (141.04). Из $ 139 мы знаем, что в первом приближении ударная линия делит пополам угол между двумя линиями Маха, выходящими из вершины 1=0. Следовательно, из (141.19) мы выводим следующее уравнение ударной линии в первом приближении о = †[ ~ 4- ' ~ ( 1 ~ 4 1 * т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
